1031 Generating Functions
UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL
MÉMOIRE
PRÉSENTÉ
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES
par
SIMON PLOUFFE
APPROXIMATIONS
DE SÉRIES GÉNÉRATRICES
ET QUELQUES CONJECTURES
AOÛT 1992
AVANT-PROPOS
Un livre très intéressant a été publié en 1973 par N.J.A. Sloane. Il portait le titre “A Handbook of
Integer Sequences “ et comporte plus de 2372 suites d’entiers prises dans tous les domaines des
mathématiques et des sciences en général. Depuis sa publication, des milliers de suites nouvelles ont
été trouvées, spécialement en combinatoire. L’auteur invitait ses lecteurs à lui communiquer toute
correction ou information nouvelle concernant une suite. Il a reçu environ un mètre cube de lettres
depuis.
J’entrepris de taper le livre au complet à la main dans un ordinateur au début de 1990; cela m’a
demandé 6 mois de travail. Je n’étais pas au bout de mes peines, car une fois cette tâche terminée,
j’envoyai une lettre à l’auteur lui indiquant les erreurs dans certaines d’entre elles et que j’avais commencé
à constituer une banque de données avec ses suites, etc. Je reçus un coup de téléphone environ deux
semaines plus tard. L’auteur était un peu surpris (et moi donc) que quelqu’un se soit donné la peine de
taper tout le livre alors que lui avait un fichier sur ordinateur qui contenait toutes les suites. Après une
heure de discussion, l’auteur disait qu’il était temps qu’il fasse la 2ème édition de ce livre. Moi je lui disais
qu’il était temps que je complète mes études, etc. C’est là que tout a commencé. C’est en essayant de
vérifier les suites d’entiers avec un programme que ce projet est né. Je voulais pouvoir vérifier les chiffres
des suites pour qu’il n’y ait pas d’erreurs.
C’est également avec l’encouragement et la vision de mon directeur, Gilbert Labelle, que ce
mémoire a vu le jour, à la confiance de Pierre Leroux, aux idées génératrices de mon co-directeur,
François Bergeron. Tous les autres aussi, qui sont en France, à Bordeaux au LaBRI avec leurs chauds
encouragements. Je pense à Xavier Viennot qui m’impressionnait tellement avec ses conférences en
1985, à Maylis Delest, Serge Dulucq, Jean-Guy Penaud, Jean-Marc Fedou, Mireille Bousquet-Mélou, etc.
Ceux de Paris à l’INRIA qui m’ont invité à leur en parler et qui ont contribué grandement à faire que le
programme gfun soit une réalité. Je pense à Paul Zimmermann , “en possession tranquille de la vérité”,
Bruno Salvy “le fou de Maple” à qui je dois de vraies belles formules trouvées grâce à ses méthodes (elles
sont dans la table en appendice), Philippe Flajolet, “le bon maître”. Je leur dois des discussions fort
enrichissantes.
A Neil Sloane évidemment, mon guide et mon maître à penser, qui m’a fait l’honneur de bien
vouloir être mon “advisor” comme il se plait lui-même à le dire. Je lui dois de précieux conseils.
A ma mère, qui sera pas mal fière et contente que son garçon fasse une maîtrise en
mathématiques.
A ma compagne Danièle, qui m’a beaucoup aidé au tout début pour la vérification des suites et
qui m’a soutenu jusqu’à la fin. Je lui dois et lui dédie ce mémoire.
RÉSUMÉ
Le présent mémoire tente de répondre à une question simple : Étant donné une suite
numérique, comment trouve t-on la fonction génératrice de cette suite? Il s’agit donc de prendre les
termes d’une suite et de proposer une façon de les générer à l’aide d’une formule quelconque (simple si
possible). Pour ce faire nous avons utilisé des programmes de calcul symbolique couramment
disponibles, soit MapleV de l’Université de Waterloo et Pari-GP, un programme développé à l’Université
Bordeaux I. Le jeu d’essai des suites est le livre bien connu de Neil J.A. Sloane, A Handbook of Integer
Sequences1 . L’exposé se compose de deux parties principales. La première explique les quatre
méthodes qui ont permis de répondre à notre question initiale. La deuxième contient une table des
formules trouvées à l’aide de ces méthodes. En tout, 1031 fonctions génératrices forment la table sur un
total de 4568 suites que composait le jeu d’essai, soit à peu près 23% des suites.
Ces 1031 formules ont toutes été obtenues expérimentalement. C’est donc dire qu’en fait ce
sont autant de conjectures. Mais nous verrons que dans presque tous les cas les méthodes sont
suffisamment sophistiquées pour pouvoir affirmer que les formules sont les bonnes.
1 Le jeu d’essai est en fait la 2e édition de ce livre qui est en préparation.
TABLE DES MATIÈRES
Page
AVANT-PROPOS
i
RÉSUMÉ
iii
TABLE DES MATIÈRES
iv
INTRODUCTION
1
CHAPITRE 1. LA MÉTHODE DES APPROXIMANTS DE PADÉ
3
1.1 Les fractions rationnelles
3
1.2 La dérivée logarithmique et l’inverse fonctionnel
7
CHAPITRE 2. LA MÉTHODE DES P-RÉCURRENCES
10
2.1 Les suites P-récurrentes
10
2.2 Les suites hypergéométriques
13
2.3 L’algorithme LLL
21
CHAPITRE 3. LA MÉTHODE D’EULER
23
CHAPITRE 4. LA MÉTHODE DES RECOUPEMENTS
23
4.1 Les recoupements indirects
25
4.2 Les tableaux
26
CONCLUSION
28
BILIOGRAPHIE
29
APPENDICES : TABLE DE 1031 FORMULES GÉNÉRATRICES
30
A.0 Notes à l’utilisateur de la table
31
A.1 Table
A.1
A.2 Index de la table
A173
A.3 Bibliographie de la table
A181
INTRODUCTION
Dans toute cette étude nous procéderons selon une seule ligne directrice: il s’agira de prendre
une suite numérique finie et à l’aide d’un programme informatique spécialisé, d’identifier un bon candidat
pour la fonction génératrice. Une telle approche pourrait se limiter simplement à consulter un livre de
table de suites. Dans [GKP] p.42 on note: “the best source for questions about sequences is an amazing
little book called the Handbook of Integer Sequences, by Sloane, which lists thousands of sequences by
their numerical values.”; et aussi: “the look-up method is limited to problems that other people have
decided”. De plus, après avoir donné un exemple de suite numérique, les auteurs [GKP] p.327,
ajoutent: “no closed form is evident, and this sequence isn’t even listed in Sloane’s Handbook”.
Nous présentons ici une solution à ce problème: c’est-à-dire une méthode alternative aux
méthodes standard connues dans ce domaine. Ces dernières partent des propriétés mathématiques
d’une suite et de là en font l’analyse, le tout étant basé sur la connaisssance a priori des ces propriétés.
Dans la présente étude nous proposons de procéder en sens inverse: c’est uniquement à partir de la
suite numérique que les propriétés sont établies. A cette fin, nous décrirons quatre méthodes d’analyse
d’une suite numérique.
Ces quatre méthodes s’appuient sur quatre modèles de fonctions génératrices. Le premier
modèle suppose que les termes de la suite peuvent être générés avec le développement en série de
Taylor d’un quotient de polynômes. Le deuxième modèle suppose que la suite satisfait à une récurrence
linéaire à coefficients polynomiaux, appelée aussi une P-récurrence. Le troisième modèle suppose que
la suite est donnée par le développement en série d’un produit infini, comme la suite des partages
d’entiers ordinaires. Le quatrième modèle enfin suppose qu’une transformation simple de la suite permet
de retrouver une fonction génératrice connue. Cette dernière est en fait une version améliorée de la
“look-up method” de [GKP].
N O T E S
Pour éviter les répétitions inutiles tout au long de cette étude, nous emploierons la notation Nxxxx pour
désigner la suite numéro xxxx du livre de Sloane [Sl] cité en bibliographie. Par exemple, la suite des
nombres de Catalan porte le numéro 577, on y fera référence en écrivant N0577. Les autres suites,
celles apparues après 1973 dans la littérature, ont été recataloguées dans une deuxième édition que
nous préparons avec Neil J.A. Sloane [PlSl]. Elles portent un numéro séquentiel “absolu” noté Axxxx.
Donc quand nous parlerons du numéro de suite A3890, nous entendrons le numéro séquentiel de cette
table. C’est cette même numérotation qui apparaît dans la table des résultats en appendice. Pour des
raisons évidentes de consistence, il était nécessaire de conserver un numéro qui fasse référence
toujours à la même suite sans ambiguité. En résumé :
• Nxxxx :Numéro séquentiel de la suite du livre de Sloane [Sl].
• Axxxx :Numéro séquentiel de la suite du livre [PlSl].
La plupart des algorithmes et méthodes décrites dans cette étude ont été regroupés dans un
programme appelé “gfun” qui fait partie de la librairie publique de Maple de l’université de Waterloo. On
peut avoir une copie de ce programme par transfert électronique via “ftp/anonymous”. Le programme a
été écrit en collaboration avec François Bergeron, professeur au département de
Mathématiques/Informatique à l’Université du Québec à Montréal et également avec Paul Zimmermann
et Bruno Salvy tous deux chercheurs à L’INRIA/Rocquencourt.
CHAPITRE 1
LA MÉTHODE DES
APPROXIMANTS DE PADÉ
1.1 Les fractions rationnelles.
Une façon de donner les termes d’une suite est de les engendrer à l’aide d’une fraction
rationnelle. Par exemple la suite de Fibonacci peut être générée à l’aide du développement en série de
Taylor à l’origine de
(1.1)
1/(1- z - z2) = 1 + z + 2 z2 + 3 z3 + 5 z4 +8 z5 + 13 z6 + ... + anzn+ O(z n+1).
De la même façon ces termes peuvent être calculés avec la récurrence a = a
+ a
. Les deux
n
n-1
n-2
représentations sont équivalentes. Il y a une correspondance assez simple entre la fraction rationnelle et
la récurrence. Le dénominateur de la fraction rationnelle “est” la relation de récurrence. Le numérateur
tient lieu de conditions initiales de cette même récurrence. Le lien se trouve en fait dans la réécriture de la
récurrence en termes de zn plutôt que n. Une procédure simple en quatre étapes, permettant de passer
d’une récurrence linéaire à coefficients constants à la fraction rationnelle correspondante, est décrite
dans [GKP]. On peut montrer que la réécriture se fait dans l’autre sens également. Cette mécanique est
très connue mais suppose toujours que l’on connaisse au moins l’une des deux représentations.
Notre seul point de départ est la série S(z) tronquée à l’ordre k. Ce qu’on désire faire est de la
représenter par une fraction rationnelle. Alors si on pose k=L+M et
+u z1 + ... + u zL
S(z) = u0
1
L
+ O(zL+M+1))
(1.2)
v + v z1 + ... + v zm
0
1
m
il est toujours possible de trouver une solution à cette équation. La façon de faire est de fixer L et M
d’abord. Puis en multipliant le membre de gauche avec le dénominateur on obtient un système de M
équations à M inconnues qui déterminent les constantes en v. Pour poser ces équations, on “identifie”
les coefficients de zi avec L+1 ≤ i ≤ L+M. Une fois trouvés les v , on peut faire de même avec le
i
numérateur pour déterminer les constantes en uj, en identifiant cette fois les coefficients de zj, 0 ≤ j ≤ L. Il
est toutefois plus aisé de poser en partant que v =1. On donne le nom d’approximant de Padé [L/M] à
0
l’expression trouvée pour un L et M donnés. Le calcul d’un approximant de Padé se fait en principe de
façon mécanique. La plupart des programmes de calcul symbolique sur le marché aujourd’hui effectuent
ce calcul automatiquement. On parle ici de la résolution du système d’équations linéaires pour un L et un
M donnés. En théorie le problème est clos, mais dans la pratique il en est autrement.
Nous illustrerons les difficultés rencontrées en donnant deux exemples extrêmes d’approximants
de Padé.
Exemple 1.1 La suite des parts de gâteaux en 3 dimensions.
Le premier est la suite N0419 qui porte le nom de: “Slicing a cake with n slices”; elle est plutôt simple et
connue. C’est le nombre de parts de gâteaux différents avec n coupes en 3 dimensions. Nous nous en
tiendrons uniquement aux termes numériques sans tenir compte du contexte. Considérant une
quinzaine de termes, on pose les équations et les degrés des deux polynômes, en supposant que les
degrés sont de taille égale, i.e. que L=M. La difficulté réside dans le fait que si le système peut se réduire,
il faut prévoir un algorithme pour le simplifier d’une façon ou d’une autre. Justement, cette suite N0419
est une fraction rationnelle de degré [2/4]. Elle est complètement décrite par cette fraction rationnelle.
C’est donc que, ayant pris notre quinzaine de termes et ayant supposé que L=M=7, on aurait été conduit
à réduire le système à un nombre d’inconnues et d’équations plus petit. Donc à moins d’être chanceux ,
i.e. de prévoir exactement à l’avance le degré de la fraction rationnelle, on n’est pas assuré de trouver la
juste fraction rationnelle.
La deuxième difficulté vient de la taille des calculs. Si la suite considérée EST une fraction
rationnelle, comme la suite de Fibonacci (1.1), cela n’a rien de dramatique si on a fait un choix de L et M
heureux. Si la suite N’EST PAS une fraction rationnelle, c’est là que les calculs deviennent énormes.
Selon l’équation (1.2), il est quand même possible de trouver une fraction rationnelle qui se juxtaposera
aux k premiers termes de toute suite, mais elle ne se simplifiera pas.
Exemple 1.2 La suite des nombres premiers : 2,3,5,7,11,13,....
Nous prendrons ici la suite des nombres premiers N0241. On le sait, il n’existe pas de fonction
rationnelle qui permette de les obtenir successivement. Si on prend les 20 premiers termes , de 2 à 71 et
que l’on cherche une expression rationnelle qui se juxtapose à cette suite, l’expression que l’on trouvera
sera une fraction rationnelle d’une taille appréciable. La taille, disons en nombre de caractères, dépassera
largement celle de la suite. Il ne faut pas oublier que l’on cherche une solution rationnelle, donc exacte à
l’ordre d’approximation de la série de départ; ce ne sont pas des calculs en “virgule flottante”. Ainsi, avec
les 48 premiers termes de la suite des nombres premiers on obtient une fraction rationnelle d’une taille
de l’ordre de 10,000 caractères, chaque coefficient étant de l’ordre de 120 chiffres. La taille de la suite de
départ avec ses 48 termes, pour sa part, ne dépasse pas 200 caractères.
Il existe une procédure en Maple qui permet de convertir une série (tronquée) en une fraction
rationnelle. Elle porte le nom de “ratpoly” pour “rational polynomial”. Cette procédure est une véritable
perle de programmation (elle a plus de 500 lignes). Non seulement elle fait le calcul exactement à l’ordre
d’approximation de la série, mais en plus elle le fait bien. On le sait, Maple est en mesure d’effectuer des
calculs symboliquement et en principe avec une précision infinie. Le résultat en est que les deux
difficultés rencontrées plus tôt sont complètement tranparentes à l’utilisateur.
Donc avec cet outil presque “magique” qu’est “ratpoly”, il est possible assez facilement
d’effectuer le calcul fastidieux de représentation d’une suite sous forme de série avec une fraction
rationnelle. En fait, deux critères simples nous permettrons de détecter une bonne fraction rationnelle.
Le premier est le degré de l’expression trouvée: si le degré total (L + M) retourné par le programme est
plus petit que le nombre de termes, on est alors potentiellement en présence d’une bonne
représentation. Le deuxième critère est la taille (en nombre de caractères) de l’expression: si la taille de
l’expression est plus grande que la taille de la suite testée, on rejette alors l’expression rationnelle
candidate. En combinant ces deux critères, il est possible de détecter avec une assez grande certitude
une suite qui EST une fraction rationnelle simple.
En soumettant toute notre table de 4568 suites à cette simple procédure qu’est “ratpoly” , nous
avons détecté 614 fractions rationnelles. De ce nombre, 580 nous semblent bonnes: elles sont
répertoriées dans la table en appendice. On peut consulter [BP] à ce sujet également.
1.2 La dérivée logarithmique et l’inverse fonctionnel.
Malgré le succès remporté (en nombre de fonctions génératrices trouvées) avec notre méthode
des approximants de Padé, une partie du problème demeure. Si 580 suites sur 4568 sont des fractions
rationnelles, quelle est alors la nature des quelque 4000 qui restent ? La réponse à cette question est
inconnue. Ce que l’on sait, c’ est que notre méthode permet de détecter la fraction rationnelle d’une
suite comme celle de Fibonacci. Elle permet également de détecter des variantes de celle-ci. Il se trouve
que la plupart des opérations simples et connues que l’on peut effectuer sur une suite sont en fait des
transformations rationnelles . Une TR en plus court. Si S(z) est notre suite sous forme de série tronquée,
une TR conservera le caractère rationnel de la fonction génératrice. Par exemple, la différence terme à
terme de la suite est une TR puisqu’il suffit d’effectuer S(z)(1-z). La somme de deux termes successifs
est également une TR : il suffit de faire S(z)(1+z). La suite des sommes partielles s’obtient en prenant
S(z)/(1-z), etc. Il en est de même de l’inverse de ces transformations. Ce point est essentiel.
Donc les suites qui ont une fonction génératrice qui est une fraction rationnelle et toutes les
variations usuelles de celles-ci sont détectées avec notre méthode.
L’idée fort simple est alors d’utiliser notre méthode et une transformation qui ne soit pas
rationnelle dans les deux sens, dans le but de détecter d’autres types de fonctions génératrices. Par
exemple, bien que la dérivée soit une transformation qui conserve le caractère rationnel d’une
expression, il suffit de prendre une fraction rationnelle quelconque pour se rendre compte que l’intégrale
n’est pas une fraction rationnelle en général. En effectuant une dérivation et en appliquant ensuite notre
méthode de détection, on pourra obtenir des fonctions génératrices qui sont en fait des intégrales de
fractions rationnelles. En poussant le même raisonnement plus loin, on pourrait effectuer d’autres
transformations de ce type comme la dérivée du logarithme ou l’inverse fonctionnel. Si nous pouvons
toujours retourner sur nos pas à chaque fois, cela nous donne une façon de détecter des expressions
qui font partie d’une classe plus vaste que les fractions rationnelles. Avec la dérivée, il est facile de revenir
en arrière: une fois le test effectué, si c’est rationnel, il suffit de faire l’intégrale de l’expression. La dérivée
du logarithme est aussi “réversible”: il suffit de faire l’exponentielle de l’intégrale de l’expression trouvée.
L’inverse fonctionnel d’une série est également “réversible” à condition que la suite débute par 0,1,...:
en effet, l’inverse d’une série à coefficients entiers est aussi à coefficients entiers, si la série s’annule en
zéro et son premier terme non nul est 1.
C’est l’expérience qui a orienté le choix des transformations judicieuses à effectuer. Le succès
d’une transformation plutôt que d’une autre étant guidé simplement par le nombre de fonctions
génératrices trouvées une fois la table complète traitée par le programme. Le rejet ou l’acceptation d’une
expression est donné par les deux critères énoncés plus haut. Il y a aussi le fait que plus on tranforme
une suite avec de telles opérations, plus précises et strictes sont les conditions imposées à la suite de
départ. Par exemple, l’inverse fonctionnel de la dérivée du logarithme d’une suite sous forme de série
tronquée doit se faire seulement si les coefficients sont restés entiers et débutent par 0,1, ... , une fois
que la première transformation a été effectuée.
Notre choix s’est arrêté sur la dérivée, la dérivée logarithmique et l’inverse fonctionnel. Ce sont
ces opérations qui ont remporté le plus de succès. Exactement 120 fonctions génératrices qui ne sont
pas des fractions rationnelles ont été isolées de cette façon. En tout 700 fonctions génératrices (incluant
les fractions rationnelles) ont été trouvées grâce à la procédure “ratpoly”. Les résultats sont présentés en
appendice.
CHAPITRE 2
LA MÉTHODE DES P-RÉCURRENCES
2.1 Les suites P-récurrentes.
L’hypothèse de travail que nous posons ici sur la suite an consiste à dire que chaque terme de
celle-ci peut être calculé à partir des termes précédents. Dans [Sta80] on introduit ce genre de
dépendance sur les autres termes en disant que la suite an est une suite P-récurrente, si elle satisfait
l’équation suivante
(2.1)
a P (n) = a P(n) + a
P (n) +...,+a
P (n)
n 0
n−1 1
n− 2 2
n −k k
où lesPi(n), 0≤i≤k, sont des polynômes à coefficients rationnels. Ce type de relation est une classe plus
vaste que les relations de récurrences linéaires ordinaires à coefficients constants rencontrées au
chapitre précédent. En effet, il y a équivalence entre les fonctions génératrices rationnelles et les
relations de récurrence à coefficients constants. Il n’y a cependant pas d’équivalent en termes de
fonctions génératrices pour les P-récurrences en général. A l’heure actuelle, il n’existe pas de méthode
pour trouver la fonction génératrice correspondant à une P-récurrence quelconque; seuls certains types
de P-récurrences peuvent être résolus. Ce qui peut être fait, par contre, est de vérifier si la suite satisfait
numériquement une P-récurrence. On ne peut donner qu’une P-récurrence vraisemblable .
Il faut donc procéder pas-à-pas en augmentant le degré et le nombre de termes. Nous posons
d’abord les équations et, en supposant que la suite satisfasse l’équation (2.1) où les Pi(n) sont des
polynômes de degré d, il y aura (d+1)(k+1) équations (il faut tenir compte du terme de rang 0). On dira
alors qu’elle satisfait une P-récurrence de type (d,k). On remarque que le système admet toujours une
solution nulle. S’il y a solution, il y en aura une infinité, ce qui découle du fait que le système d’équations
est non-homogène. Ceci est évident, puisque l’on peut multiplier par une constante C arbitraire de
chaque côté sans changer l’équation. On prendra donc soin de garder la solution la plus simple. La
résolution d’un système d’équations linéaires est une chose que les programmes de calcul symbolique
comme Maple font couramment. Un programme a donc été écrit pour permettre de résoudre le système à
(d+1)(k+1) inconnues. Le voici, en entrée il accepte une suite et en sortie il donne soit 0 soit une ou
plusieurs constantes, quand le nombre de constantes est 1 on pose la solution comme étant la plus
simple en substituant la constante à 1.
1) read suite : listesuite:=":
2) nbrdetermes:=nops(listesuite):
3)
rec:=proc(w,n,t) local ff,c,d,i,j,k,ii;
4)
option remember;
5)
termes:=(n+1)*(t+1);
6)
if termes>=nbrdetermes then RETURN ( `impossible de resoudre` ) fi;
7)
for ii from 1 to nbrdetermes do a(ii):=op(ii,w) od:
8)
ens:={seq(c[jj],jj=1..termes)}:
9)
s:={seq(sum(sum(k**d*c[j*n+jn+d],d=0..n)*a(kj+1),j=1..t+1),
k=t+1..termes+t)}:
10) solution:=[solve(s,ens)];
11)
if sol=[] then RETURN (0) else
RETURN(assign(solution),[seq(c[kk],kk=1..termes)])
fi;
end:
Donnons une courte description du programme.
1) On lit la suite provenant d’un fichier.
2 ) On pose que la variable nbrdetermes est égal au nombre d’éléments de la liste qui contient la suite.
3 ) Appel de la procédure et on pose les variables locales.
4 ) On prend l’option “remember” , très importante.
5) On prend un nombre de termes suffisant pour résoudre le système d’équations linéaires.
6 ) Si le nombre de termes nécessaires est trop grand, un message d’erreur est imprimé.
7) On pose les constantes dans notre système d’équations. Ici ce sont les termes de la suite.
8 ) On pose les inconnues de notre système sous forme d’ensemble.
9 ) On pose les équations linéaires.
1 0 ) On tente de résoudre.
11) Si le système admet une solution nulle ( liste vide ici ) on retourne 0. Sinon on assigne les solutions
trouvées.
Donc en entrée le programme accepte une suite numérique et teste si celle-ci satisfait une équation P-
récurrente de degré d à k termes.
Le programme qui détermine si une suite satisfait une P-récurrence est une des méthodes les
plus rapides et de plus, une fois la P-récurrence candidate trouvée, il est très facile d’obtenir des
centaines de termes de la suite. En principe si on veut calculer les termes d’une suite une fois obtenue
une P-récurrence, il suffit de la mettre telle quelle dans un programme. Il n’est cependant pas approprié
d’utiliser une procédure qui soit purement récursive même si c’est d’abord ce qui vient à l’esprit. Il faut
linéariser le temps de calcul d’une procédure qui s’appelle elle-même, sinon celui-ci devient vite
exponentiel. L’exemple souvent donné dans les cours de programmation de base est la suite des
nombres factoriels, 1,1,2,6,24,120,720,..., définie par a0 =1 et an = n an-1. Ce problème est facilement
résoluble en Maple, puisque les procédures récursives peuvent être linéarisées simplement en écrivant
“option remember” dans l’appel de la procédure. Maple se charge alors de ré-écrire la procédure en
créant une table d’adressage ( interne) automatiquement.
Comme avec les autres méthodes, nous avons utilisé la table de [PlSl] au complet. A chaque
suite, le test a été effectué sur les degrés 1 à 4 et sur un nombre de termes variant de 1 à 5, compte tenu
que l’expérience indique que la plupart des suites P-récurrentes ont un degré assez bas. Stanley
[Sta80] donne un exemple de suite P-récurrente de degré 3 à 2 termes qui donne les nombres d’une
suite de Apéry utilisée dans la preuve de l’irrationalité de ζ(3).
Exemple 2.1 :
n3 a
+ (n-1)3 a
= (34 n3 - 51 n2 + 27 n - 5) a
,
(n)
(n-2)
(n-1)
En tout, 250 des 1031 suites que contient la table en appendice, seraient P-récurrentes. De ces
250, 220 ont une fonction génératrice associée trouvée par d’autre méthodes. Il en reste donc 30 dont
on ne connait que la P-récurrence. Sont comptées ici les suites P-récurrentes de degré 1 ou plus; les
fractions rationnelles, au nombre de 580, sont aussi P-récurrentes mais de degré 0. C’est de loin la
méthode la plus puissante, puisque au total, près de 81 % des suites qui ont une fonction génératrice
connue sont P-récurrentes à des degrés divers, ce qui représente 18 % de tout le catalogue des suites
de [PlSl].
2.2 Les suites hypergéométriques.
Dans [GKP] on fait une remarque très simple au sujet des P-récurrences d’un certain type. Si une
suite tk satisfait une P-récurrence de type (d,1), c’est donc que le quotient des termes successifs tk+1/tk
= P(k)/Q(k), où P(k) et Q(k) sont deux polynômes. La fonction hypergéométrique est à peu de chose
près la même chose. En effet, la définition de celle-ci étant
a
1,a2,...am
∞
k ...ak
F
z =
a1
m
∑
zk
k
k
(2.2)
b
1,b2,...,bn
k
k= 0 b ...b
!
1
n
où le membre de gauche en est l’écriture avec les paramètres en a et en b et où le membre de droite en
est le développement en série sous forme de somme de quotients de produits de polynômes factoriels
ascendants. En spécifiant que les termes en b ne s’annulent nulle part, on évite la division par zéro; il sufit
simplement pour cela qu’ils soient toujours positifs. Considérons le rapport de deux termes successifs et
en posant que le premier terme t0=1,
t
k+1...ak+1 bk ...bk
k!
zk+1
k+ 1 = a1
m
1
n
t
ak ...ak
bk+1...bk+1 (k +1)! zk
k
1
m
1
n
il est alors facile de simplifier cette expression en revenant à la définition d’un polynôme factoriel
ascendant de degré k+1 et de degré k. D’où l’expression:
t
)...(k + a )z
k+ 1 =
(k + a1
m
.
t
(k + b )...(k + b )(k +1)
k
1
m
On obtient alors une fraction rationnelle en k seulement. Donc si on a une suite qui débute avec 1 et
dont le rapport des termes successifs est une fraction rationnelle (une P-récurrence de type (d,1)), elle
pourra être “lue” directement comme étant une série hypergéométrique. L’avantage énorme de la
représentation d’une suite comme “hypergéométrique” est que le programme de calcul symbolique
Maple est en mesure de manipuler et de simplifier de telles séries. Dans sa version 5, Maple utilise les
tables d’identités hypergéométriques qui se trouvent dans [AS1]. Ce livre étant une véritable bible de
formules mathématiques, nous avons à notre disposition un outil excessivement puissant. En fait, dès
que l’on sait qu’une suite satisfait une P-récurrence de type (d,1) nous disposons déjà d’une information
très précieuse.
Cette représentation en série hypergéométrique ouvre la porte à d’autres formes de fonctions
génératrices. Le programme Maple est en effet capable, dans certains cas, de donner directement la
fonction génératrice explicite sous forme simplifiée. Il suffit de faire appel à la procédure “simplify” qui
réussit à reconnaître les expressions contenant des termes hypergéométriques. C’est alors que les
tables d’identités de [AS1] sont appelées et, si la forme le permet, Maple retourne directement une
expression algébrique explicite.
Conformément aux autres méthodes nous avons donc, encore une fois, testé toute la table de
[PlSl] en recherchant des P-récurrences de type (d,1). Plus de 94 suites satisfont à ce type de
récurrence. Dans certains cas, la forme hypergéométrique a été directement simplifiée automatiquement
par le programme Maple. Les résultats sont présentés dans la table de fonctions génératrices en
appendice.
2.3 L’algorithme LLL2 .
Nous décrirons ici la méthode qui est la plus complexe et puissante de toute cette étude. On
s’intéresse aux suites qui sont P-récurrentes de type (d,k) en général. Cette méthode ne s’applique que
si on peut avoir autant de termes de la suite que l’on veut. Comme nous l’avons vu à la section
précédente, Maple est en mesure, dans les cas où la P-récurrence est de type (d,1), de donner une
forme hypergéométrique et une fois obtenu cette forme, de produire directement la fonction génératrice
algébrique lorsqu’elle s’y prête. C’est donc que : les P-récurrences de type (d,1) sont quelquefois
algébriques. Il en est de même pour les P-récurrences de d’ordre plus élevé. Ce qui nous manque est la
façon d’obtenir la forme close. On ne dispose malheureusement pas de moyen de savoir quel type de P-
récurrence représente une suite qui a une fonction génératrice algébrique. D’après Stanley [Sta80], une
fonction génératrice algébrique est toujours P-récurrente. Ici c’est l’inverse qu’on cherche,
malheureusement ce n’est pas toujours vrai : la fonction exp(x) est P-récurrente mais certainement pas
algébrique.
Une suite a une fonction génératrice algébrique si elle satisfait à
c S
∑
(z)jzk = 0
j, k
(2.3)
0 ≤j, k≤m
2 Nommé ainsi à cause des travaux de Lenstra, Lenstra et Lovasz.
où S(z) est la série qui représente la suite an et les cj,k sont constantes. On pourra alors obtenir la
fonction génératrice close si on peut isoler S(z). Le problème est double ici: il faut d’abord obtenir
l’équation (2.3) et de plus on n’est pas assuré de pouvoir isoler S(z). Ce qui vient à l’esprit est d’essayer
de trouver “à tâtons” une équation en S(z) et z qui s’annulera. Il est possible effectivement de faire un
programme qui fonctionnerait sur le même principe que les P-récurrences. Mais malheureusement la
forme qu’on obtiendra ne sera pas, en général, la plus simple. Par exemple, la suite N0577, les nombres
de Catalan, satisfait à une telle équation. Elle est de degré 2 : S(z)2z - S(z) + 1 = 0. Si on résout cette
équation par rapport à S(z), on obtient une fonction génératrice close des nombres de Catalan. On
s’aperçoit alors qu’il il y a une infinité de telles équations que l’on peut poser. On pourrait peut-être en
obtenir une plus simple.
Il existe un algorithme implanté en Maple qui porte le nom de “minpoly”. Il fait appel à l’algorithme
LLL. Disons simplement qu’il permet de résoudre numériquement le problème exactement inverse de
trouver une racine d’un polynôme. La recherche numérique des racines d’un polynôme est un problème
résolu. Mais nous posons la question suivante: étant donné un nombre réel, de quel polynôme minimal
est-il racine ? Mentionnons dès maintenant qu’on parle ici d’un nombre réel donné avec une certaine
précision numérique. On ne pourra (une fois l’opération réussie) qu’isoler un polynôme qui semble avoir
ce nombre réel comme racine. Il serait un peu long de donner tous les détails qui font qu’aujourd’hui ce
problème est pour ainsi dire numériquement résolu. Mentionnons cependant qu’au moins trois
programmes de calcul symbolique ont implanté cet algorithme: soit Maple, Mathematica et Pari-GP. Pour
la description de cet algorithme, on pourra consulter [BaKa] ou l’article original de [LLL]. La meilleure
version de cet algorithme et de loin la plus rapide est celle qui existe sur Pari-GP [Pari]; elle est au moins
800 fois plus rapide que la version équivalente sur Maple. Quant à Mathematica, disons qu’il est, de façon
générale, 4 fois plus lent que Maple dans tous les calculs. Nous ne l’avons pas considéré ici.
Cette procédure accepte donc en entrée un nombre décimal et donne (selon la précision
numérique en vigueur) le polynôme minimal dont il serait racine. La précision numérique en vigueur est
celle que l’utilisateur demande. Elle devrait idéalement être infinie. Plus raisonnablement, la limite est
d’environ 100 chiffres décimaux sur les machines à notre disposition avec Maple et d’environ 500 chiffres
décimaux avec Pari-GP. Le degré maximal du polynôme que l’on puisse demander dépend largement de
la précision. Dans la pratique, la limite est un polynôme de degré 20. Ceci est quand même suffisant pour
obtenir des résultats intéressants.
Evidemment, si la fonction génératrice close qui représente S(z) est algébrique et si z=1/m est un
nombre rationnel, le résultat, S(1/m) sera alors un nombre algébrique. C’est précisément ici que l’on
utilise l’algorithme LLL. Les centaines de termes que nous donnent la P-récurrence serviront pour
évaluer S(z) en un point 1/m “très petit”, de telle sorte que le résultat soit un nombre algébrique
approché à une grande précision numérique. On ira ensuite chercher avec celui-ci le polynôme dont
S(1/m) est racine. Une fois le polynôme candidat trouvé, on réévalue la série S(z) en un autre point
rationnel ,1/(m+1), et on répète l’appel à l’algorithme. Il se trouve que la version de LLL sur le programme
Pari-GP est extrêmement efficace. Non seulement la procédure (qui s’appelle “algdep”) retourne en
général le bon polynôme, mais de surcroît il est simplifié au maximum. De plus, les solutions trouvées
sont stables; elles sont stables au point qu’elles permettent de reconstruire la fonction génératrice
algébrique. Une fois ces solutions trouvées en fait, la reconstruction de la fonction génératrice se résume
à un calcul d’interpolation assez simple. Comme on l’a mentionné plus tôt, l’appel de la procédure
demande un nombre décimal et un degré. Pour arrêter notre choix sur le bon polynôme, il nous suffit de
rejeter ceux dont la taille est trop grande (en nombre de caractères). Nous utilisons le même critère que
notre méthode des approximants de Padé.
La procédure est la suivante, avec en entrée une suite de la table:
1 ) On teste si la suite est P-récurrente. Si oui on passe à l’étape 2), sinon on arrête.
2 ) On calcule plusieurs centaines de termes de la récurrence (dans la pratique 200 termes suffisent).
3 ) On construit une série S(z) avec ces 200 termes.
4 ) On évalue la série S(z) en des points rationnels 1/m, 1/(m+1),1/(m+2),... . En pratique m=100 et le
nombre de termes = 12.
5 ) On appelle la procédure “algdep” de Pari-GP avec les 12 valeurs trouvées.
6 ) On teste avec des polynômes de degré 2,3,4,..., (dans la pratique les degrés 2 à 8 sont suffisants).
7 ) On récupère les bons polynômes, on pose la variable comme étant x.
8 ) On identifie les coefficients de même degré et on calcule le polynôme d’interpolation en t avec la
méthode de Newton.
9 ) On substitue t=1/z dans l’expression trouvée.
1 0 ) On résout (si le degré de l’expression le permet).
Cet algorithme, quoique très technique, fonctionne très rapidement. Il nous a permis de trouver
32 fonctions génératrices algébriques de degré et de complexité assez élevés.
Illustrons cet algorithme en donnant un exemple.
Exemple 2.3 La suite N0768 des cartes planaires.
Cette suite porte le nom de “Rooted Maps” dans [Sl] mais le titre a été modifié dans [PlSl]. Avec
l’étape 1) de notre algorithme, on trouve que la suite satisfait la P-récurrence :
(n + 1) an = (12 n - 18) an-1.
C’est une P-récurrence candidate pour notre méthode hypergéométrique plutôt que pour
l’algorithme LLL. On procède donc avec celle-ci et il s’avère que c’est une hypergéométrique:
2F1 ([1, 1/2], [3], 12 z).
En demandant à Maple de la simplifier avec “simplify”, celui-ci retourne effectivement une expression
algébrique.
Mais cette expression n’est pas très élégante:
1/2 1/2
(1 - 12 z + 24 z I (12 z - 1) - I (12 z - 1) ) I
- 1/9 -----------------------------------------------------
1/2 1/2
z (1 + I (12 z - 1) ) (12 z - 1)
On voudrait avoir une expression sans valeurs complexes et simplifiée que l’on obtiendrait de
façon automatique. On peut toujours la manipuler à la main, mais notre but est d’obtenir une forme close
automatiquement. On essaye donc avec une autre méthode: la dérivée et les approximants de Padé.
En dérivant S(z) on obtient une expression qui, mise sous forme d’approximant de Padé, nous donne :
(une fois factorisée).
4 3 2 2
(81 z - 648 z + 234 z - 27 z + 1) (9 z - 9 z + 1)
- 2 ---------------------------------------------------------------
3 2 3 2
(9 z - 1) (27 z - 81 z + 18 z - 1) (81 z - 81 z + 18 z - 1)
Si on intègre par rapport à z, on devrait retrouver l’expression, mais il y a des polynômes qui sont du 4è
degré et la solution n’est pas élégante non plus.
On s’en remet donc à notre méthode LLL.
(étape 1) On reprend la P-récurrence et on recalcule la suite mais avec 200 termes.
(étape 2 et 3 ) . On réévalue la série avec ces mêmes 200 termes et nos points d’interpolation 1/(m+i)
avec i=0..4 (5 points d’interpolation devraient suffire)
(étape 4). La première valeur, en m=100, nous donne le premier nombre réel à tester, soit :
1 . 0 2 0 9 5 8 0 9 7 9 4 8 8 1 5 1 1 1 7 6 8 6 8 5 1 8 2 1 9 0 0 1 2 1 0 8 0 6 0 7 7 5 9 6 3 0 4 9 2 1 0 9 3 2 3 3 3 9 8 7 5 5 9 0 7 3 3 9 5 4 3 7 8 8 3 3 6 8 7 0 0 1 5 7 8 4 1 6 4 9 4
132577448905329282269472068...
(étape 5 et 6) En appelant la procédure “algdep” avec ce nombre réel bon à 118 décimales et un
polynôme de degré 2, on obtient, pour les valeurs 1/m, 1/(m+1),1/(m+2),1/(m+3),1/(m+4)
(étape 7) On récupère les bons polynômes:
2
27 x + 8200 x - 8400
2
27 x + 8383 x - 8585
2
27 x + 8568 x - 8772
2
27 x + 8755 x - 8961
2
27 x + 8944 x - 9152
(étape 8) Il nous reste à identifier les coefficients de même degré et à calculer les polynômes
d’interpolation correspondants. On aura: pour le coefficient de x2, les valeurs 27,27,27, ... ,. pour le
coefficient de x, les valeurs 8200, 8383, 8568, 8755 et 8944, aux points d’interpolation
100,101,102,103 et 104. Enfin, pour le coefficient constant, on aura les valeurs -8400, -8585, -8772, -
8961 et -9152 aux mêmes points d’interpolation. On applique alors simplement la formule d’interpolation
de Newton pour trouver une expression polynômiale pour chaque degré. On peut faire appel à la
procédure de la librairie Maple appelée “interp” qui effectue ce calcul automatiquement. Ce qui nous
donnera deux variables, x et t.
(étape 9) Il restera à substituer t=1/z. On obtient finalement:
2 2
- 1 + 16 z + x - 18 x z + 27 x z
----------------------------------
2
z
(étape 10) Il ne reste qu’à résoudre cette équation par rapport à x: on prendra alors la solution positive.
Finalement l’expression algébrique de notre suite de départ serait :
3 1/2
- 1 + 18 z + (- (12 z - 1) )
1/54 -------------------------------
2
z
C’est l’expression la plus simple qu’on ait obtenu pour cette suite. La magie de cet algorithme LLL est
qu’il trouve une expression polynômiale pour un nombre réel qui est en général minimale. Des
expressions de plus haut degré encore ont été obtenues de cette façon, la plus grosse étant de degré 8
et elles sont répertoriées dans notre table en appendice.
CHAPITRE 3
LA MÉTHODE D’EULER
Ainsi nommée parce qu’elle semble avoir été développée à l’époque d’Euler. Nous n’avons pas
trouvé de références historiques sur cette méthode, bien que Andrews [And] la mentionne.
L’idée en est simple: étant donné une suite an dont on suppose la série génératrice de la forme,
∞
∞
S
−c
(z) =1 +
a
∑ zn = ∏(1−zn) n,
n
(3.1)
n =1
n=1
la question est : comment trouver les cn en fonction des an. Comme l’explique Andrews à la page 104, il
suffit d’utiliser la formule d’inversion de Möbius. En effet, puisque le membre de droite de (3.1) est un
produit infini, c’est en prenant le logarithme ou la dérivée logarithmique que nous retrouvons alors une
somme ordinaire. En identifiant le coefficient de degré n (pour exprimer chaque coefficient de an) et en
inversant (par Möbius) par rapport à la somme, nous obtenons les coefficients cn en fonction des an. La
somme s’exprimera en termes des diviseurs de n. Inversement, si nous connaissons les cn et que l’on
cherche les an , l’opération est directe; il suffit de développer le produit en série. En prenant soin de
garder le même ordre de grandeur des séries correspondantes, nous obtenons le même nombre de
termes pour les cn que pour les an. Autrement dit, si les k premiers coefficients de an sont connus, il y
aura alors k coefficients de bons pour les cn.
On peut donc programmer la transformation dans les deux sens en une vingtaine de lignes. La
procédure accepte en entrée une suite et donne du même coup une représentation en “partages”,
c’est-à-dire qu’elle propose un produit infini. Par exemple, la suite N0244 énumère les partages
ordinaires de l’entier n. En effectuant le calcul on trouve la suite 1,1,1,1,1,.... C’est la forme de produit
infini de ce type la plus simple. Mais pour détecter un bon candidat de produit infini avec ce type de
fonction génératrice, dans un cadre plus général, nous avons utilisé la méthode des approximants de
Padé qui permet de détecter les “motifs” dans les exposants. En tout, 94 produits infinis ont ainsi été
isolés grâce à cette méthode. Les résultats sont présentés dans la table en appendice.
CHAPITRE 4
LA MÉTHODE DES RECOUPEMENTS
4.1 Les recoupements indirects.
L’hypothèse que l’on pose ici est que la suite dont on cherche la fonction génératrice est en fait
une suite connue mais transformée. Par exemple, la suite des partages d’entiers N0244 de [Sl] est très
facile à détecter. Il suffit de prendre la méthode d’Euler et le programme nous propose immédiatement un
produit infini très simple. Mais si on effectue la translation an+3, le programme ne détectera pas ce produit
infini. Pour une bonne raison car, si la suite ne commence pas naturellement à 1, alors l’opération d’Euler
n’est pas valide et même si on l’effectue, les termes seront des nombres rationnels (non entiers). Donc
afin de pouvoir isoler le plus possible de suites, on se sert, comme base de comparaison, de la table des
suites qui en contient 4568. En prenant chaque suite transformée de façon élémentaire, on compare
avec la table afin de voir s’il n’y aurait pas un croisement. En tout, nous avons répertorié 97
transformations élémentaires d’une suite susceptibles de se retrouver dans la table, soit 54
transformations avec la suite sous forme de série ordinaire et 43 avec la suite sous forme de série
exponentielle.
Il serait fastidieux de les énumérer toutes, mais en voici quelques unes. Avec S(z) : la suite sous
forme de série ordinaire par exemple, nous avons S(z) + cz/(1-z) ou c=±1,±2,±3, 1/S(z), S(z)2, S(z)3,
S(z)/(1-z) ce qui équivaut à considérer la suite des sommes partielles de la suite. D’autres transformations
sont plus simples encore, comme N \ {an}, la différence ensembliste des entiers et de la suite. On ne
tient pas compte ici de la multiplicité des termes. On a considéré aussi de prendre an/pgcd (a0, a1, a2,...
ak) ou de prendre la suite avec les indices de rang pairs et impairs. L’idée est de prendre des
transformations les plus simples possibles. La transformation d’Euler dans les 2 sens complète la liste.
On pourrait les classer en ces quelques catégories :
1) Translations : S(z) +/- cz/(1-z), avec c=1,2,3.
2) Inverses : 1/S(z),1/S(z)2 ,1/S(z)3.
3) Puissances : S(z)k avec k=1,2,3.
4) Sommes et différences.
5) Transformation de type Euler ( voir chapitre 3).
6) Transformations de type ensembliste comme N \ {an}.
7) Transformations avec le p.g.c.d. .
Les autres sont données en considérant des combinaisons de ces dernières.
Par exemple, de la suite N0577 de [Sl] (les nombres de Catalan), on en obtient 97 autres et en
comparant ces 97 suites avec la table, 6 autres suites au moins seraient liées à cette dernière. C’est donc
que, si on connait déjà la fonction génératrice des nombres de Catalan obtenue avec d’autres méthodes,
alors du même coup on obtient la fonction génératrice de ces 6 autres suites. C’est un avantage, parce
que justement avec cet exemple, si l’on prend an-1 et que l’on compare avec la table, on retrouve la suite
N1409 de [Sl]. Cette suite n’est pas hypergéométrique en vertu d’un critère assez simple de [GKP], elle
ne commence pas par 1. De plus son inverse fonctionnel est impossible à effectuer pour le même genre
de raisons; le premier terme est nul mais le deuxième terme n’est pas 1. Elle est cependant algébrique et
c’est avec la méthode LLL (beaucoup plus lourde) que la fonction génératrice a été trouvée. En fait, elle
est évidemment de la forme S(z) -1/(1-z) où S(z) est la fonction génératrice des nombres de Catalan. Mais
ceci constitue un raisonnement a posteriori. Donc cette méthode des recoupements peut mener à des
résultats très intéressants en autant que le traitement informatique des 97 transformations appliquées
aux 4568 suites et comparées avec ces dernières à chaque fois ne soit pas trop lourd également.
Un détail ne doit cependant pas être oublié. La comparaison de 2 suites entre elles peut mener à
des erreurs. On doit faire la comparaison à partir du deuxième terme, parce que souvent la suite est
répertoriée mais les premiers termes peuvent être d'indices 0 ou 1. C’est-à-dire que la suite ne débute
pas au terme de rang 0. Également on ne doit pas prendre toute la suite: il ne faut pas oublier que
certaines suites de la table sont très courtes et ne contiennent que quelques termes. Elles ne sont pas
moins importantes, par exemple la suite N0323 de [Sl]. Il y a un juste milieu et l’expérience montre que les
indices de rang 2 à 16 sont suffisants, c’est-à-dire les 15 premiers termes de la suite à partir du rang 2.
A cet effet un programme appelé HIS (Handbook of Integer Sequences) a été mis au point. Il n’est
cependant pas public comme le programme gfun. Dans HIS se trouve la table numérique des suites et 2
procédures appelées “find” et “findhard”. La première sert simplement à savoir si une suite se trouve
dans la table et la deuxième fait une recherche dans la table après avoir effectué les 97 transformations
en question. Le programme et la table sont entièrement contenus en Maple. Le programme est donc de
cette façon transportable sur toute machine qui peut recevoir Maple.
La procédure “find” qui en principe ne fait que regarder si une suite se trouve dans la table
emploie une procédure de recherche mise au point par Bruno Salvy de l’INRIA. Il était essentiel d’avoir à
notre disposition un algorithme de recherche qui soit très rapide étant donné le nombre important de
comparaisons à chaque opération. Une structure de données adaptée à ces besoins a été construite
sous forme d’arbre binaire. En effectuant une boucle de calcul sur toute la table avec la procédure
“findhard”, une banque de données des croisements a été obtenue. En tout il y aurait 3800
croisements. Une proportion appréciable des ces croisements, soit environ 25% selon nous, est fortuite
ou accidentelle. Ceci est relié à la décision de ne prendre qu’une partie de chaque suite pour comparer.
Donc pour pouvoir retrouver la fonction génératrice, il y a un travail de vérification nécessaire.
Ce travail de vérification est très long, mais il en vaut la peine. Evidemment, beaucoup de
croisements ne sont pas surprenants: à titre d’exemple, la suite de Fibonacci, qui est très connue et qui a
une fonction génératrice assez simple croise avec une bonne centaine de suites. Aucun de ces
croisements n’est vraiment nouveau. C’est lorsque la suite est intrinsèquement plus complexe que le jeu
en vaut la chandelle. Sans exagérer, nous avons effectué patiemment des centaines d’heures de calcul
et de vérification pour trouver ces résultats et il y en a beaucoup à faire encore, puisque cette table des
3000 bons croisements environ n’a pas été passée en revue au complet. Par ce procédé, 38 fonctions
génératrices ont été obtenues. Elles sont répertoriées dans la table en appendice.
4.2 Les tableaux.
Le programme Maple manipule des données numériquement aussi bien que symboliquement.
La procédure “ratpoly” est capable de trouver une fraction rationnelle de séries à une variable aussi bien
qu’à 2 variables comme les tableaux à 2 dimensions. Un bon exemple est le triangle de Pascal. Il suffit de
le mettre sous forme de tableau “carré” où chaque rangée sera un polynôme. En prenant les 5 premières
rangées, on aura la suite
1, 1 + t, 1 + 2 t + t2, 1 + 3 t + 3 t2 + t3, 1 + 4 t + 6 t2 + 4 t3 + t4 .
Si cette suite (de polynômes) est maintenant convertie en série de puissances en z et passée à la
procédure “ratpoly”, elle retourne immédiatement
1/(1 - t z - z). Si on développe en série par rapport à t, on obtient la fonction génératrice de chaque
colonne et inversement, en développant par rapport à z, on obtient la fonction génératrice de chaque
rangée (qui sont ici des polynômes). Notons que 4 termes suffisent pour trouver la fonction génératrice
du tableau.
Contrairement aux autres méthodes, il n’existe pas de livre ou de catalogue de tels tableaux. Il y
en a un bon nombre dans la littérature, mais ce qui a été fait plutôt est d’en générer de façon ad hoc . Il
faut prendre un modèle de tableaux assez général, par exemple dans [GKP] ou [Théo], où on introduit
les tableaux A[n,k] définis par la relation de récurrence
A[n+1,k+1] = (r n+s k+t) A[n,k+1] + (a n+b k+c) A[n,k]
où a,b,c,r,s et t sont entiers. Il se trouve qu’une bonne partie des tableaux étudiés en combinatoire sont
de ce type: les coefficients binomiaux, les nombres de Stirling de 1ère et de 2ème espèce, les nombres
eulériens, les coefficients des polynômes de Tchébycheff, etc. On peut consulter [Théo] à ce sujet où
une étude approfondie de ces tableaux a été menée. Il reste donc à en générer un bon nombre en
prenant les entiers a,b,c,r,s et t compris entre -4 et 4 et de tenter de trouver la fonction génératrice. Sur
des milliers tableaux générés de cette façon, 430 fonctions génératrices à deux variables ont été
trouvées, couvrant la plupart des cas simples de ces tableaux. On obtient ainsi un échantillonnage assez
important de formules, suffisamment important pour y trouver la fonction génératrice de centaines de
suites de notre table. En tout, 20 nouvelles fonctions génératrices ont été isolées. Ces résultats sont
présentés dans la table en appendice.
CONCLUSION
On conclut que nos méthodes peuvent dans 23 % des cas donner la fonction génératrice d’une
suite d’entiers “quelconque”. Le mot quelconque signifie ici: ce qui est catalogué dans la table de suites
[PlSl]. Nous croyons qu’il en est de même avec toute suite d’entiers qui se présente au mathématicien
dans ses recherches, quel que soit son domaine. Nous souhaitons que ces méthodes deviennent des
outils de travail.
Il reste cependant beaucoup à faire. Il faut trouver une explication raisonnable au fait que nous
sommes passés à côté de 77% des suites. On pourrait peut-être étendre encore les méthodes en
formulant d’autres modèles de fonctions génératrices. En fait, il en existe déjà. Par exemple, la fonction
“plancher” ou partie entière permet de construire des suites très simples que nos méthodes n’ont pas
détectées; la suite [(3/2)n] en est un bon représentant. On pourrait également mettre dans la même
catégorie les suites définies avec des nombres irrationnels comme [√2n]. Un autre modèle pourrait être
basé sur les récurrences quadratiques comme la suite 2,4,16,256,... (en mettant au carré à chaque fois).
Elle est extrèmement simple mais indétectable par nos méthodes. Un autre serait basé sur les suites
“doublement” récurrentes, là où il y a une fonction de l’indice comme aa(n). On pourrait multiplier les
exemples de suites très simplement définies mais indétectables. Ce qui caractérise une table de suites
comme [Sl] ou [PlSl], c’est la variété et c’est précisément ce qui nous passionne.
BIBLIOGRAPHIE
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Reference Manual, Springer Verlag, (1991), Waterloo Maple Publishing.
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Bordeaux I, document interne, 8 Décembre 1991.
[Plsl] S. Plouffe, N.J.A. Sloane, The New Book of Integer Sequences, preprint 1992, titre provisoire.
[Sl] N.J.A. Sloane, A Handbook of Integer Sequences, Academic Press, New York, 1973.
[ S t a 8 0 ] R. Stanley, Differentiably finite power series, European Journal of Combinatorics, vol. 1,(1980),
p.175-188.
[Théo] P. Théoret, Thèse de Ph. D., “Etude des doubles suites définies par une récurrence du premier
degré”, Université du Québec à Montréal, preprint 1992.
A.0 NOTES À L’UTILISATEUR DE LA TABLE
Chaque fonction génératrice trouvée à l’aide de l’une de nos méthodes est répertoriée dans la
table qui suit sous forme de fiche. Chaque fiche contient les informations pertinentes à cette suite :
• Numéro séquentiel Axxxx et Nxxxx (s’il existe)
• Nom de la suite
• Les références bibliographiques avec dans l’ordre : Périodique Volume Page Année
• La méthode employée pour trouver la fonction génératrice
• Le type de fonction génératrice
• Commentaires additionnels
• Autres formules connues ou trouvées
• La fonction génératrice
• La suite numérique
Elles apparaissent selon le schéma suivant:
Nom de la suite
Références
Numéro Axxxx
Méthode employée
Commentaires
Numéro Nxxxx Type de fonction génératrice
Autre formules
Fonction génératrice
Références
Suite numérique
• Les références bibliographiques sont notées exactement comme dans le livre [Sl]. La liste des
ouvrages se trouve dans une bibliographie séparée à la fin de la table.
• La fonction génératrice qui apparaît au centre est toujours une fonction génératrice ordinaire à moins
qu’il en soit indiqué autrement (exponentielle ou double exponentielle).
• Les fiches ont été triées par ordre numérique sur les numéros Axxxx. Cette table est une pile
Hypercard. On peut donc l’utiliser sur tout ordinateur Macintosh et la consulter comme une banque de
donnée. Nous prévoyons un accès à Maple. De cette façon l’utilisateur pourra vérifier chaque formule.
• W(z) désigne la fonction Oméga, définie implicitement par W(z) exp(W(z)) = z. On la connait aussi sous
sa forme de série exponentielle dont les coefficients sont donnés, en valeur absolue, |a | = 0, |a | = nn-
0
n
1pour n>0 (série alternante à terme constant nul). Son rayon de convergence est 1/e et elle est souvent
utilisée pour le développement en série de certaines fonctions génératrices de structures
arborescentes. Elle est très commode dans les calculs.
• La fonction génératrice qui apparaît au centre de chaque fiche est la plus simple ou plus élégante
expression que nous connaissons donnant les termes de la suite.
• Le nom de chaque suite (s’il est présent) est tel qu’il apparaît dans [PlSl]. Quand il est omis c’est qu’il est
d’une forme que nous jugeons redondante par rapport à la fonction génératrice.
• Les P-récurrences qui apparaissent dans la case “fonction génératrice” ou “autres formules” ont leur
conditions initiales données par les premiers termes de la suite.
• La suite qui apparaît dans la case “suite numérique” est telle qu’elle apparaît dans [PlSl], plus de termes
peuvent être évidemment obtenus avec la fonction génératrice.
• Certaines fiches ont été imprimées en format pleine grandeur pour plus de lisibilité
A.1
Réf.
H I S 2
H I S 1
1031 Generating Functions
par
Simon Plouffe
August 1992
found using GFUN and other tools with a sample of the Encyclopedia of Integer
Sequences (as of 1992)
with 4568 sequences.
Denumerants
Réf.
R1 152.
H I S 2 A0008
Euler
erreur au 19è terme corrigée avec la
H I S 1 N0099
Fraction rationnelle
formule
1
___________________________________
2 5 10
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 16, 19, 22, 25, 28, 34, 40
A.2
Partitions n into distinct parts
Réf.
AS1 836.
H I S 2 A0009
Euler
H I S 1 N0100
Produit infini
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 38, 46, 54, 64, 76, 89, 104,
122, 142, 165, 192, 222, 256, 296, 340, 390, 448, 512, 585, 668, 760, 864,
982, 1113, 1260, 1426
Related to Latin Rectangles
Réf.
R1 210.
H I S 2 A0023
Recoupements
Suite P-récurrente
H I S 1 N0140
exponentielle (rationnelle)
a(n) = (3 n - 1) a(n - 1) + (- 4 n + 2) a(n - 2)
1
________________
exp(2 z) (1 - z)
1, 1, 2, 2, 8, 8, 112, 656, 5504, 49024, 491264
A.3
The natural numbers
Réf.
H I S 2 A0027
Approximants de Padé
H I S 1 N0173
Fraction rationnelle
1
________
2
(1 - z)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24,
25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45,
46, 47, 48, 49
Partitions of n
Réf.
RS4 90. R1 122. AS1 836.
H I S 2 A0041
Euler
H I S 1 N0244
Produit infini
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490,
627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349,
10143, 12310, 14883
A.4
Dying Rabbits
Réf.
FQ 2 108 64.
H I S 2 A0044
Approximants de Padé
H I S 1 N0255
Fraction rationnelle
a(n+13)=a(n+12)+a(n+11)+a(n)
2 4 6 8 10
1 + z + z + z + z + z
________________________________
3 5 7 9 11
1 - z - z - z - z - z - z
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 232, 375, 606, 979, 1582, 2556, 4130,
6673, 10782, 17421, 28148, 45480, 73484, 118732, 191841, 309967, 500829,
809214, 1307487
Fibonacci numbers
Réf.
HW1 148. HO69.
H I S 2 A0045
Approximants de Padé
H I S 1 N0256
Fraction rationnelle
1
___________
2
1 - z - z
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,
6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,
832040, 1346269
A.5
2 ^ n + 1
Réf.
BA9.
H I S 2 A0051
Approximants de Padé
H I S 1 N0266
Fraction rationnelle
2 - 3 z
__________________
(1 - z) (1 - 2 z)
2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, 1025, 2049, 4097, 8193, 16385, 32769,
65537, 131073, 262145, 524289, 1048577, 2097153, 4194305, 8388609,
16777217
Denumerants
Réf.
R1 152.
H I S 2 A0064
Euler
erreur au 19è terme corrigée avec la
H I S 1 N0375
Fraction rationnelle
formule
1
____________________________________
2 2 5 10
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 2, 4, 6, 9, 13, 18, 24, 31, 39, 50, 62, 77, 93, 112, 134, 159, 187, 252, 292
A.6
n-node trees of height 2
Réf.
IBMJ 4 475 60. KU64.
H I S 2 A0065
Euler
H I S 1 N0379
Produit infini
1, 2, 4, 6, 10, 14, 21, 29, 41, 55, 76, 100, 134, 175, 230, 296, 384, 489, 626,
791, 1001, 1254, 1574, 1957, 2435, 3009, 3717, 4564, 5603, 6841, 8348,
10142, 12309
Partitions of n into parts of 2 kinds
Réf.
RS4 90. RCI 199. FQ 9 332 71.
H I S 2 A0070
Euler
H I S 1 N0396
Produit infini
c(n) = 2,1,1,1,1,...
1, 2, 4, 7, 12, 19, 30, 45, 67, 97, 139, 195, 272, 373, 508, 684, 915, 1212,
1597, 2087, 2714, 3506, 4508, 5763, 7338, 9296, 11732, 14742, 18460,
23025, 28629, 35471
A.7
Fibonacci numbers - 1
Réf.
R1 155. AENS 79 203 62. FQ 3 295 65.
H I S 2 A0071
Approximants de Padé
H I S 1 N0397
Fraction rationnelle
1
_____________
3
1 - 2 z + z
1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583, 4180, 6764,
10945, 17710, 28656, 46367, 75024, 121392, 196417, 317810, 514228,
832039, 1346268
Tribonacci numbers
Réf.
FQ 1(3) 71 63; 5 211 67.
H I S 2 A0073
Approximants de Padé
H I S 1 N0406
Fraction rationnelle
z
_______________
2 3
1 - z - z - z
0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609,
19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757,
4700770, 8646064
A.8
Tetranacci numbers
Réf.
AMM 33 232 26. FQ 1(3) 74 63.
H I S 2 A0078
Approximants de Padé
H I S 1 N0423
Fraction rationnelle
1
____________________
2 3 4
1 - z - z - z - z
1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569,
39648, 76424, 147312, 283953, 547337, 1055026, 2033628, 3919944,
7555935, 14564533
Powers of 2
Réf.
BA9. MOC 23 456 69.
H I S 2 A0079
Approximants de Padé
H I S 1 N0432
Fraction rationnelle
1
_______
1 - 2 z
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768,
65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608,
16777216
A.9
Rooted trees with n nodes
Réf.
R1 138. HA69 232.
H I S 2 A0081
Recoupements
H I S 1 N0454
Produit infini
c(n) = a(n) : la suite elle-même.
1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, 87811, 235381,
634847, 1721159, 4688676, 12826228, 35221832, 97055181, 268282855,
743724984
Réf.
LU91 1 221. R1 86. MU60 6. DMJ 35 659 68.
H I S 2 A0085
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0469
exponentielle
a(n) = a(n - 1) + (n - 1) a(n - 2)
2
exp(z + 1/2 z )
1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35696, 140152, 568504, 2390480,
10349536, 46206736, 211799312, 997313824, 4809701440, 23758664096
A.10
Permutations with no cycles of length 3
Réf.
R1 85.
H I S 2 A0090
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0496
exponentielle
a(n) = (n^3-n^2)a(n-1)+(6 n^3-5 n^2+n)a(n-3)+(24 n^3-26 n^2+9 n-1)a(n-4)
1
__________________
3
exp(1/3 z ) (1 - z)
1, 1, 2, 4, 16, 80, 520, 3640, 29120, 259840, 2598400, 28582400, 343235200,
4462057600, 62468806400, 936987251200, 14991796019200,
254860532326400, 4587501779660800
Réf.
AS1 797.
H I S 2 A0096
Approximants de Padé
H I S 1 N0522
Fraction rationnelle
z (z - 2)
__________
3
(z - 1)
0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, 65, 77, 90, 104, 119, 135, 152, 170, 189, 209,
230, 252, 275, 299, 324, 350, 377, 405, 434, 464, 495, 527, 560, 594, 629,
665, 702, 740, 779
A.11
Partitions of n into parts of 2 kinds
Réf.
RS4 90. RCI 199.
H I S 2 A0097
Euler
H I S 1 N0525
Produit infini
c(n) = 2,2,1,1,1,1,1,1,...
1, 2, 5, 9, 17, 28, 47, 73, 114, 170, 253, 365, 525, 738, 1033, 1422, 1948,
2634, 3545, 4721, 6259, 8227, 10767, 13990, 18105, 23286, 29837, 38028,
48297, 61053
Partitions of n into parts of 2 kinds
Réf.
RS4 90. RCI 199.
H I S 2 A0098
Euler
H I S 1 N0533
Produit infini
c(n) = 2,2,2,1,1,1,1,1,1,...
1, 2, 5, 10, 19, 33, 57, 92, 147, 227, 345, 512, 752, 1083, 1545, 2174, 3031,
4179, 5719, 7752, 10438, 13946, 18519, 24428, 32051, 41805, 54265, 70079,
90102, 115318
A.12
Compositions
Réf.
R1 155.
H I S 2 A0100
Approximants de Padé
H I S 1 N0543
Fraction rationnelle
1
______________________________
2 2 3
(1 - z - z ) (1 - z - z - z )
1, 2, 5, 11, 23, 47, 94, 185
Compositions
Réf.
R1 155.
H I S 2 A0102
Approximants de Padé
H I S 1 N0551
Fraction rationnelle
1
___________________________________
2 3 2 3 4
(1 - z - z - z ) (1 - z - z - z - z )
1, 2, 5, 12, 27, 59, 127
A.13
Catalan's Numbers
Réf.
AMM 72 973 65. RCI 101. C1 53. PLC 2 109 71. MAG 61 211 88.
H I S 2 A0108
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1 N0577
algébrique
2F1 ([1, 1/2], [2], 4 z)
n a(n) = (4 n - 6) a(n - 1)
2
_________________
1/2
1 + (1 - 4 z)
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,
2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
6564120420, 24466267020
Bell Numbers
Réf.
MOC 16 418 62. AMM 71 498 64. PSPM 19 172 71. GO71.
H I S 2 A0110
Recoupements
H I S 1 N0585
exponentielle
exp(exp(z) - 1)
1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597,
27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804,
682076806159, 5832742205057
A.14
Euler numbers
Réf.
JDM 7 171 1881. JO61 238. NET 110. DKB 262. C1 259.
H I S 2 A0111
Inverse fonctionnel
H I S 1 N0587
exponentielle (complexe)
tan(1/4 Pi + 1/2 z) - 1
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256,
199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441,
29088885112832
Denumerants
Réf.
R1 152.
H I S 2 A0115
Euler
erreur au 19è terme corrigée avec la
H I S 1 N0098
Fraction rationnelle
formule
1
________________________
2 5
(1 - z) (1 - z ) (1 - z )
1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 26, 29
A.15
Representations of n as a sum of distinct Fibonaccis
Réf.
FQ 4 305 66. BR72 54.
H I S 2 A0119
Euler
H I S 1 N0037
Produit infini
c(n) = 1,2,3,5,8,... nombres de Fibonacci
1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 3, 1, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 4, 2, 5, 3,
3, 4, 1, 4, 4, 3, 6, 3, 5, 5, 2, 6, 4, 4, 6, 2, 5, 5, 3, 6, 3, 4, 4, 1, 5, 4, 4, 7, 3, 6, 6,
3, 8, 5, 5, 7, 2, 6, 6, 4
Representations of n as a sum of Fibonacci numbers
Réf.
FQ 4 304 66.
H I S 2 A0121
Euler
H I S 1 N0088
Produit infini
c(n) = 1,2,3,5,8,... nombres de Fibonacci
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 6, 5, 6, 6, 5, 6, 4, 5, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 6, 7, 8,
6, 7, 5, 5, 8, 7, 9, 9, 8, 10, 7, 8, 10, 8, 10, 8, 7, 10, 8, 9, 9, 7, 8, 5, 6, 9, 8, 11,
10, 9, 12, 9, 11, 13
A.16
Binary partitions (partitions of 2n into powers of 2)
Réf.
FQ 4 117 66. PCPS 66 376 69. AB71 400. BIT 17 387 77.
H I S 2 A0123
Euler
H I S 1 N0378
Produit infini
1
_________________________________________________________
2 2 4 8 16 32
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )...
1, 2, 4, 6, 10, 14, 20, 26, 36, 46, 60, 74, 94, 114, 140, 166, 202, 238, 284, 330,
390, 450, 524, 598, 692, 786, 900, 1014, 1154, 1294, 1460, 1626, 1828, 2030,
2268, 2506
Central polygonal numbers
Réf.
MAG 30 150 46. HO50 22. FQ 3 296 65.
H I S 2 A0124
Approximants de Padé
H I S 1 N0391
Fraction rationnelle
2
1 - z + z
___________
3
(1 - z)
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191,
211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, 407, 436, 466, 497, 529, 562, 596,
631, 667, 704, 742
A.17
Slicing a cake with n slices
Réf.
MAG 30 150 46. FQ 3 296 65.
H I S 2 A0125
Approximants de Padé
H I S 1 N0419
Fraction rationnelle
1+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)
2
1 - 2 z + 2 z
______________
4
(1 - z)
1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988,
1160, 1351, 1562, 1794, 2048, 2325, 2626, 2952, 3304, 3683, 4090, 4526,
4992, 5489
A nonlinear binomial sum
Réf.
FQ 3 295 65.
H I S 2 A0126
Approximants de Padé
H I S 1 N0421
Fraction rationnelle
3
1 - z + z
_____________________
2 2
(1 - z - z ) (z - 1)
1, 2, 4, 8, 15, 27, 47, 80, 134, 222, 365, 597, 973, 1582, 2568, 4164, 6747,
10927, 17691, 28636, 46346, 75002, 121369, 196393, 317785, 514202,
832012, 1346240
A.18
C(n,4)+C(n,3)+ ... +C(n,0)
Réf.
MAG 30 150 46. FQ 3 296 65.
H I S 2 A0127
Approximants de Padé
H I S 1 N0427
Fraction rationnelle
2 3 4
1 - 3 z + 4 z - 2 z + z
_________________________
5
(1 - z)
1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517,
3214, 4048, 5036, 6196, 7547, 9109, 10903, 12951, 15276, 17902, 20854,
24158, 27841, 31931
A nonlinear binomial sum
Réf.
FQ 3 295 65.
H I S 2 A0128
Approximants de Padé
H I S 1 N0428
Fraction rationnelle
2 3
1 - 2 z + z + z
______________________
2 3
(1 - z - z ) (1 - z)
1, 2, 4, 8, 16, 31, 58, 105, 185, 319, 541, 906, 1503, 2476, 4058, 6626, 10790,
17537, 28464, 46155, 74791, 121137, 196139, 317508, 513901, 831686,
1345888
A.19
Pell numbers
Réf.
FQ 4 373 66. RI89 43.
H I S 2 A0129
Approximants de Padé
H I S 1 N0552
Fraction rationnelle
a(n)=2 a(n-1)+a(n-2)
1
_____________
2
1 - 2 z - z
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025,
470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, 93222358,
225058681
Réf.
R1 85.
H I S 2 A0138
Dérivée logarithmique
Suite P-réccurente
H I S 1 N0638
exponentielle
a(n) =(n - 1) a(n - 1) - (n^3 - 9 n^2 + 26 n - 24) a(n - 4) +
(n^4 - 14 n^3 + 71 n^2 - 154 n + 120) a(n - 5)
1
__________________
4
exp(1/4 z ) (1 - z)
1, 1, 2, 6, 18, 90, 540, 3780, 31500, 283500, 2835000, 31185000, 372972600,
4848643800, 67881013200, 1018215198000, 16294848570000,
277012425690000, 4986223662420000
A.20
Réf.
CJM 15 257 63. AB71 363.
H I S 2 A0139
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0651
algébrique
équation du 3è degré
1/2 (n + 1) (2 n + 1) a(n) = 3/4 (3 n - 1) (3 n - 2) a(n - 1)
3F2 ([1, 4/3, 5/3],[3, 5/2],27 z / 4)
1, 2, 6, 22, 91, 408, 1938, 9614, 49335, 260130, 1402440, 7702632,
42975796, 243035536, 1390594458, 8038677054, 46892282815,
275750636070, 1633292229030, 9737153323590
Factorial numbers
Réf.
AS1 833. MOC 24 231 70.
H I S 2 A0142
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0659
Fraction rationnelle
a(n) = n a(n-1)
1
_____
1 - z
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800,
479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000,
355687428096000
A.21
Oriented rooted trees with n nodes
Réf.
R1 138.
H I S 2 A0151
Euler
H I S 1 N0701
Produit infini
c(n) = 2 a(n)
1, 2, 7, 26, 107, 458, 2058, 9498, 44947, 216598, 1059952, 5251806,
26297238, 132856766, 676398395, 3466799104, 17873808798,
92630098886, 482292684506
Réf.
R1 188.
H I S 2 A0153
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0706
exponentielle
a(n) = n a(n-1) + (n - 2) a(n-2)
1
_______________
3
(1 - z) exp(z)
0, 1, 2, 7, 32, 181, 1214, 9403, 82508, 808393, 8743994, 103459471,
1328953592, 18414450877, 273749755382, 4345634192131,
73362643649444
A.22
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45.
H I S 2 A0154
Recoupements
H I S 1 N0710
exponentielle (log)
L'inverse fonctionnel est exp(exp(z)-1) : Les nombres de Bell.
- ln(1 + ln(1 - z)) + 1
1, 1, 2, 7, 35, 228, 1834, 17382, 195866, 2487832, 35499576, 562356672,
9794156448, 186025364016, 3826961710272, 84775065603888,
2011929826983504
Double factorials
Réf.
AMM 55 425 48. MOC 24 231 70.
H I S 2 A0165
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0742
Fraction rationnelle
2^(m-1) Γ(m)
1
_______
1 - 2 z
1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, 10321920, 185794560, 3715891200,
81749606400, 1961990553600, 51011754393600, 1428329123020800
A.23
Subfactorial or rencontres numbers
Réf.
R1 65. DB1 168. RY63 23. MOC 21 502 67. C1 182.
H I S 2 A0166
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0766
exponentielle
a(n) = (n - 2) a(n-1) + (n - 2) a(n -2)
1
_____________
(1 - z) exp(z)
1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841,
2290792932, 32071101049, 481066515734, 7697064251745,
130850092279664
Réf.
CJM 15 254 63; 33 1039 81. JCT 3 121 67.
H I S 2 A0168
hypergéométrique-LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N0768
algébrique
2F 1([1, 1/2], [3], 12 z)
(n + 1) a(n) = (12 n - 18) a(n - 1)
3 1/2
- 1 + 18 z + (- (12 z - 1) )
_______________________________
2
54 z
1, 2, 9, 54, 378, 2916, 24057, 208494, 1876446, 17399772, 165297834,
1602117468, 15792300756, 157923007560, 1598970451545,
16365932856990
A.24
Réf.
BA9. R1 128.
H I S 2 A0169
Inverse fonctionnel
L'inverse fonctionnel est z exp(- z)
H I S 1 N0771
exponentielle
n^ (n-1)
- W(- z)
1, 2, 9, 64, 625, 7776, 117649, 2097152, 43046721, 1000000000,
25937424601, 743008370688, 23298085122481, 793714773254144,
29192926025390625
Card matching
Réf.
R1 193.
H I S 2 A0172
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N0781
* titre modifié
n
∑ (n,k) ^ 3 = a(n)
k=0
2
a(n) (n - 1) =
2
(7 n - 21 n + 16) a(n - 1) +
2
(8 n - 32 n + 32) a(n - 2)
1, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, 739162, 5280932, 38165260,
278415920, 2046924400, 15148345760, 112738423360, 843126957056,
6332299624282
A.25
Ménage numbers
Réf.
CJM 10 478 58. R1 197.
H I S 2 A0179
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N0815
2
(n - 39/7) a(n) = (n - 47/7 n + 43/7) a(n - 1) +
2
(1/7 n + n - 65/7) a(n - 2) +
2
(- 6/7 n + 67/7 n - 26) a(n - 3) +
(- 6/7 n + 36/7) a(n - 4)
1, 1, 0, 1, 2, 13, 80, 579, 4738, 43387, 439792, 4890741, 59216642,
775596313, 10927434464, 164806435783, 2649391469058,
45226435601207, 817056406224416
Permutations with no cycles of length 3
Réf.
R1 83.
H I S 2 A0180
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0816
exponentielle
a(n) = (3 n - 4) a(n - 1) + (3 n - 6) a(n - 2)
1
__________________
(1 - 3 z) exp( z )
1, 2, 13, 116, 1393, 20894, 376093, 7897952, 189550849, 5117872922,
153536187661, 5066694192812, 182400990941233, 7113638646708086
A.26
Lucas numbers
Réf.
HW1 148. HO69. C1 46.
H I S 2 A0204
Approximants de Padé
H I S 1 N0924
Fraction rationnelle
a(n) = a(n-1) + a(n-2)
1 + 2 z
___________
2
1 - z - z
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778,
9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204,
710647, 1149851
Réf.
SMA 20 23 54. R1 233. JCT 7 292 69.
H I S 2 A0211
Approximants de Padé
H I S 1 N0953
Fraction rationnelle
(1 + z) (4 z - 3)
____________________
2
(1 - z) (1 - z - z )
3, 5, 6, 9, 13, 20, 31, 49, 78, 125, 201, 324, 523, 845, 1366, 2209, 3573, 5780,
9351, 15129, 24478, 39605, 64081, 103684, 167763, 271445, 439206,
710649, 1149853
A.27
Réf.
H I S 2 A0212
Approximants de Padé
H I S 1 N0966
Fraction rationnelle
Partie entière de (n^2)/3.
2 3 4 5
1 - z + 2 z - z + 2 z - z
________________________________
2 3
(z + z + 1) (1 - z)
1, 1, 3, 5, 8, 12, 16, 21, 27, 33, 40, 48, 56, 65, 75, 85, 96, 108, 120, 133, 147,
161, 176, 192, 208, 225, 243, 261, 280, 300, 320, 341, 363, 385, 408, 432,
456, 481, 507, 533
Réf.
FQ 1(3) 72 63; 2 260 64.
H I S 2 A0213
Approximants de Padé
H I S 1 N0975
Fraction rationnelle
(z - 1) (1 + z)
__________________
2 3
1 - z - z - z
1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201, 2209, 4063, 7473, 13745,
25281, 46499, 85525, 157305, 289329, 532159, 978793, 1800281, 3311233,
6090307, 11201821
A.28
Triangular numbers
Réf.
D1 2 1. RS3. B1 189. AS1 828.
H I S 2 A0217
Approximants de Padé
H I S 1 N1002
Fraction rationnelle
1
________
3
(1 - z)
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190,
210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595,
630, 666, 703, 741
Planar partitions of n
Réf.
MA15 2 332. PCPS 63 1099 67. AN76 241.
H I S 2 A0219
Euler
H I S 1 N1016
Produit infini
c(n) = 1,2,3,4,5,6,7,...
1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 282, 500, 859, 1479, 2485, 4167, 6879, 11297,
18334, 29601, 47330, 75278, 118794, 186475, 290783, 451194, 696033,
1068745, 1632658
A.29
2 ^ ( n - 1)
Réf.
BA9.
H I S 2 A0225
Approximants de Padé
H I S 1 N1059
fraction rationnelle
1
__________________
(1 - 2 z) (1 - z)
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767,
65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607,
16777215, 33554431
Réf.
R1 65.
H I S 2 A0240
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1111
exponentielle
a(n) = (n - 2) a(n - 1) + (2 n - 3) a(n - 2) + (n - 2) a(n - 3)
2
exp(- z) (z - z + 1)
______________________
2
(z - 1)
1, 0, 3, 8, 45, 264, 1855, 14832, 133497, 1334960, 14684571, 176214840,
2290792933, 32071101048, 481066515735, 7697064251744,
130850092279665
A.30
Crossing number of complete graph with n nodes
Réf.
GU60. AMM 80 53 73.
H I S 2 A0241
Approximants de Padé
conjecture connue
H I S 1 N1115
Fraction rationnelle
2
1 + z + z
__________________
5 3
(z - 1) (z + 1)
0, 0, 0, 0, 1, 3, 9, 18, 36, 60, 100, 150, 225, 315, 441, 588
Powers of 3
Réf.
BA9.
H I S 2 A0244
Approximants de Padé
H I S 1 N1129
fraction rationnelle
1
_______
1 - 3 z
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441,
1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489,
1162261467
A.31
Réf.
QAM 14 407 56. MOC 29 216 75. FQ 14 397 76.
H I S 2 A0245
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1130
algébrique
(n + 2) a(n) = (5 n + 2) a(n - 1) + (- 4 n + 6) a(n - 2)
2F1([3/2, 2], [4], 4 z)
8 z
_____________________
1/2 3
(1 + (1 - 4 z) )
1, 3, 9, 28, 90, 297, 1001, 3432, 11934, 41990, 149226, 534888, 1931540,
7020405, 25662825, 94287120, 347993910, 1289624490, 4796857230,
17902146600
Permutations of length n with odd cycles
Réf.
R1 87.
H I S 2 A0246
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1137
algébrique
a(n) = a(n - 1) + (n^2 - 3 n + 2) a(n - 2)
1
______________________
3/2 1/2
(1 - z) (1 + z)
0, 1, 1, 3, 9, 45, 225, 1575, 11025, 99225, 893025, 9823275, 108056025,
1404728325, 18261468225, 273922023375, 4108830350625,
69850115960625
A.32
Associated Stirling numbers
Réf.
R1 76. DB1 296. C1 222.
H I S 2 A0247
Approximants de Padé
H I S 1 N1141
fraction rationnelle
3 - 2 z
_______________________
2 3
1 - 4 z + 5 z - 2 z
3, 10, 25, 56, 119, 246, 501, 1012, 2035, 4082, 8177, 16368, 32751, 65518,
131053, 262124, 524267, 1048554, 2097129, 4194280, 8388583, 16777190,
33554405
Forests with n nodes and height at most 1
Réf.
JCT 3 134 67; 5 102 68. C1 91.
H I S 2 A0248
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1148
exponentielle
exp(exp(z) z)
1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393, 293608, 2237921, 18210094,
157329097, 1436630092, 13810863809, 139305550066, 1469959371233
A.33
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 833. DKB 226.
H I S 2 A0254
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N1165
exponentielle (log)
a(n) = (2 n - 1) a(n - 1) + (- n^2 + 2 n - 1) a(n - 2)
1 - ln(1 - z)
______________
2
(1 - z)
1, 3, 11, 50, 274, 1764, 13068, 109584, 1026576, 10628640, 120543840,
1486442880, 19802759040, 283465647360, 4339163001600,
70734282393600
Réf.
R1 188. DKB 263. MAG 52 381 68.
H I S 2 A0255
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1166
exponentielle
a(n) = na(n-1) + (n-1)a(n-2)
exp(- z)
________
2
(1 - z)
1, 1, 3, 11, 53, 309, 2119, 16687, 148329, 1468457, 16019531, 190899411,
2467007773, 34361893981, 513137616783, 8178130767479
A.34
Réf.
CJM 15 268 63.
H I S 2 A0256
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N1173
algébrique 3è degré
1/2 (n - 1) (n - 3) (2 n - 1) a(n) =
2
1/16 (n - 3) (104 n - 430 n + 414) a(n - 1)
2
+ 1/16 (n - 3) (27 n - 81 n + 60) a(n - 2)
1, 1, 0, 1, 3, 12, 52, 241, 1173, 5929, 30880, 164796, 897380, 4970296,
27930828, 158935761, 914325657, 5310702819, 31110146416,
183634501753, 1091371140915
Rooted bicubic maps
Réf.
CJM 15 269 63.
H I S 2 A0257
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1175
algébrique
2F1([1, 3/2], [4], 8 z)
(n + 2) a(n) = (8 n - 4) a(n - 1)
1/2 3/2
3 (1 - 8 z) + 8 z - 3 (1 - 8 z)
_________________________________
1/2 3
4 (1 + (1 - 8 z) ) z
1, 3, 12, 56, 288, 1584, 9152, 54912, 339456
A.35
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45. PRV A32 2342 85.
H I S 2 A0258
Recoupements
H I S 1 N1178
exponentielle
exp(exp(exp(z) - 1) - 1)
1, 1, 3, 12, 60, 358, 2471, 19302, 167894, 1606137, 16733779, 188378402,
2276423485, 29367807524, 402577243425, 5840190914957,
89345001017415
Réf.
CJM 14 32 62.
H I S 2 A0260
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1187
algébrique
algébrique du 4è degré
4F3 ([1, 1/2, 3/4, 5/4],[2, 5/3, 4/3],(256/27) z)
1/9 (3 n - 1) (3 n - 2) n a(n) =
8/27 (4 n - 5) (4 n - 3) (2 n - 3) a(n - 1)
1, 1, 3, 13, 68, 399, 2530, 16965, 118668, 857956, 6369883, 48336171,
373537388, 2931682810, 23317105140, 187606350645, 1524813969276,
12504654858828
A.36
Réf.
R1 188.
H I S 2 A0261
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1189
exponentielle
a(n) = (n + 1) a(n - 1) + (n - 2) a(n - 2)
exp(- z)
_________
4
(1 - z)
0, 1, 3, 13, 71, 465, 3539, 30637, 296967, 3184129, 37401155, 477471021,
6581134823, 97388068753, 1539794649171, 25902759280525,
461904032857319
Réf.
RCI 194. PSPM 19 172 71.
H I S 2 A0262
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1190
exponentielle
a(n) = (2n-1) a(n-1) - (n-1) (n-2) a(n-2)
exp(z/(1-z))
1, 1, 3, 13, 73, 501, 4051, 37633, 394353, 4596553, 58941091, 824073141,
12470162233, 202976401213, 3535017524403, 65573803186921,
1290434218669921
A.37
Réf.
R1 85.
H I S 2 A0266
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1211
exponentielle
a(n) = (n - 1) a(n - 1) + (- n + 2) a(n - 2) + (n^2 - 5 n + 6) a(n - 3)
1
_________________
2
exp(1/2 z ) (1 - z)
1, 1, 1, 3, 15, 75, 435, 3045, 24465, 220185, 2200905, 24209955, 290529855,
3776888115, 52876298475, 793144477125, 12690313661025,
215735332237425, 3883235945814225
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45.
H I S 2 A0268
Recoupements
H I S 1 N1218
exponentielle
L'inverse fonctionnel est exp(exp(exp(z)-1)-1)
- ln(1 + ln(1 + ln(1 - z))) + 1
1, 1, 3, 15, 105, 947, 10472, 137337, 2085605, 36017472, 697407850,
14969626900, 352877606716, 9064191508018, 252024567201300,
7542036496650006
A.38
Sums of ménage numbers
Réf.
AH21 2 79. CJM 10 478 58. R1 198.
H I S 2 A0271
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N1222
a(n) = (n + 1) a(n - 1) + (n + 1) a(n - 2) + a(n - 3)
0, 0, 1, 3, 16, 96, 675, 5413, 48800, 488592, 5379333, 64595975, 840192288,
11767626752, 176574062535, 2825965531593, 48052401132800,
865108807357216
Réf.
BA9. R1 128.
H I S 2 A0272
Inverse fonctionnel
H I S 1 N1227
exponentielle
f.g. exponentielle
n^(n-2)
L'inverse est ln(1+z)/(1+z)
z + W(- z)
________
z
1, 3, 16, 125, 1296, 16807, 262144, 4782969, 100000000, 2357947691,
61917364224, 1792160394037, 56693912375296, 1946195068359375
A.39
Permutations of length n by rises
Réf.
DKB 263. R1 210 (divided by 2).
H I S 2 A0274
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1236
exponentielle
a(n) = (n + 1) a(n - 1) + (n + 3) a(n - 2) + (- n + 3) a(n - 3) + (- n + 2) a(n - 4)
2 3 4
2 - 5 z + 2 z - z
___________________
4
2 (1 - z) exp(z)
1, 3, 18, 110, 795, 6489, 59332, 600732, 6674805, 80765135, 1057289046,
14890154058, 224497707343, 3607998868005
Associated Stirling numbers
Réf.
R1 75. C1 256.
H I S 2 A0276
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N1248
exponentielle (log)
Formule de B. Salvy
a(n) = (2 n + 2) a(n - 1) - (n^2 + 1) a(n - 2) - (n^2 + n) a(n - 3)
2 z - 6 ln(- z + 1) + 3
______________________
4
(1 - z)
3, 20, 130, 924, 7308, 64224, 623376, 6636960, 76998240, 967524480,
13096736640, 190060335360, 2944310342400, 48503818137600,
846795372595200
A.40
Réf.
FQ 3 129 65. BR72 53.
H I S 2 A0285
Approximants de Padé
H I S 1 N1309
Fraction rationnelle
1 + 3 z
___________
2
1 - z - z
1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254, 411, 665, 1076, 1741, 2817, 4558,
7375, 11933, 19308, 31241, 50549, 81790, 132339, 214129, 346468, 560597,
907065, 1467662
Rooted polyhedral graphs with n edges
Réf.
CJM 15 265 63.
H I S 2 A0287
LLL
suite corrigée avec la formule de
H I S 1 N1326
algébrique
récurrence.
(n + 4) a(n) = (3/2 n - 3) a(n - 1) + (8 n + 4) a(n - 2)
+ (15/2 n + 6) a(n - 3) + (2 n + 3) a(n - 4)
3/2 2 3 4 5
(1 + z) ((- 4 z + 1) - 1 + 6 z - 6 z - 4 z - 6 z ) + 4 z
______________________________________________________________
5 3
2 ( 2 z (z + 2) (1 + z))
1, 0, 4, 6, 24, 66, 214, 676, 2209, 7296, 24460, 82926, 284068, 981882,
3421318, 12007554, 42416488, 150718770, 538421590, 1932856590,
6969847484
A.41
Tetranacci numbers
Réf.
FQ 2 260 64.
H I S 2 A0288
Approximants de Padé
H I S 1 N1332
Fraction rationnelle
2 3
1 - z - 2 z
___________________
2 3 4
1 - z - z - z - z
1, 1, 1, 1, 4, 7, 13, 25, 49, 94, 181, 349, 673, 1297, 2500, 4819, 9289, 17905,
34513, 66526, 128233, 247177, 476449, 918385, 1770244, 3412255,
6577333, 12678217
The squares
Réf.
BA9.
H I S 2 A0290
Approximants de Padé
H I S 1 N1350
Fraction rationnelle
1 + z
_________
3
(1 - z)
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324,
361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089,
1156, 1225, 1296
A.42
Tetrahedral numbers
Réf.
D1 2 4. RS3. B1 194. AS1 828.
H I S 2 A0292
Approximants de Padé
H I S 1 N1363
Fraction rationnelle
C(n,3)
1
_________
4
(1 - z)
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969,
1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495,
4960, 5456, 5984
Related to solid partitions
Réf.
PNISI 26 135 60. PCPS 63 1100 67.
H I S 2 A0294
Euler
H I S 1 N1372
Produit infini
c(n) = 1,3,6,10,...,nombres triangulaires
1, 1, 4, 10, 26, 59, 141, 310, 692, 1483, 3162, 6583, 13602, 27613, 55579,
110445, 217554, 424148, 820294, 1572647, 2992892, 5652954, 10605608,
19765082
A.43
Eulerian numbers 2^n -n - 1
Réf.
R1 215. DB1 151.
H I S 2 A0295
Approximants de Padé
H I S 1 N1382
Fraction rationnelle
1
__________________
2
(1 - 2 z) (1 - z)
0, 1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752,
65519, 131054, 262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584,
16777191, 33554406
Réf.
FQ 14 69 76. ANY 319 464 79.
H I S 2 A0296
Dérivée logarithmique
Différences finies
H I S 1 N1387
exponentielle
des nombres de Bell
exp(exp(z) - 1 - z)
1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, 715, 3425, 17722, 98253, 580317, 3633280,
24011157, 166888165, 1216070380, 9264071767, 73600798037,
608476008122, 5224266196935
A.44
Réf.
R1 150. FQ 15 194 77.
H I S 2 A0297
Approximants de Padé
H I S 1 N1393
Fraction rationnelle
2
(z - 2)
____________
4
(1 - z)
4, 12, 25, 44, 70, 104, 147, 200, 264, 340, 429, 532, 650, 784, 935, 1104,
1292, 1500, 1729, 1980, 2254, 2552, 2875, 3224, 3600, 4004, 4437, 4900,
5394, 5920, 6479
Powers of 4
Réf.
BA9.
H I S 2 A0302
Approximants de Padé
H I S 1 N1428
Fraction rationnelle
1
_______
1 - 4 z
1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 262144, 1048576, 4194304,
16777216, 67108864, 268435456, 1073741824, 4294967296, 17179869184
A.45
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45. PRV A32 2342 85.
H I S 2 A0307
Recoupements
H I S 1 N1455
exponentielle
exp(exp(exp(exp(z) - 1) - 1) - 1)
1, 1, 4, 22, 154, 1304, 12915, 146115, 1855570, 26097835, 402215465,
6734414075, 121629173423, 2355470737637, 48664218965021,
1067895971109199
Rooted maps with 2n nodes
Réf.
CJM 14 416 62.
H I S 2 A0309
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1460
algébrique
Algébrique du 3è degré
1/2 (n + 1) (2 n + 1) a(n) = 3/2 (3 n - 1) (3 n - 2) a(n - 1)
2 1/2 1/2 1/2
- 1/12 ((1458 z + 270 z - 1 + 12 (- 2 + 27 z) 3 z
1/2 1/2 3/2 2
- 162 (- 2 + 27 z) 3 z )^1/3 + (1458 z + 270 z - 1
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 3/2
- 12 (- 2 + 27 z) 3 z + 162 (- 2 + 27 z) 3 z )^1/3 + 12 z + 2)
1, 4, 24, 176, 1456, 13056, 124032, 1230592, 12629760, 133186560,
1436098560
A.46
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45.
H I S 2 A0310
Recoupements
H I S 1 N1464
exponentielle (log)
- ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 - z)))) + 1
1, 1, 4, 26, 234, 2696, 37919, 630521, 12111114, 264051201, 6445170229,
174183891471, 5164718385337, 166737090160871, 5822980248613990
Schroeder's fourth problem
Réf.
RCI 197. C1 224.
H I S 2 A0311
Inverse fonctionnel
H I S 1 N1465
exponentielle
L'inverse fonctionnel de 1 + 2 z - exp(z)
- W(- 1/2* exp(- 1/2 + 1/2*z)) - 1/2 + 1/2*z
1, 1, 1, 4, 26, 236, 2752, 39208, 660032, 12818912, 282137824, 6939897856,
188666182784, 5617349020544, 181790703209728, 6353726042486272,
238513970965257728
A.47
Réf.
BA9.
H I S 2 A0312
Inverse fonctionnel
H I S 1 N1469
exponentielle
a(n) = n^n
L'inverse fonctionnel de z exp(1/(z+1))/(z+1)
W(- z)
_________
- 1 - W(- z)
1, 4, 27, 256, 3125, 46656, 823543, 16777216, 387420489, 10000000000,
285311670611, 8916100448256, 302875106592253, 11112006825558016
Permutations of length n by rises
Réf.
DKB 263.
H I S 2 A0313
Approximants de Padé
Suite P-récurrente
H I S 1 N1477
exponentielle
Conjecture
6 5 4 3 2
- z + 6 z - 18 z + 22 z - 27 z - 6
________________________________________
5
(z - 1) exp(z)
1, 4, 30, 220, 1855, 17304, 177996, 2002440, 24474285, 323060540,
4581585866, 69487385604, 1122488536715
A.48
Pentanacci numbers
Réf.
FQ 2 260 64.
H I S 2 A0322
Approximants de Padé
H I S 1 N1542
Fraction rationnelle
4 3 2
3 z + 2 z + z - 1
___________________________
5 4 3 2
z + z + z + z + z - 1
1, 1, 1, 1, 1, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 253, 497, 977, 1921, 3777, 7425, 14597,
28697, 56417, 110913, 218049, 428673, 842749, 1656801, 3257185,
6403457, 12588865, 24749057
Pentagonal numbers
Réf.
D1 2 1. B1 189. HW1 284. FQ 8 84 70.
H I S 2 A0326
Approximants de Padé
H I S 1 N1562
Fraction rationnelle
(1 + 2 z)
__________
3
(1 - z)
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477,
532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520,
1617, 1717
A.49
Square pyramidal numbers
Réf.
D1 2 2. B1 194. AS1 813.
H I S 2 A0330
Approximants de Padé
H I S 1 N1574
Fraction rationnelle
1 + z
________
4
(1 - z)
1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496,
1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, 6930, 7714,
8555, 9455, 10416
Figurate numbers C(n,4)
Réf.
D1 2 7. RS3. B1 196. AS1 828.
H I S 2 A0332
Approximants de Padé
H I S 1 N1578
Fraction rationnelle
1
________
5
(1 - z)
1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, 3876,
4845, 5985, 7315, 8855, 10626, 12650, 14950, 17550, 20475, 23751, 27405,
31465
A.50
Réf.
HB67 16.
H I S 2 A0337
Approximants de Padé
H I S 1 N1587
Fraction rationnelle
1
__________________
2
(z - 1) (2 z - 1)
1, 5, 17, 49, 129, 321, 769, 1793, 4097, 9217, 20481, 45057, 98305, 212993,
458753, 983041, 2097153, 4456449, 9437185, 19922945, 41943041,
88080385
Réf.
SMA 20 23 54.
H I S 2 A0338
Approximants de Padé
H I S 1 N1589
Fraction rationnelle
2
(2 z - 5) (z + z + 1)
_______________________
3
(z - 1)
5, 18, 42, 75, 117, 168, 228, 297, 375, 462, 558, 663, 777, 900, 1032, 1173,
1323, 1482, 1650, 1827, 2013, 2208, 2412, 2625, 2847, 3078, 3318, 3567
A.51
Réf.
DKB 260.
H I S 2 A0340
Approximants de Padé
H I S 1 N1592
Fraction rationnelle
1
__________________
2
(1 - 3 z) (1 - z)
1, 5, 18, 58, 179, 543, 1636, 4916, 14757, 44281, 132854, 398574, 1195735,
3587219, 10761672, 32285032, 96855113, 290565357, 871696090,
2615088290, 7845264891
Réf.
QAM 14 407 56. MOC 29 216 75. FQ 14 397 76.
H I S 2 A0344
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1602
algébrique
3F2([5/2, 3], [6], 4 z)
(n + 4) (n - 1) a(n) = 2 (n + 1) (2 n + 1) a(n - 1)
32 z
____________________
1/2 5
(1 + (1 - 4 z) )
1, 5, 20, 75, 275, 1001, 3640, 13260, 48450, 177650, 653752, 2414425,
8947575, 33266625, 124062000, 463991880, 1739969550, 6541168950,
24647883000
A.52
Réf.
BAMS 74 74 68. JCT 13 215 72.
H I S 2 A0346
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N1611
algébrique
n a(n) = (8 n - 6) a(n - 1) + (- 16 n + 24) a(n - 2)
3 1/2
1 - 4 z - (- (- 1 + 4 z) )
________________________________
2 3
2 (z - 8 z + 16 z )
1, 5, 22, 93, 386, 1586, 6476, 26333, 106762, 431910, 1744436, 7036530,
28354132, 114159428, 459312152, 1846943453, 7423131482, 29822170718,
119766321572, 480832549478
Powers of 5
Réf.
BA9.
H I S 2 A0351
Approximants de Padé
H I S 1 N1620
Fraction rationnelle
1
_______
1 - 5 z
1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125, 390625, 1953125, 9765625,
48828125, 244140625, 1220703125, 6103515625, 30517578125,
152587890625
A.53
Permutations of length n by number of runs
Réf.
DKB 260.
H I S 2 A0352
Approximants de Padé
H I S 1 N1629
Fraction rationnelle
5 - 6 z
_____________________________
2
(3 z - 1) (2 z - 1) (z - 1)
5, 29, 118, 418, 1383, 4407, 13736, 42236, 128761, 390385, 1179354,
3554454
Réf.
LU91 1 223. R1 83.
H I S 2 A0354
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1631
exponentielle
1/2 a(n) = (n - 3/2) a(n - 1) + (n - 2) a(n - 2)
1
________________
(1 - 2 z) exp(z)
1, 1, 5, 29, 233, 2329, 27949, 391285, 6260561, 112690097, 2253801941,
49583642701, 1190007424825, 30940193045449, 866325405272573
A.54
Hamiltonian rooted maps with 2n nodes
Réf.
CJM 14 416 62.
H I S 2 A0356
hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1647
Intégrales elliptiques
2F1([1/2, -1/2],[2],16 z)
1, 5, 35, 294, 2772, 28314, 306735, 3476330, 40831076, 493684828,
6114096716
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45. PRV A32 2342 85.
H I S 2 A0357
Recoupements
H I S 1 N1648
exponentielle
exp(exp(exp(exp(exp(z) - 1) - 1) - 1) - 1)
1, 1, 5, 35, 315, 3455, 44590, 660665, 11035095, 204904830, 4183174520,
93055783320, 2238954627848, 57903797748386, 1601122732128779
A.55
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45.
H I S 2 A0359
Recoupements
H I S 1 N1654
exponentielle (log)
- ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 - z))))) + 1
1, 1, 5, 40, 440, 6170, 105315, 2120610, 49242470, 1296133195,
38152216495, 1242274374380, 44345089721923, 1722416374173854,
72330102999829054
Réf.
CMB 4 32 61 (divided by 3).
H I S 2 A0381
Approximants de Padé
H I S 1 N1692
Fraction rationnelle
2
2 - z - 2 z
______________
3
1 - 2 z + z
2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182,
6766, 10947, 17712, 28658, 46369, 75026, 121394, 196419, 317812, 514230
A.56
Restricted permutations
Réf.
CMB 4 32 61 (divided by 4).
H I S 2 A0382
Approximants de Padé
H I S 1 N1696
Fraction rationnelle
2 3 4
6 - z - 2 z - 4 z - z
__________________________
4
1 - 2 z + z
6, 11, 20, 36, 65, 119, 218, 400, 735, 1351, 2484, 4568, 8401, 15451, 28418,
52268, 96135, 176819, 325220, 598172, 1100209, 2023599, 3721978,
6845784
Hexanacci numbers
Réf.
FQ 2 302 64.
H I S 2 A0383
Approximants de Padé
H I S 1 N1697
Fraction rationnelle
5 4 3 2
4 z + 3 z + 2 z + z - 1
________________________________
6 5 4 3 2
z + z + z + z + z + z - 1
1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 11, 21, 41, 81, 161, 321, 636, 1261, 2501, 4961, 9841,
19521, 38721, 76806, 152351, 302201, 599441, 1189041, 2358561, 4678401,
9279996, 18407641
A.57
Hexagonal numbers
Réf.
D1 2 2. B1 189.
H I S 2 A0384
Approximants de Padé
H I S 1 N1705
Fraction rationnelle
1 + 3 z
_________
3
(1 - z)
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630,
703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891,
2016, 2145, 2278
Rencontres numbers
Réf.
R1 65.
H I S 2 A0387
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1716
exponentielle
a(n) = (3 n - 4) a(n - 3) + (n - 2) a(n - 4) + (n - 2) a(n - 1) + (3 n - 3) a(n - 2)
4 3 2
z - 4 z + 7 z - 4 z + 2
_____________________________
3
(z - 1) exp(z)
1, 0, 6, 20, 135, 924, 7420, 66744, 667485, 7342280, 88107426, 1145396460,
16035550531, 240533257860, 3848532125880, 65425046139824
A.58
Binomial coefficients C(n,5)
Réf.
D1 2 7. RS3. B1 196. AS1 828.
H I S 2 A0389
Approximants de Padé
H I S 1 N1719
Fraction rationnelle
1
________
6
(1 - z)
1, 6, 21, 56, 126, 252, 462, 792, 1287, 2002, 3003, 4368, 6188, 8568, 11628,
15504, 20349, 26334, 33649, 42504, 53130, 65780, 80730, 98280, 118755,
142506
Stirling numbers of second kind
Réf.
AS1 835. DKB 223.
H I S 2 A0392
Approximants de Padé
H I S 1 N1734
Fraction rationnelle
1
____________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z)
1, 6, 25, 90, 301, 966, 3025, 9330, 28501, 86526, 261625, 788970, 2375101,
7141686, 21457825, 64439010, 193448101, 580606446, 1742343625,
5228079450
A.59
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 833. DKB 226.
H I S 2 A0399
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N1762
exponentielle (log)
a(n) = -3 n^2 a(n - 1) + (n^3 - 3 n^2 + 3 n - 1) a(n - 3)
+ (n^3 - 3 n^2 - 3 n) a(n - 2)
2
ln(1 - z)
____________
2 (1 - z)
1, 6, 35, 225, 1624, 13132, 118124, 1172700, 12753576, 150917976,
1931559552, 26596717056, 392156797824, 6165817614720,
102992244837120
Powers of 6
Réf.
BA9.
H I S 2 A0400
Approximants de Padé
H I S 1 N1765
Fraction rationnelle
1
_______
1 - 6 z
1, 6, 36, 216, 1296, 7776, 46656, 279936, 1679616, 10077696, 60466176,
362797056, 2176782336, 13060694016, 78364164096, 470184984576,
2821109907456
A.60
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45. PRV A32 2342 85.
H I S 2 A0405
Recoupements
H I S 1 N1781
exponentielle
exp(exp(exp(exp(exp(exp(z) - 1) - 1) - 1) - 1) - 1)
1, 1, 6, 51, 561, 7556, 120196, 2201856, 45592666, 1051951026,
26740775306, 742069051906, 22310563733864, 722108667742546,
25024187820786357
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45.
H I S 2 A0406
Recoupements
H I S 1 N1782
exponentielle (log)
- ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 - z)))))) + 1
1, 1, 6, 57, 741, 12244, 245755, 5809875, 158198200, 4877852505,
168055077875, 6400217406500, 267058149580823, 12118701719205803,
594291742526530761
A.61
Réf.
MOC 3 168 48; 9 174 55. CMA 2 25 70. MAN 191 98 71.
H I S 2 A0407
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1784
algébrique
(2n)!/(2.n!)
1
_____________
3/2
(1 - 4 z)
1, 6, 60, 840, 15120, 332640, 8648640, 259459200, 8821612800,
335221286400, 14079294028800, 647647525324800, 32382376266240000
Powers of 7
Réf.
BA9.
H I S 2 A0420
Approximants de Padé
H I S 1 N1874
Fraction rationnelle
1
_______
1 - 7 z
1, 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, 823543, 5764801, 40353607, 282475249,
1977326743, 13841287201, 96889010407, 678223072849, 4747561509943
A.62
Permutations of length n by number of peaks
Réf.
DKB 261.
H I S 2 A0431
Approximants de Padé
H I S 1 N0824
Fraction rationnelle
2
_________________________
2 3
1 - 8 z + 20 z - 16 z
2, 16, 88, 416, 1824, 7680, 31616, 128512, 518656, 2084864, 8361984,
33497088, 134094848, 536608768, 2146926592, 8588754944, 34357248000,
137433710592
Powers of rooted tree enumerator
Réf.
R1 150.
H I S 2 A0439
Approximants de Padé
H I S 1 N1965
Fraction rationnelle
2
(3 - 2 z) (z - 3 z + 3)
_________________________
5
(1 - z)
9, 30, 69, 133, 230, 369, 560, 814, 1143, 1560, 2079, 2715, 3484, 4403, 5490,
6764, 8245, 9954, 11913, 14145, 16674, 19525, 22724, 26298, 30275, 34684,
39555
A.63
Réf.
CC55 742. RCI 217. JO61 7.
H I S 2 A0447
Approximants de Padé
H I S 1 N2006
Fraction rationnelle
2
z (1 + 6 z + z )
__________________
4
(z - 1)
0, 1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495,
5456, 6545, 7770, 9139, 10660, 12341, 14190, 16215, 18424, 20825, 23426,
26235, 29260
Rencontres numbers
Réf.
R1 65.
H I S 2 A0449
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2009
exponentielle
(n - 1) a(n) = (n + 2) (n - 2) a(n - 1) + (n + 2) (n + 1) a(n - 2)
2 3 4 5 6
6 - 18 z + 45 z - 49 z + 30 z - 9 z + z
_____________________________________________
4
6 (1 - z) exp(z)
1, 0, 10, 40, 315, 2464, 22260, 222480, 2447445, 29369120, 381798846,
5345183480, 80177752655, 1282844041920, 21808348713320,
392550276838944
A.64
Stirling numbers of second kind
Réf.
AS1 835. DKB 223.
H I S 2 A0453
Approximants de Padé
H I S 1 N2018
Fraction rationnelle
1
______________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z)
1, 10, 65, 350, 1701, 7770, 34105, 145750, 611501, 2532530, 10391745,
42355950, 171798901, 694337290, 2798806985, 11259666950, 45232115901
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 833. DKB 226.
H I S 2 A0454
Tableaux généralisés
H I S 1 N2022
exponentielle (log)
3
- ln(1 - z)
____________
6 (1 - z)
1, 10, 85, 735, 6769, 67284, 723680, 8409500, 105258076, 1414014888,
20313753096, 310989260400, 5056995703824, 87077748875904,
1583313975727488
A.65
Réf.
TOH 37 259 33. JO39 152. DB1 296. C1 256.
H I S 2 A0457
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2028
algébrique
f.g. exponentielle
(n - 1) a(n) = (2 n + 1) n a(n - 1)
z
_____________
5/2
(1 - 2 z)
1, 10, 105, 1260, 17325, 270270, 4729725, 91891800, 1964187225,
45831035250, 1159525191825, 31623414322500, 924984868933125,
28887988983603750
Eulerian numbers
Réf.
R1 215. DB1 151. JCT 1 351 66. DKB 260. C1 243.
H I S 2 A0460
Approximants de Padé
H I S 1 N2047
Fraction rationnelle
2
z (1 + z - 4 z )
___________________________
3 2
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z)
0, 1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, 47840, 152637, 478271, 1479726,
4537314, 13824739, 41932745
A.66
Rencontres numbers
Réf.
R1 65.
H I S 2 A0475
Approximants de Padé
Suite P-récurrente
H I S 1 N2132
exponentielle
a(n) = (2 n - 1) a(n - 1) - 5 a(n - 2) - 10 a(n - 3) + (5 n - 10) a(n - 4)
(6 n - 5) a(n - 5) + (2 n - 1) a(n - 6)
8 7 6 5 4 3 2
z - 16 z + 94 z - 280 z + 481 z - 496 z + 312 z - 96 z + 24
_____________________________________________________________
5
24 (1 - z) exp(z)
1, 0, 15, 70, 630, 5544, 55650, 611820, 7342335, 95449640, 1336295961,
20044438050, 320711010620, 5452087178160, 98137569209940,
1864613814984984
Associated Stirling numbers
Réf.
R1 76. DB1 296. C1 222.
H I S 2 A0478
Approximants de Padé
H I S 1 N2138
Fraction rationnelle
3 2
- 12 z + 40 z - 45 z + 15
______________________________
2 3
(3 z - 1) (2 z - 1) (z - 1)
15, 105, 490, 1918, 6825, 22935, 74316, 235092, 731731, 2252341, 6879678,
20900922, 63259533
A.67
Stirling numbers of second kind
Réf.
AS1 835. DKB 223.
H I S 2 A0481
Approximants de Padé
H I S 1 N2141
Fraction rationnelle
1
______________________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z) (1 - 5 z)
1, 15, 140, 1050, 6951, 42525, 246730, 1379400, 7508501, 40075035,
210766920, 1096190550, 5652751651, 28958095545, 147589284710,
749206090500
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 833. DKB 226.
H I S 2 A0482
Tableaux généralisés
H I S 1 N2142
exponentielle (log)
4
ln(1 - z)
____________
24 (1 - z)
1, 15, 175, 1960, 22449, 269325, 3416930, 45995730, 657206836,
9957703756, 159721605680, 2706813345600, 48366009233424,
909299905844112
A.68
Restricted permutations
Réf.
CMB 4 32 61.
H I S 2 A0496
Approximants de Padé
H I S 1 N2231
Fraction rationnelle
2 3 4
4 (6 - z - 2 z - 4 z - z )
____________________________
2 3
(1 - z) (1 - z - z - z )
24, 44, 80, 144, 260, 476, 872, 1600, 2940, 5404, 9936, 18272, 33604, 61804,
113672, 209072, 384540, 707276, 1300880, 2392688, 4400836, 8094396,
14887912
Related to remainder in gaussian quadrature
Réf.
MOC 1 53 43.
H I S 2 A0515
hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2087
Intégrales elliptiques
(n - 1)^2 a(n) = 4 (2 n - 1) (2 n - 3) a(n - 1)
2F1([1/2, 3/2], [1], 16 z)
1, 12, 180, 2800, 44100, 698544, 11099088, 176679360, 2815827300,
44914183600, 716830370256, 11445589052352, 182811491808400,
2920656969720000
A.69
Réf.
R1 16. MAS 31 79 63.
H I S 2 A0522
Dérivée
Suite P-récurrente
H I S 1 N0589
exponentielle
a(n) = a(n-1) n + (2 - n) a(n-2)
exp(z)
_______
1 - z
1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700, 109601, 986410, 9864101, 108505112,
1302061345, 16926797486, 236975164805, 3554627472076,
56874039553217
Powers of rooted tree enumerator
Réf.
R1 150.
H I S 2 A0529
Approximants de Padé
H I S 1 N2202
Fraction rationnelle
3 2
(z - 2) (3 z - 12 z + 18 z - 10)
________________________________
6
(1 - z)
20, 74, 186, 388, 721, 1236, 1995, 3072, 4554, 6542, 9152, 12516, 16783,
22120, 28713, 36768, 46512, 58194, 72086, 88484, 107709, 130108, 156055,
185952
A.70
Sums of cubes
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A0537
Approximants de Padé
H I S 1 N1972
Fraction rationnelle
1 + 4 z + z
___________
5
(1 - z)
1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025,
14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000,
105625, 123201
Sums of fourth powers
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A0538
Approximants de Padé
H I S 1 N2179
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 10 z + 1)
_______________________
6
(z - 1)
1, 17, 98, 354, 979, 2275, 4676, 8772, 15333, 25333, 39974, 60710, 89271,
127687, 178312, 243848, 327369, 432345, 562666, 722666, 917147,
1151403, 1431244
A.71
Sums of 5th powers
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A0539
Approximants de Padé
H I S 1 N2280
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + 26 z + 66 z + 26 z + z
_______________________________
7
(1 - z)
1, 33, 276, 1300, 4425, 12201, 29008, 61776, 120825, 220825, 381876,
630708, 1002001, 1539825, 2299200, 3347776, 4767633, 6657201, 9133300,
12333300
Sums of 6th powers
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A0540
Approximants de Padé
H I S 1 N2322
Fraction rationnelle
4 3 2
(1 + z) (z + 56 z + 246 z + 56 z + 1)
________________________________________
8
(z - 1)
1, 65, 794, 4890, 20515, 67171, 184820, 446964, 978405, 1978405, 3749966,
6735950, 11562759, 19092295, 30482920, 47260136, 71397705, 105409929,
152455810
A.72
Sums of 7th powers
Réf.
AS1 815.
H I S 2 A0541
Dérivée logarithmique
H I S 1 N2343
Fraction rationnelle
6 5 4 3 2
z + 120 z + 1191 z + 2416 z + 1191 z + 120 z + 1
_______________________________________________________
9
(z - 1)
1, 129, 2316, 18700, 96825, 376761, 1200304, 3297456, 8080425, 18080425,
37567596, 73399404, 136147921, 241561425, 412420800, 680856256,
1091194929
Sums of eighth powers
Réf.
AS1 815.
H I S 2 A0542
Recoupements
H I S 1 N2358
Fraction rationnelle
2 3 4 5 6 7
1 + 2 4 7 z + 4 2 9 3 z + 1 5 6 1 9 z + 1 5 6 1 9 z + 4 2 9 3 z + 2 4 7 z + z
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 0
( 1 - z )
1, 257, 6818, 72354, 462979, 2142595, 7907396, 24684612, 67731333,
167731333, 382090214, 812071910, 1627802631, 3103591687, 5666482312
A.73
Discordant permutations
Réf.
SMA 20 23 54.
H I S 2 A0561
Approximants de Padé
H I S 1 N1773
Fraction rationnelle
3 2
4 z - 5 z - 20 z - 6
________________________
4
(1 - z)
6, 44, 145, 336, 644, 1096, 1719, 2540, 3586, 4884, 6461, 8344, 10560,
13136, 16099, 19476, 23294, 27580, 32361, 37664, 43516, 49944, 56975,
64636, 72954, 81956
Discordant permutations
Réf.
SMA 20 23 54.
H I S 2 A0562
Approximants de Padé
H I S 1 N1994
Fraction rationnelle
2 3 4 5
9 + 50 z + 35 z - 15 z + 4 z - 2 z
_______________________________________
5
(1 - z)
9, 95, 420, 1225, 2834, 5652, 10165, 16940, 26625, 39949, 57722, 80835,
110260, 147050, 192339, 247342, 313355, 391755, 484000, 591629, 716262,
859600
A.74
Discordant permutations
Réf.
SMA 20 23 54.
H I S 2 A0563
Approximants de Padé
H I S 1 N2109
Fraction rationnelle
5 4 3 2
8 z + 6 z - 10 z + 128 z + 114 z + 13
___________________________________________
6
(1 - z)
13, 192, 1085, 3880, 10656, 24626, 50380, 94128, 163943, 270004, 424839,
643568, 944146, 1347606, 1878302, 2564152, 3436881, 4532264, 5890369,
7555800
Discordant permutations
Réf.
SMA 20 23 54.
H I S 2 A0564
Approximants de Padé
H I S 1 N2208
Fraction rationnelle
7 6 5 4 3 2
2 z + 4 z - 36 z + 29 z + 72 z + 411 z + 231 z + 20
___________________________________________________________
7
(1 - z)
20, 371, 2588, 11097, 35645, 94457, 218124, 454220, 872648, 1571715,
2684936, 4388567, 6909867, 10536089, 15624200, 22611330, 32025950,
44499779
A.75
Discordant permutations
Réf.
SMA 20 23 54.
H I S 2 A0565
Approximants de Padé
H I S 1 N2275
Fraction rationnelle
7 6 5 4 3 2
12 z - 6 z + 88 z - 131 z - 548 z - 1123 z - 448 z - 31
_______________________________________________________________
8
(1 - z)
31, 696, 5823, 29380, 108933, 327840, 848380, 1958004, 4130895, 8107024,
14990889, 26372124, 44470165, 72305160, 113897310, 174496828,
260846703
Heptagonal numbers
Réf.
D1 2 2. B1 189.
H I S 2 A0566
Approximants de Padé
H I S 1 N1826
Fraction rationnelle
1 + 4 z
__________
3
(1 - z)
1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697,
783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, 1918, 2059, 2205,
2356, 2512, 2673
A.76
Octagonal numbers
Réf.
D1 2 1. B1 189.
H I S 2 A0567
Approximants de Padé
H I S 1 N1901
Fraction rationnelle
1 + 5 z
__________
3
(1 - z)
1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833,
936, 1045, 1160, 1281, 1408, 1541, 1680, 1825, 1976, 2133, 2296, 2465,
2640, 2821, 3008
From expansion (1+x+x ^ 2 )^ n
Réf.
JCT 1 372 66. C1 78.
H I S 2 A0574
Approximants de Padé
H I S 1 N1219
Fraction rationnelle
3 - 2 z
_________
6
(1 - z)
3, 16, 51, 126, 266, 504, 882, 1452, 2277, 3432, 5005, 7098, 9828, 13328,
17748, 23256, 30039, 38304, 48279, 60214, 74382, 91080, 110630, 133380,
159705, 190008
A.77
Cubes
Réf.
BA9.
H I S 2 A0578
Approximants de Padé
H I S 1 N1905
Fraction rationnelle
2
1 + 4 z + z
_____________
4
(z - 1)
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375,
4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576,
19683
, 21952, 24389
Binomial coefficients C(n,6)
Réf.
D1 2 7. RS3. B1 196. AS1 828.
H I S 2 A0579
Approximants de Padé
H I S 1 N1847
Fraction rationnelle
1
_________
7
(1 - z)
1, 7, 28, 84, 210, 462, 924, 1716, 3003, 5005, 8008, 12376, 18564, 27132,
38760, 54264, 74613, 100947, 134596, 177100, 230230, 296010, 376740,
475020, 593775
A.78
Binomial coefficients C(n,7)
Réf.
D1 2 7. RS3. B1 196. AS1 828.
H I S 2 A0580
Approximants de Padé
H I S 1 N1911
Fraction rationnelle
1
_________
8
(1 - z)
1, 8, 36, 120, 330, 792, 1716, 3432, 6435, 11440, 19448, 31824, 50388,
77520, 116280, 170544, 245157, 346104, 480700, 657800, 888030, 1184040,
1560780, 2035800
Binomial coefficients C(n,8)
Réf.
D1 2 7. RS3. B1 196. AS1 828.
H I S 2 A0581
Approximants de Padé
H I S 1 N1976
Fraction rationnelle
1
_________
9
(1 - z)
1, 9, 45, 165, 495, 1287, 3003, 6435, 12870, 24310, 43758, 75582, 125970,
203490, 319770, 490314, 735471, 1081575, 1562275, 2220075, 3108105,
4292145
A.79
Binomial coefficients C(n,9)
Réf.
D1 2 7. RS3. B1 196. AS1 828.
H I S 2 A0582
Approximants de Padé
H I S 1 N2013
Fraction rationnelle
1
_________
10
(1 - z)
1, 10, 55, 220, 715, 2002, 5005, 11440, 24310, 48620, 92378, 167960,
293930, 497420, 817190, 1307504, 2042975, 3124550, 4686825, 6906900,
10015005, 14307150
Fourth powers
Réf.
BA9.
H I S 2 A0583
Approximants de Padé
H I S 1 N2154
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 10 z + 1)
_______________________
5
(1 - z)
1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561,
38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160000, 194481, 234256,
279841, 331776
A.80
5th powers
Réf.
BA9.
H I S 2 A0584
Approximants de Padé
H I S 1 N2277
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + 26 z + 66 z + 26 z + z
________________________________
6
(1 - z)
1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832,
371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000,
4084101
Partitions of n into distinct primes
Réf.
PNISI 21 186 55. PURB 107 285 57.
H I S 2 A0586
Euler
H I S 1 N0004
Produit infini
c(n) = 2,3,5,7,11,... Les nombres premiers
1, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 6, 7, 6,
9, 7, 9, 9, 9, 11, 11, 11, 13, 12, 14, 15, 15, 17, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 22, 25,
26, 27, 30, 29, 32, 32, 35, 37, 39, 40, 42
A.81
Réf.
JIA 76 153 50. FQ 7 448 69.
H I S 2 A0587
Recoupements
1/A0296
H I S 1 N0755
exponentielle
1
____________________
exp(exp(z) - 1 - z)
1, 0, 1, 1, 2, 9, 9, 50, 267, 413, 2180, 17731, 50533, 110176, 1966797,
9938669, 8638718, 278475061, 2540956509, 9816860358, 27172288399,
725503033401
Réf.
QAM 14 407 56. MOC 29 216 75. FQ 14 397 76.
H I S 2 A0588
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1866
algébrique
2F1 ([4, 7/2], [8], 4 z)
128 z
___________________
1/2 7
(1 + (1 - 4 z) )
1, 7, 35, 154, 637, 2548, 9996, 38760, 149226, 572033, 2187185, 8351070,
31865925, 121580760, 463991880, 1771605360, 6768687870, 25880277150
A.82
Réf.
QAM 14 407 56. MOC 29 216 75.
H I S 2 A0589
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2048
algébrique
2F1 ([6, 11/2], [12], 4 z)
1
____________________________
1/2 11
(1/2 + 1/2 (1 - 4 z) )
1, 11, 77, 440, 2244, 10659, 48279, 211508, 904475, 3798795, 15737865,
64512240, 262256280, 1059111900, 4254603804, 17018415216,
67837293986
Réf.
QAM 14 407 56. MOC 29 216 75.
H I S 2 A0590
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2104
algébrique
2F1 ([13/2, 7], [14], 4 z)
1
____________________________
1/2 13
(1/2 + 1/2 (1 - 4 z) )
1, 13, 104, 663, 3705, 19019, 92092, 427570, 1924065, 8454225, 36463440,
154969620, 650872404, 2707475148, 11173706960, 45812198536,
186803188858
A.83
Ramanujan τ function
Réf.
PLMS 51 4 50. MOC 24 495 70.
H I S 2 A0594
Euler
H I S 1 N2237
Produit infini
c(n) = -24,-24,-24,-24,...
1, 24, 252, 1472, 4830, 6048, 16744, 84480, 113643, 115920, 534612,
370944, 577738, 401856, 1217160, 987136, 6905934, 2727432, 10661420,
7109760, 4219488
Central factorial numbers
Réf.
RCI 217.
H I S 2 A0596
Approximants de Padé
H I S 1 N1505
Fraction rationnelle
2 3
4 + 21 z + 14 z + z
______________________
7
(1 - z)
4, 49, 273, 1023, 3003, 7462, 16422, 32946, 61446, 108031, 180895, 290745,
451269, 679644, 997084, 1429428, 2007768, 2769117, 3757117, 5022787,
6625311
A.84
Central factorial numbers
Réf.
RCI 217.
H I S 2 A0597
Dérivée logarithmique
H I S 1 N2287
Fraction rationnelle
5 4 3 2
z + 75 z + 603 z + 1065 z + 460 z + 36
___________________________________________
10
(z - 1)
36, 820, 7645, 44473, 191620, 669188, 1999370, 5293970, 12728936,
28285400, 58856655, 115842675, 217378200, 391367064, 679524340,
1142659012
A partition function
Réf.
CAY 2 278. JACS 53 3084 31. AMS 26 304 55.
H I S 2 A0601
Approximants de Padé
* titre modifié
H I S 1 N0392
Fraction rationnelle
1
_______________________________
2 4
(1 + z) (z + z + 1) (z - 1)
1, 2, 4, 7, 11, 16, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 102, 123, 147, 174, 204, 237, 274,
314, 358, 406, 458, 514, 575, 640, 710, 785, 865, 950, 1041, 1137, 1239,
1347, 1461, 1581
A.85
Partitions of n into prime parts
Réf.
PNISI 21 183 55. AMM 95 711 88.
H I S 2 A0607
Euler
H I S 1 N0093
Produit infini
c(n) = 2,3,5,7,...,les nombres premiers
1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 17, 19, 23, 26, 30, 35, 40, 46,
52, 60, 67, 77, 87, 98, 111, 124, 140, 157, 175, 197, 219, 244, 272, 302, 336,
372, 413, 456, 504, 557
Preferential arrangements of n things
Réf.
CAY 4 113. PLMS 22 341 1891. AMM 69 7 62. PSPM 19 172 71. DM 48 102 84.
H I S 2 A0670
Inverse fonctionnel
H I S 1 N1191
exponentielle
1 - exp(z)
___________
exp(z) - 2
1, 1, 3, 13, 75, 541, 4683, 47293, 545835, 7087261, 102247563, 1622632573,
28091567595, 526858348381, 10641342970443, 230283190977853
A.86
Réf.
QJM 47 110 16. FMR 1 112. DA63 2 283. PSAM 15 101 63.
H I S 2 A0680
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1793
algébrique
f.g. exponentielle double
Γ(2n+1)/2^n
a(n) = n (2n-1) a(n-1)
1
_____________
1/2
(1 - 2 z)
1, 6, 90, 2520, 113400, 7484400, 681080400, 81729648000,
12504636144000, 2375880867360000, 548828480360160000,
151476660579404160000
Stochastic matrices of integers
Réf.
PSAM 15 101 63. SS70.
H I S 2 A0681
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N1250
exponentielle (algébrique) Formule de B. Salvy
a(n) = - 1/2 (n - 1) (- 2 n + 2) a(n - 1) - 1/2 (n - 1) (n^2 - 4 n + 4) a(n - 2)
exp(z/2)
__________
1/2
(1 - z)
1, 1, 3, 21, 282, 6210, 202410, 9135630, 545007960, 41514583320,
3930730108200, 452785322266200, 62347376347779600,
10112899541133589200
A.87
Partitions of n into distinct odd parts
Réf.
PLMS 42 553 36. CJM 4 383 52.
H I S 2 A0700
Euler
H I S 1 N0078
Produit infini
c(n) = 1,3,5,7,9,11,13,...
1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 16,
17, 18, 20, 23, 25, 26, 29, 33, 35, 37, 41, 46, 49, 52, 57, 63, 68, 72, 78, 87, 93,
98, 107, 117, 125, 133, 144
Degree n even permutations of order dividing 2
Réf.
CJM 7 168 55.
H I S 2 A0704
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1 N1427
exponentielle
2
exp(z) cosh(z / 2)
1, 1, 1, 1, 4, 16, 46, 106, 316, 1324, 5356, 18316, 63856, 272416, 1264264,
5409496, 22302736, 101343376, 507711376, 2495918224, 11798364736,
58074029056
A.88
Partitions of n into parts of 2 kinds
Réf.
RS4 90. RCI 199.
H I S 2 A0710
Euler
H I S 1 N0535
Produit infini
c(n) = 2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,...
1, 2, 5, 10, 20, 35, 62, 102, 167, 262, 407, 614, 919, 1345, 1952, 2788, 3950,
5524, 7671, 10540, 14388, 19470, 26190, 34968, 46439, 61275, 80455,
105047, 136541
Partitions of n into parts of 3 kinds
Réf.
RS4 122.
H I S 2 A0711
Euler
H I S 1 N1122
Produit infini
c(n) = 3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,....
1, 3, 9, 22, 51, 107, 217, 416, 775, 1393, 2446, 4185, 7028, 11569, 18749,
29908, 47083, 73157, 112396, 170783, 256972, 383003, 565961, 829410,
1206282, 1741592
A.89
Partitions of n into parts of 2 kinds
Réf.
RS4 90. RCI 199.
H I S 2 A0712
Euler
H I S 1 N0536
Produit infini
c(n) = 2,2,2,2,2,2,2,2,....
1, 2, 5, 10, 20, 36, 65, 110, 185, 300, 481, 752, 1165, 1770, 2665, 3956, 5822,
8470, 12230, 17490, 24842, 35002, 49010, 68150, 94235, 129512, 177087,
240840
Partitions of n into parts of 3 kinds
Réf.
RS4 122.
H I S 2 A0713
Euler
différences de A0712
H I S 1 N1096
Produit infini
c(n) = 3,2,2,2,2,2,2,2,....
1, 3, 8, 18, 38, 74, 139, 249, 434, 734, 1215, 1967, 3132, 4902, 7567, 11523,
17345, 25815, 38045, 55535, 80377, 115379, 164389, 232539, 326774,
456286, 633373
A.90
Partitions of n into parts of 3 kinds
Réf.
RS4 122.
H I S 2 A0714
Euler
H I S 1 N1117
Produit infini
c(n) = 3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,....
1, 3, 9, 21, 47, 95, 186, 344, 620, 1078, 1835, 3045, 4967, 7947, 12534,
19470, 29879, 45285, 67924, 100820, 148301, 216199, 312690, 448738,
639464, 905024
Partitions of n into parts of 3 kinds
Réf.
RS4 122.
H I S 2 A0715
Euler
H I S 1 N1121
Produit infini
c(n) = 3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,....
1, 3, 9, 22, 50, 104, 208, 394, 724, 1286, 2229, 3769, 6253, 10176, 16303,
25723, 40055, 61588, 93647, 140875, 209889, 309846, 453565, 658627,
949310, 1358589
A.91
Partitions of n into parts of 3 kinds
Réf.
RS4 122.
H I S 2 A0716
Euler
H I S 1 N1123
Produit infini
c(n) = 3,3,3,3,....
1, 3, 9, 22, 51, 108, 221, 429, 810, 1479, 2640, 4599, 7868, 13209, 21843,
35581, 57222, 90882, 142769, 221910, 341649, 521196, 788460, 1183221,
1762462, 2606604
Partitions of n into parts prime to 3
Réf.
PSPM 8 145 65.
H I S 2 A0726
Euler
H I S 1 N0116
Produit infini
c(n) = 1 si n = 1 ou 2 mod 3.
1, 1, 2, 2, 4, 5, 7, 9, 13, 16, 22, 27, 36, 44, 57, 70, 89, 108, 135, 163, 202, 243,
297, 355, 431, 513, 617, 731, 874, 1031, 1225, 1439, 1701, 1991, 2341, 2731,
3197, 3717
A.92
Réf.
KNAW 59 207 56.
H I S 2 A0727
Recoupements
H I S 1 N1296
Produit infini
La suite est alternée
c(n) = -4,-4,-4,-4,...
1, 4, 2, 8, 5, 4, 10, 8, 9, 0, 14, 16, 10, 4, 0, 8, 14, 20, 2, 0, 11, 20, 32, 16, 0, 4,
14, 8, 9, 20, 26, 0, 2, 28, 0, 16, 16, 28, 22, 0, 14, 16, 0, 40, 0, 28, 26, 32, 17, 0,
32, 16, 22, 0, 10
Réf.
KNAW 59 207 56.
H I S 2 A0729
Recoupements
La suite est alternée
H I S 1 N1691
Produit infini
c(n) = -6,-6,-6,-6,-6,...
1, 6, 9, 10, 30, 0, 11, 42, 0, 70, 18, 54, 49, 90, 0, 22, 60, 0, 110, 0, 81, 180, 78,
0, 130, 198, 0, 182, 30, 90, 121, 84, 0, 0, 210, 0, 252, 102, 270, 170, 0, 0, 69,
330, 0, 38
A.93
Réf.
QJM 38 56 07. KNAW 59 207 56. GMJ 8 29 67.
H I S 2 A0735
Euler
Inverse de A5758 alternée en signe
H I S 1 N2069
Produit infini
La suite est alternée
c(n) = -12,-12,-12,-12,...
1, 12, 54, 88, 99, 540, 418, 648, 594, 836, 1056, 4104, 209, 4104, 594, 4256,
6480, 4752, 298, 5016, 17226, 12100, 5346, 1296, 9063, 7128, 19494, 29160,
10032, 7668
Réf.
PLMS 31 341 30. SPS 37-40-4 209 66.
H I S 2 A0757
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1 N1915
exponentielle
f.g. exponentielle
a(n) = 2 n a(n - 2) + n a(n - 3) + (n - 1) a(n - 1)
(- ln(- z + 1) + 1) exp(- z)
0, 0, 1, 1, 8, 36, 229, 1625, 13208, 120288, 1214673, 13469897, 162744944,
2128047988, 29943053061, 451123462673, 7245940789072,
123604151490592, 2231697509543361
A.94
Stirling numbers of second kind
Réf.
AS1 835. DKB 223.
H I S 2 A0770
Approximants de Padé
H I S 1 N2215
Fraction rationnelle
1
_________________________________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z) (1 - 5 z) (1 - 6 z)
1, 21, 266, 2646, 22827, 179487, 1323652, 9321312, 63436373, 420693273,
2734926558, 17505749898, 110687251039, 693081601779, 4306078895384
Stirling numbers of second kind
Réf.
AS1 835. DKB 223.
H I S 2 A0771
Approximants de Padé
H I S 1 N2263
Fraction rationnelle
1
_____________________________________________________________
(1 - z)(1 - 2 z)(1 - 3 z)(1 - 4 z)(1 - 5 z)(1 - 6 z)(1 - 7 z)
1, 28, 462, 5880, 63987, 627396, 5715424, 49329280, 408741333,
3281882604, 25708104786, 197462483400, 1492924634839,
11143554045652
A.95
Réf.
CMB 8 627 65. JRM 4 168 71. FQ 27 16 89.
H I S 2 A0792
Approximants de Padé
H I S 1 N0205
Fraction rationnelle
2 3
1 + 2 z + 3 z + z
______________________
3
1 - 3 z
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 243, 324, 486, 729, 972, 1458,
2187, 2916, 4374, 6561, 8748, 13122, 19683, 26244, 39366, 59049, 78732,
118098
Réf.
CMB 7 262 64. JCT 7 315 69.
H I S 2 A0803
Approximants de Padé
H I S 1 N2232
Fraction rationnelle
2 3
24 - 4 z - 8 z - 16 z
_________________________
4
1 - 2 z + z
24, 44, 80, 144, 264, 484, 888, 1632, 3000, 5516, 10144, 18656, 34312,
63108, 116072, 213488, 392664, 722220, 1328368, 2443248, 4493832,
8265444
A.96
Réf.
CJM 8 308 56.
H I S 2 A0806
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N1651
exponentielle (algébrique) Formule de B. Salvy
a(n) = (2 n + 1) a(n - 1) + a(n - 2)
1/2
- 4 + 3 (1 - 2 z) + 2 z
_ ________________________________
1/2 5/2
exp(1 - (1 - 2 z) ) (1 - 2 z)
0, 1, 5, 36, 329, 3655, 47844, 721315, 12310199, 234615096, 4939227215,
113836841041, 2850860253240, 77087063678521, 2238375706930349
Réf.
LU91 1 221.
H I S 2 A0898
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0645
exponentielle
a(n) = 2 a(n - 1) + (2 n - 4) a(n - 2)
2
exp(2 z + z )
1, 2, 6, 20, 76, 312, 1384, 6512, 32400, 168992, 921184, 5222208, 30710464,
186753920, 1171979904, 7573069568, 50305536256, 342949298688,
2396286830080
A.97
Symmetric permutations
Réf.
LU91 1 222. LNM 560 201 76.
H I S 2 A0902
Recoupements
Suite P-récurrente
H I S 1 N1147
exponentielle
a(n) = 2 a(n-1)-(4-2 n) a(n-2)
1/2 exp(z (2 + z)) + 1/2
1, 3, 10, 38, 156, 692, 3256, 16200
Ménage numbers
Réf.
LU91 1 495.
H I S 2 A0904
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N1193
a(n) = a(n - 3) + (n + 3) a(n - 2) + (n + 2) a(n - 1)
0, 3, 13, 83, 592, 4821, 43979, 444613, 4934720, 59661255, 780531033,
10987095719, 165586966816, 2660378564777, 45392022568023,
819716784789193
A.98
Réf.
TOH 37 259 33. JO39 152. DB1 296. C1 256.
H I S 2 A0906
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0841
algébrique
f.g. exponentielle
(n - 1) a(n) = (2 n + 1) n a(n - 1)
z
_____________
5/2
(1 - 2 z)
2, 20, 210, 2520, 34650, 540540, 9459450, 183783600, 3928374450,
91662070500, 2319050383650, 63246828645000, 1849969737866250
Associated Stirling numbers
Réf.
TOH 37 259 33. JO39 152. C1 256.
H I S 2 A0907
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1797
algébrique
f.g. exponentielle
1/4 a(n) (4 n + 1) (n - 1) = 1/4 a(n - 1) (4 n + 5) (2 n + 1) (n + 1)
2
z (2 z + 33 z + 18)
_____________________
9/2
3 (1 - 2 z)
6, 130, 2380, 44100, 866250, 18288270, 416215800, 10199989800,
268438920750, 7562120816250, 227266937597700, 7262844156067500
A.99
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 833. DKB 226.
H I S 2 A0914
Approximants de Padé
H I S 1 N0789
Fraction rationnelle
2 - z
_________
5
(1 - z)
2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500,
10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500,
67977, 78561
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 833. DKB 226.
H I S 2 A0915
Dérivée logarithmique
H I S 1 N2239
Fraction rationnelle
3 2
z + 22 z + 58 z + 24
________________________
9
(z - 1)
24, 274, 1624, 6769, 22449, 63273, 157773, 357423, 749463, 1474473,
2749747, 4899622, 8394022, 13896582, 22323822, 34916946, 53327946,
79721796
A.100
2 ^ (n-2)
Réf.
VO11 31. DA63 2 212. R1 33.
H I S 2 A0918
Approximants de Padé
H I S 1 N0625
Fraction rationnelle
z
__________________
(1 - 2 z) (1 - z)
0, 2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, 2046, 4094, 8190, 16382, 32766,
65534, 131070, 262142, 524286, 1048574, 2097150, 4194302, 8388606,
16777214, 33554430
Differences of 0
Réf.
VO11 31. DA63 2 212. R1 33.
H I S 2 A0919
Approximants de Padé
H I S 1 N2235
Fraction rationnelle
24
_______________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z)
24, 240, 1560, 8400, 40824, 186480, 818520, 3498000, 14676024, 60780720,
249401880, 1016542800, 4123173624, 16664094960, 67171367640
A.101
Differences of 0
Réf.
VO11 31. DA63 2 212. R1 33.
H I S 2 A0920
Recoupements
H I S 1 N2370
Fraction rationnelle
720
____________________________________________________
(1 - z)(1 - 2 z)(1 - 3 z)(1 - 4 z)(1 - 5 z)(1 - 6 z)
720, 15120, 191520, 1905120, 16435440, 129230640, 953029440,
6711344640, 45674188560, 302899156560, 1969147121760,
12604139926560
Réf.
LA62 13. FQ 2 225 64. JA66 91. MMAG 41 15 68.
H I S 2 A0930
Approximants de Padé
H I S 1 N0207
Fraction rationnelle
1
___________
3
1 - z - z
1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, 872, 1278,
1873, 2745, 4023, 5896, 8641, 12664, 18560, 27201, 39865, 58425, 85626,
125491, 183916
A.102
Réf.
JA66 90. MMAG 41 17 68.
H I S 2 A0931
Approximants de Padé
H I S 1 N0102
Fraction rationnelle
1 + z
_____________
2 3
1 - z - z
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265,
351, 465, 616, 816, 1081, 1432, 1897, 2513, 3329, 4410, 5842, 7739, 10252,
13581, 17991, 23833
Genus of complete graph on n nodes
Réf.
PNAS 60 438 68.
H I S 2 A0933
Approximants de Padé
conjecture
H I S 1 N0182
Fraction rationnelle
4 2 3 4
z (1 - z + z - z + z )
_________________________________
2 2 3
(z + z + 1) (1 + z ) (1 - z)
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 16, 18, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 39,
43, 46, 50, 55, 59, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 94, 100, 105, 111, 118, 124, 130,
137, 144, 151, 158, 165, 173, 181
A.103
Fine's sequence: relations of valence ≥1 on an n-set
Réf.
IC 16 352 70. JCT A23 90 77. DM 19 101 77.
H I S 2 A0957
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N0635
algébrique
(n + 2) a(n) = (7/2 n + 1) a(n - 1) + (2 n + 1) a(n - 2)
2 1/2
1 - 2 z - 2 z - (1 - 4 z)
1/2 ____________________________
3 4
2 z + z
1, 2, 6, 18, 57, 186, 622, 2120, 7338, 25724, 91144, 325878, 1174281,
4260282, 15548694, 57048048, 210295326, 778483932, 2892818244,
10786724388
A simple recurrence
Réf.
IC 16 351 70.
H I S 2 A0958
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N1104
algébrique
2 3 2 1/2
1 - z - 4 z - 2 z - (- (4 z - 1) (z + 1) )
__________________________________________________
3 4
2 ( 2 z + z )
1, 3, 8, 24, 75, 243, 808, 2742, 9458, 33062, 116868, 417022, 1500159,
5434563, 19808976, 72596742, 267343374, 988779258, 3671302176,
13679542632
A.104
A ternary continued fraction
Réf.
TOH 37 441 33.
H I S 2 A0962
Approximants de Padé
H I S 1 N0582
Fraction rationnelle
4 3 2
(1 + z) (2 z - 7 z + 6 z + z - 1)
______________________________________
6 4 2
z - 3 z + 7 z - 1
1, 0, 0, 1, 2, 5, 15, 32, 99, 210, 650, 1379, 4268, 9055, 28025, 59458, 184021,
390420, 1208340, 2563621, 7934342, 16833545, 52099395, 110534372,
342101079, 725803590
A ternary continued fraction
Réf.
TOH 37 441 33.
H I S 2 A0963
Approximants de Padé
H I S 1 N1062
Fraction rationnelle
2 3 4
1 - 4 z + 7 z - 2 z
________________________
2 4 6
1 - 7 z + 3 z - z
0, 1, 0, 3, 7, 16, 49, 104, 322, 683, 2114, 4485, 13881, 29450, 91147, 193378,
598500, 1269781, 3929940, 8337783, 25805227, 54748516, 169445269,
359496044, 1112631142
A.105
n! never ends in this many 0's
Réf.
MMAG 27 55 53.
H I S 2 A0966
Approximants de Padé
H I S 1 N1557
Fraction rationnelle
2 3 4 5 6
5 + 6 z + 6 z + 6 z + 6 z + z + z
_____________________________________
6 7
1 - z - z + z
5, 11, 17, 23, 29, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 92, 98, 104,
110, 116, 122, 123, 129, 135, 141, 147, 153, 154, 155
Fermat coefficients
Réf.
MMAG 27 141 54.
H I S 2 A0969
Approximants de Padé
H I S 1 N1042
Fraction rationnelle
2
1 + z + 2 z
____________________
2 3
(z + z + 1) (1 - z)
1, 3, 7, 12, 18, 26, 35, 45, 57, 70, 84, 100, 117, 135, 155, 176, 198, 222, 247,
273, 301, 330, 360, 392, 425, 459, 495, 532, 570, 610, 651, 693, 737, 782,
828, 876, 925, 975
A.106
Fermat coefficients
Réf.
MMAG 27 141 54.
H I S 2 A0970
Approximants de Padé
H I S 1 N1846
Fraction rationnelle
5 4 3 2
3 z + 2 z + 4 z + 3 z + 3 z + 1
______________________________________
4 3 2 5
(z + z + z + z + 1) (1 - z)
1, 7, 25, 66, 143, 273, 476, 775, 1197, 1771, 2530, 3510, 4750, 6293, 8184,
10472, 13209, 16450, 20254, 24682, 29799, 35673, 42375, 49980, 58565,
68211, 79002
Fermat coefficients
Réf.
MMAG 27 141 54.
H I S 2 A0973
Approximants de Padé
H I S 1 N2137
Fraction rationnelle
2
(z + 1) (z + 6 z + 1)
___________________
8
(z - 1)
1, 15, 99, 429, 1430, 3978, 9690, 21318, 43263, 82225, 148005, 254475,
420732, 672452, 1043460, 1577532, 2330445, 3372291, 4790071, 6690585,
9203634
A.107
Central binomial coefficients
Réf.
RS3. AS1 828.
H I S 2 A0984
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0643
algébrique
2F 1([1/2], [ ], 4 z)
1
____________
1/2
(1 - 4 z)
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156,
10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300,
35345263800
Stochastic matrices of integers
Réf.
DMJ 35 659 68.
H I S 2 A0985
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1168
exponentielle
a(n) = (1/2 n^3 - 9/2 n^2 + 13 n - 12) a(n - 4) + (2 n - 3) a(n - 1)
+ (- n^2 + 5 n - 6) a(n - 2) + (- n^2 + 5 n - 6) a(n - 3)
3 2
exp(z (z + z - 2)/(4(1-z)))
______________________________
1/2
(1 - z)
1, 1, 3, 11, 56, 348, 2578, 22054, 213798, 2313638, 27627434, 360646314,
5107177312, 77954299144, 1275489929604, 22265845018412,
412989204564572
A.108
Stochastic matrices of integers
Réf.
DMJ 35 659 68.
H I S 2 A0986
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1437
exponentielle (algébrique)
a(n) = 2 (2 n - 1) n^2 a(n - 1) - 1/2 (2 n - 1) (12 n^2 - 7 n + 1) a(n - 4)
- 1/2 (2 n - 1) (- 8 n^2 + 2 n) a(n - 2)
3 2
z + 3 z - 4 z + 2
exp(_____________________)
4 (1 - z)
____________________________
1/2
(z - 1)
1, 0, 1, 4, 18, 112, 820, 6912, 66178, 708256, 8372754, 108306280,
1521077404, 23041655136, 374385141832, 6493515450688,
119724090206940
Stochastic matrices of integers
Réf.
DMJ 35 659 68.
H I S 2 A0987
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0707
exponentielle (algébrique)
3 2
exp(z (z + z - 2)/(4(1 - z)))
_______________________________
3/2
(1 - z)
0, 1, 1, 2, 7, 32, 184, 1268, 10186, 93356, 960646, 10959452, 137221954,
1870087808, 27548231008, 436081302248, 7380628161076,
132975267434552
A.109
2-line partitions of n
Réf.
DMJ 31 272 64.
H I S 2 A0990
Euler
H I S 1 N0978
Produit infini
c(n) = 1,2,2,2,2,...
1, 3, 5, 10, 16, 29, 45, 75, 115, 181, 271, 413, 605, 895, 1291, 1866, 2648,
3760, 5260, 7352, 10160, 14008, 19140, 26085, 35277, 47575, 63753, 85175,
113175, 149938
3-line partitions of n
Réf.
DMJ 31 272 64.
H I S 2 A0991
Euler
H I S 1 N1011
Produit infini
c(n) = 1,2,3,3,3,3,3,3,....
1, 3, 6, 12, 21, 40, 67, 117, 193, 319, 510, 818, 1274, 1983, 3032, 4610, 6915,
10324, 15235, 22371, 32554, 47119, 67689, 96763, 137404, 194211, 272939,
381872
A.110
Dissections of a polygon
Réf.
EMN 32 6 40. BAMS 54 359 48.
H I S 2 A1002
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente.
H I S 1 N1146
algébrique
(n - 1) n a(n) = (22/5 n^2 - 11 n + 33/5) a(n - 1) + (27/5 n^2 - 108/5 n + 21) a(n - 2)
2
Inverse de z(1 - z - z )
1, 1, 3, 10, 38, 154, 654, 2871, 12925, 59345, 276835, 1308320, 6250832,
30142360, 146510216, 717061938, 3530808798, 17478955570,
86941210950, 434299921440
Super Catalan numbers
Réf.
EMN 32 6 40. BAMS 54 359 48. RCI 168. C1 57. VA91 198.
H I S 2 A1003
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1 N1163
algébrique
n a(n) = (6 n - 9) a(n - 1) + (- n + 3) a(n - 2)
2 1/2
1 + z - (1 - 6 z + z )
________________________
4 z
1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049, 518859, 2646723, 13648869,
71039373, 372693519, 1968801519, 10463578353, 55909013009,
300159426963
A.111
Partitions of points on a circle
Réf.
BAMS 54 359 48.
H I S 2 A1005
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1 N0520
algébrique
algébrique du 3è degré
2
1/2 (2 n + 1) n a(n) = (193/4 n - 1015/4 n + 327) a(n - 3)
2 2
+ (- 37/4 n + 91/4 n - 9) a(n - 1) + (9/4 n - 9/4 n - 3) a(n - 2)
2
+ (279/4 n - 1953/4 n + 837) a(n - 4)
1, 0, 1, 1, 2, 5, 8, 21, 42, 96, 222, 495, 1177, 2717, 6435, 15288, 36374,
87516, 210494, 509694, 1237736, 3014882, 7370860, 18059899, 44379535,
109298070, 269766655
Motzkin numbers
Réf.
BAMS 54 359 48. JSIAM 18 254 69. JCT A23 292 77.
H I S 2 A1006
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N0456
algébrique
(n + 1) a(n) = (2 n - 1) a(n - 1) + (3 n - 6) a(n - 2)
2 1/2
1 - z - (1 - 2 z - 3 z )
____________________________
2
2 z
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634,
310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559,
400763223, 1129760415
A.112
6th powers
Réf.
BA9.
H I S 2 A1014
Approximants de Padé
H I S 1 N2318
Fraction rationnelle
4 3 2
(1 + z) (z + 56 z + 246 z + 56 z + 1)
__________________________________________
7
(1 - z)
1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561,
2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224,
47045881
Seventh powers
Réf.
BA9.
H I S 2 A1015
Approximants de Padé
H I S 1 N2341
Fraction rationnelle
6 5 4 3 2
z + 120 z + 1191 z + 2416 z + 1191 z + 120 z + 1
_______________________________________________________
8
(z - 1)
1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000,
19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859375, 268435456,
410338673
A.113
Eighth powers
Réf.
BA9.
H I S 2 A1016
Recoupements
H I S 1 N2357
Fraction rationnelle
6 5 4 3 2
( z + 1 ) ( z + 2 4 6 z + 4 0 4 7 z + 1 1 5 7 2 z + 4 0 4 7 z + 2 4 6 z + 1 )
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
9
( z - 1 )
1, 256, 6561, 65536, 390625, 1679616, 5764801, 16777216, 43046721,
100000000, 214358881, 429981696, 815730721, 1475789056, 2562890625,
4294967296
Powers of 8
Réf.
BA9.
H I S 2 A1018
Approximants de Padé
H I S 1 N1937
Fraction rationnelle
1
_______
1 - 8 z
1, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, 2097152, 16777216, 134217728,
1073741824, 8589934592, 68719476736, 549755813888, 4398046511104,
35184372088832
A.114
Powers of 9
Réf.
BA9.
H I S 2 A1019
Approximants de Padé
H I S 1 N1992
Fraction rationnelle
1
_______
1 - 9 z
1, 9, 81, 729, 6561, 59049, 531441, 4782969, 43046721, 387420489,
3486784401, 31381059609, 282429536481, 2541865828329,
22876792454961
Powers of 11
Réf.
BA9.
H I S 2 A1020
Approximants de Padé
H I S 1 N2054
Fraction rationnelle
1
________
1 - 11 z
1, 11, 121, 1331, 14641, 161051, 1771561, 19487171, 214358881,
2357947691, 25937424601, 285311670611, 3138428376721,
34522712143931
A.115
Powers of 12
Réf.
BA9.
H I S 2 A1021
Approximants de Padé
H I S 1 N2084
Fraction rationnelle
1
________
1 - 12 z
1, 12, 144, 1728, 20736, 248832, 2985984, 35831808, 429981696,
5159780352, 61917364224, 743008370688, 8916100448256,
106993205379072
Powers of 13
Réf.
BA9.
H I S 2 A1022
Approximants de Padé
H I S 1 N2107
Fraction rationnelle
1
________
1 - 13 z
1, 13, 169, 2197, 28561, 371293, 4826809, 62748517, 815730721,
10604499373, 137858491849, 1792160394037, 23298085122481,
302875106592253
A.116
Powers of 14
Réf.
BA9.
H I S 2 A1023
Approximants de Padé
H I S 1 N2120
Fraction rationnelle
1
________
1 - 14 z
1, 14, 196, 2744, 38416, 537824, 7529536, 105413504, 1475789056,
20661046784, 289254654976, 4049565169664, 56693912375296,
793714773254144
Powers of 15
Réf.
BA9.
H I S 2 A1024
Approximants de Padé
H I S 1 N2147
Fraction rationnelle
1
________
1 - 15 z
1, 15, 225, 3375, 50625, 759375, 11390625, 170859375, 2562890625,
38443359375, 576650390625, 8649755859375, 129746337890625,
1946195068359375
A.117
Powers of 16
Réf.
BA9.
H I S 2 A1025
Approximants de Padé
H I S 1 N2164
Fraction rationnelle
1
________
1 - 16 z
1, 16, 256, 4096, 65536, 1048576, 16777216, 268435456, 4294967296,
68719476736, 1099511627776, 17592186044416, 281474976710656
Powers of 17
Réf.
BA9.
H I S 2 A1026
Approximants de Padé
H I S 1 N2182
Fraction rationnelle
1
________
1 - 17 z
1, 17, 289, 4913, 83521, 1419857, 24137569, 410338673, 6975757441,
118587876497, 2015993900449, 34271896307633, 582622237229761
A.118
Powers of 18
Réf.
BA9.
H I S 2 A1027
Approximants de Padé
H I S 1 N2192
Fraction rationnelle
1
________
1 - 18 z
1, 18, 324, 5832, 104976, 1889568, 34012224, 612220032, 11019960576,
198359290368, 3570467226624, 64268410079232, 1156831381426176
Powers of 19
Réf.
BA9.
H I S 2 A1029
Approximants de Padé
H I S 1 N2198
Fraction rationnelle
1
________
1 - 19 z
1, 19, 361, 6859, 130321, 2476099, 47045881, 893871739, 16983563041,
322687697779, 6131066257801, 116490258898219, 2213314919066161
A.119
Réf.
RCI 217.
H I S 2 A1044
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1492
Fraction rationnelle
double exponentielle
a(n) = Γ(n+1)^2
z
_____
1 - z
1, 4, 36, 576, 14400, 518400, 25401600, 1625702400, 131681894400,
13168189440000, 1593350922240000, 229442532802560000,
38775788043632640000
Réf.
FQ 10 499 72. JCT A26 149 79.
H I S 2 A1045
Approximants de Padé
H I S 1 N0983
Fraction rationnelle
1
___________________
(1 + z) (1 - 2 z)
1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845,
43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405,
11184811, 22369621
A.120
Réf.
EUR 24 20 61. CR 268 579 69.
H I S 2 A1047
Approximants de Padé
H I S 1 N1596
Fraction rationnelle
1
____________________
(1 - 3 z) (1 - 2 z)
1, 5, 19, 65, 211, 665, 2059, 6305, 19171, 58025, 175099, 527345, 1586131,
4766585, 14316139, 42981185, 129009091, 387158345, 1161737179,
3485735825
Réf.
CJM 22 26 70.
H I S 2 A1048
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0337
Fraction rationnelle
f.g. exponentielle
3F 2([1, 1, 3], [2, 2], z)
2 - z
________
2
(1 - z)
2, 3, 8, 30, 144, 840, 5760, 45360, 403200, 3991680, 43545600, 518918400,
6706022400, 93405312000, 1394852659200, 22230464256000,
376610217984000
A.121
Réf.
FQ 3 129 65. BR72 52.
H I S 2 A1060
Approximants de Padé
H I S 1 N0512
Fraction rationnelle
2 + 3 z
___________
2
1 - z - z
2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, 898, 1453, 2351, 3804, 6155,
9959, 16114, 26073, 42187, 68260, 110447, 178707, 289154, 467861,
757015, 1224876
Réf.
NCM 4 167 1878. MMAG 40 78 67. FQ 7 239 69.
H I S 2 A1075
Approximants de Padé
H I S 1 N0700
Fraction rationnelle
1 - 2 z
______________
2
1 - 4 z + z
1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, 18817, 70226, 262087, 978122, 3650401,
13623482, 50843527, 189750626, 708158977, 2642885282, 9863382151,
36810643322
A.122
Réf.
TH52 282.
H I S 2 A1076
Approximants de Padé
H I S 1 N1434
Fraction rationnelle
1
_____________
2
1 - 4 z - z
1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176,
31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, 10182505537, 43133785636
Réf.
TH52 282.
H I S 2 A1077
Approximants de Padé
H I S 1 N0764
Fraction rationnelle
1 - 2 z
______________
2
1 - 4 z - z
1, 2, 9, 38, 161, 682, 2889, 12238, 51841, 219602, 930249, 3940598,
16692641, 70711162, 299537289, 1268860318, 5374978561, 22768774562,
96450076809
A.123
Réf.
TH52 281.
H I S 2 A1078
Approximants de Padé
H I S 1 N0839
Fraction rationnelle
2 z
_______________
2
1 - 10 z + z
0, 2, 20, 198, 1960, 19402, 192060, 1901198, 18819920, 186298002,
1844160100, 18255302998, 180708869880, 1788833395802,
17707625088140
Réf.
EUL (1) 1 374 11. TH52 281.
H I S 2 A1079
Approximants de Padé
H I S 1 N1659
Fraction rationnelle
1 - 5 z
_______________
2
1 - 10 z + z
1, 5, 49, 485, 4801, 47525, 470449, 4656965, 46099201, 456335045,
4517251249, 44716177445, 442644523201, 4381729054565,
43374646022449
A.124
Réf.
NCM 4 167 1878. TH52 281.
H I S 2 A1080
Approximants de Padé
H I S 1 N1278
Fraction rationnelle
3 z
_______________
2
1 - 16 z + z
0, 3, 48, 765, 12192, 194307, 3096720, 49353213, 786554688, 12535521795,
199781794032, 3183973182717, 50743789129440, 808716652888323
Réf.
NCM 4 167 1878. TH52 281.
H I S 2 A1081
Approximants de Padé
H I S 1 N1949
Fraction rationnelle
1 - 8 z
_______________
2
1 - 16 z + z
1, 8, 127, 2024, 32257, 514088, 8193151, 130576328, 2081028097,
33165873224, 528572943487, 8424001222568, 134255446617601,
2139663144659048
A.125
Réf.
NCM 4 167 1878. MTS 65(4, Supplement) 8 56.
H I S 2 A1084
Approximants de Padé
H I S 1 N1284
Fraction rationnelle
3 z
_______________
2
1 - 20 z + z
0, 3, 60, 1197, 23880, 476403, 9504180, 189607197, 3782639760,
75463188003, 1505481120300, 30034159217997, 599177703239640,
11953519905574803
Réf.
NCM 4 167 1878. MTS 65(4, Supplement) 8 56.
H I S 2 A1085
Approximants de Padé
H I S 1 N2030
Fraction rationnelle
1 - 10 z
_______________
2
1 - 20 z + z
1, 10, 199, 3970, 79201, 1580050, 31521799, 628855930, 12545596801,
250283080090, 4993116004999, 99612037019890, 1987247624392801
A.126
Réf.
NCM 4 167 1878.
H I S 2 A1090
Approximants de Padé
H I S 1 N1936
Fraction rationnelle
1
_____________
2
1 - 8 z + z
1, 8, 63, 496, 3905, 30744, 242047, 1905632, 15003009, 118118440,
929944511, 7321437648, 57641556673, 453811015736, 3572846569215,
28128961537984
Réf.
NCM 4 167 1878.
H I S 2 A1091
Approximants de Padé
H I S 1 N1479
Fraction rationnelle
1 - 4 z
______________
2
1 - 8 z + z
1, 4, 31, 244, 1921, 15124, 119071, 937444, 7380481, 58106404, 457470751,
3601659604, 28355806081, 223244789044, 1757602506271,
13837575261124
A.127
Enneagonal numbers
Réf.
B1 189.
H I S 2 A1106
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 + 6 z
_________
3
(1 - z)
1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969,
1089, 1216, 1350, 1491, 1639, 1794, 1956, 2125, 2301, 2484, 2674, 2871,
3075, 3286, 3504, 3729, 3961, 4200
Decagonal numbers
Réf.
B1 189.
H I S 2 A1107
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 + 7 z
_________
3
(1 - z)
1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105,
1242, 1387, 1540, 1701, 1870, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277,
3510, 3751, 4000, 4257, 4522
A.128
n(n+1)/2 is square
Réf.
D1 2 10. MAG 47 237 63. B1 193. FQ 9 95 71.
H I S 2 A1108
Approximants de Padé
H I S 1 N1924
Fraction rationnelle
1 + z
_______________________
2
(z - 1) (z - 6 z + 1)
1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449, 11309768, 65918161,
384199200, 2239277041, 13051463048, 76069501249, 443365544448,
2584123765441
Réf.
D1 2 10. MAG 47 237 63. B1 193. FQ 9 95 71.
H I S 2 A1109
Approximants de Padé
H I S 1 N1760
Fraction rationnelle
1
_____________
2
1 - 6 z + z
1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179,
271669860, 1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024,
1827251437969
A.129
Both triangular and square
Réf.
D1 2 10. MAG 47 237 63. B1 193. FQ 9 95 71.
H I S 2 A1110
Approximants de Padé
H I S 1 N2291
Fraction rationnelle
1 + z
_______________________
2
(1 - z) (z - 34 z + 1)
1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056,
1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600
Differences of 0
Réf.
VO11 31. DA63 2 212. R1 33.
H I S 2 A1117
Approximants de Padé
H I S 1 N1763
Fraction rationnelle
6
___________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z)
6, 36, 150, 540, 1806, 5796, 18150, 55980, 171006, 519156, 1569750,
4733820, 14250606, 42850116, 128746950, 386634060, 1160688606,
3483638676
A.130
Differences of 0
Réf.
VO11 31. DA63 2 212. R1 33.
H I S 2 A1118
Approximants de Padé
H I S 1 N2334
Fraction rationnelle
120
______________________________________________
(1 -z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z) (1 - 5 z)
120, 1800, 16800, 126000, 834120, 5103000, 29607600, 165528000,
901020120, 4809004200, 25292030400, 131542866000, 678330198120,
3474971465400
Double factorials
Réf.
AMM 55 425 48. MOC 24 231 70.
H I S 2 A1147
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1217
exponentielle (algébrique)
Inverse fonctionnel de A1710
Inverse de A0698
2 z
________________
1/2
1 + (1 - 2 z)
1, 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, 2027025, 34459425, 654729075,
13749310575, 316234143225, 7905853580625, 213458046676875,
6190283353629375
A.131
Partitions of n into squares
Réf.
BIT 19 298 79.
H I S 2 A1156
Euler
H I S 1 N0079
Produit infini
c(n) = 1,4,9,16,..., les carrés parfaits.
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 10, 10, 12, 13, 14, 14, 16, 19, 20,
21, 23, 26, 27, 28, 31, 34, 37, 38, 43, 46, 49, 50, 55, 60, 63, 66, 71, 78, 81, 84,
90, 98, 104, 107, 116
Board-pile polyominoes with n cells
Réf.
JCT 6 103 69. AB71 363. JSP 58 477 90.
H I S 2 A1169
Approximants de Padé
H I S 1 N0639
Fraction rationnelle
3
(1 - z)
________________________
2 3
1 - 5 z + 7 z - 4 z
1, 2, 6, 19, 61, 196, 629, 2017, 6466, 20727, 66441, 212980, 682721,
2188509, 7015418, 22488411, 72088165, 231083620, 740754589,
2374540265, 7611753682
A.132
Baxter permutations of length 2n-1
Réf.
MAL 2 25 67. JCT A24 393 78. FQ 27 166 89.
H I S 2 A1181
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N0652
2
(n + 3) (n + 2) a(n) = (7 n + 7 n - 2) a(n - 1) +
2
(8 n - 24 n + 16) a(n - 2)
1, 2, 6, 22, 92, 422, 2074, 10754, 58202, 326240, 1882960, 11140560,
67329992, 414499438, 2593341586, 16458756586, 105791986682,
687782586844, 4517543071924
Degree n permutations of order exactly 2
Réf.
CJM 7 159 55.
H I S 2 A1189
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N1127
exponentielle
a(n) = 3 a(n - 1) + (n - 3) a(n - 2) + (- 2 n + 3) a(n - 3) + (n - 2) a(n - 4)
exp(1/2 z (2 + z)) - exp(z)
0, 1, 3, 9, 25, 75, 231, 763, 2619, 9495, 35695, 140151, 568503, 2390479,
10349535, 46206735, 211799311, 997313823, 4809701439, 23758664095,
119952692895
A.133
Expansion of an integral
Réf.
C1 167.
H I S 2 A1193
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0770
exponentielle (algébrique)
(n - 1) a(n) = (2 n - 3) n a(n - 1)
z
_____________
1/2
(1 - 2 z)
1, 2, 9, 60, 525, 5670, 72765, 1081080, 18243225
Expansion of an integral
Réf.
C1 167.
H I S 2 A1194
Hypergéométrique
Suite P-récurrente.
H I S 1 N1139
exponentielle (algébrique) double exponentielle
z (2 - 3 z)
______________
3/2
(1 - 2 z)
3, 9, 54, 450, 4725, 59535, 873180, 14594580
A.134
Clouds with n points
Réf.
C1 276.
H I S 2 A1205
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente.
H I S 1 N1181
exponentielle (algébrique)
2 a(n) = (n - 2) (n - 3) a(n - 3) + (2 n - 4) a(n - 1)
exp(- 1/4 z (z + 2))
_____________________
1/2
(1 - z)
1, 0, 0, 1, 3, 12, 70, 465, 3507, 30016, 286884, 3026655, 34944085,
438263364, 5933502822, 86248951243, 1339751921865, 22148051088480,
388246725873208
Packing a box with n dominoes
Réf.
AMM 69 61 62.
H I S 2 A1224
Approximants de Padé
H I S 1 N0117
Fraction rationnelle
2 3 4 5
1 + z - 2 z - z - z - z
_____________________________
4 2 2
(z + z - 1) (z + z - 1)
1, 2, 2, 4, 5, 9, 12, 21, 30, 51, 76, 127, 195, 322, 504, 826, 1309, 2135, 3410,
5545, 8900, 14445, 23256, 37701, 60813, 98514, 159094, 257608, 416325,
673933, 1089648
A.135
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 833. DKB 226.
H I S 2 A1233
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2216
exponentielle (log)
5
- ln(1 - z)
_____________
120 (1 - z)
1, 21, 322, 4536, 63273, 902055, 13339535, 206070150, 3336118786,
56663366760, 1009672107080, 18861567058880, 369012649234384
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 834. DKB 226.
H I S 2 A1234
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2264
exponentielle (log)
6
ln(1 - z)
____________
720 (1 - z)
1, 28, 546, 9450, 157773, 2637558, 44990231, 790943153, 14409322928,
272803210680, 5374523477960, 110228466184200, 2353125040549984
A.136
Differences of reciprocals of unity
Réf.
DKB 228.
H I S 2 A1240
Approximants de Padé
H I S 1 N2049
Fraction rationnelle
1
______________________________
(1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 6 z)
1, 11, 85, 575, 3661, 22631, 137845, 833375, 5019421, 30174551
Differences of reciprocals of unity
Réf.
DKB 228.
H I S 2 A1241
Approximants de Padé
H I S 1 N2305
Fraction rationnelle
1
__________________________________________
(1 - 6 z) (1 - 8 z) (1 - 12 z) (1 - 24 z)
1, 50, 1660, 46760, 1217776, 30480800, 747497920, 18139003520,
437786795776
A.137
Permutations of length n by length of runs
Réf.
AMM 65 534 58. DKB 262. C1 261.
H I S 2 A1250
Inverse fonctionnel
Relié aux nombres tangents
H I S 1 N0472
exponentielle (complexe)
2 tan(1/4 Pi + 1/2 z)
2, 4, 10, 32, 122, 544, 2770, 15872, 101042, 707584, 5405530, 44736512,
398721962, 3807514624, 38783024290, 419730685952, 4809759350882
Permutations of length n by rises
Réf.
DKB 263.
H I S 2 A1260
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N1657
a(n) (1 - n) =
- (n + 3) (n + 2) a(n - 2)
- (n + 3) (n - 1) a(n - 1)
1, 5, 45, 385, 3710, 38934, 444990, 5506710, 73422855, 1049946755,
16035550531, 260577696015
A.138
Lah numbers
Réf.
R1 44. C1 156.
H I S 2 A1286
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1 N1766
Fraction rationnelle
2 z + 1
_________
4
(1 - z)
1, 6, 36, 240, 1800, 15120, 141120, 1451520, 16329600, 199584000,
2634508800, 37362124800, 566658892800, 9153720576000,
156920924160000
Binomial coefficients C(n,10)
Réf.
D1 2 7. RS3. B1 196. AS1 828.
H I S 2 A1287
Approximants de Padé
H I S 1 N2046
Fraction rationnelle
1
__________
11
(1 - z)
1, 11, 66, 286, 1001, 3003, 8008, 19448, 43758, 92378, 184756, 352716,
646646, 1144066, 1961256, 3268760, 5311735, 8436285, 13123110,
20030010, 30045015
A.139
Binomial coefficients C(n,11)
Réf.
D1 2 7. RS3. B1 196. AS1 828.
H I S 2 A1288
Approximants de Padé
H I S 1 N2073
Fraction rationnelle
1
__________
12
(1 - z)
1, 12, 78, 364, 1365, 4368, 12376, 31824, 75582, 167960, 352716, 705432,
1352078, 2496144, 4457400, 7726160, 13037895, 21474180, 34597290,
54627300
Stirling numbers of second kind
Réf.
AS1 835. DKB 223.
H I S 2 A1296
Approximants de Padé
H I S 1 N1845
Fraction rationnelle
1 + 2 z
_________
5
(1 - z)
1, 7, 25, 65, 140, 266, 462, 750, 1155, 1705, 2431, 3367, 4550, 6020, 7820,
9996, 12597, 15675, 19285, 23485, 28336, 33902, 40250, 47450, 55575,
64701, 74907, 86275
A.140
Stirling numbers of second kind
Réf.
AS1 835. DKB 223.
H I S 2 A1297
Approximants de Padé
H I S 1 N2136
Fraction rationnelle
2
1 + 8 z + 6 z
________________
7
(1 - z)
1, 15, 90, 350, 1050, 2646, 5880, 11880, 22275, 39325, 66066, 106470,
165620, 249900, 367200, 527136, 741285, 1023435, 1389850, 1859550,
2454606, 3200450
Stirling numbers of second kind
Réf.
AS1 835. DKB 223.
H I S 2 A1298
Approximants de Padé
H I S 1 N2272
Fraction rationnelle
2 3
1 + 22 z + 58 z + 24 z
__________________________
9
(1 - z)
1, 31, 301, 1701, 6951, 22827, 63987, 159027, 359502, 752752, 1479478,
2757118, 4910178, 8408778, 13916778, 22350954, 34952799, 53374629,
79781779
A.141
Stirling numbers of first kind
Réf.
AS1 833. DKB 226.
H I S 2 A1303
Approximants de Padé
H I S 1 N1779
Fraction rationnelle
2
6 + 8 z + z
_______________
7
(1 - z)
6, 50, 225, 735, 1960, 4536, 9450, 18150, 32670, 55770, 91091, 143325,
218400, 323680, 468180, 662796, 920550, 1256850, 1689765, 2240315,
2932776
Generalized pentagonal numbers
Réf.
NZ66 231. AMM 76 884 69. HO70 119.
H I S 2 A1318
Approximants de Padé
H I S 1 N0511
Fraction rationnelle
2
z + z + 1
__________________
2 3
(1 + z) (1 - z)
1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155,
176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477,
495, 532, 551, 590
A.142
Réf.
MQET 1 9 16. AMM 56 445 49.
H I S 2 A1333
Approximants de Padé
H I S 1 N1064
Fraction rationnelle
1 + z
_____________
2
1 - 2 z - z
1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119, 19601, 47321, 114243,
275807, 665857, 1607521, 3880899, 9369319, 22619537, 54608393,
131836323, 318281039
Binomial coefficient sums
Réf.
CJM 22 26 70.
H I S 2 A1338
Recoupements
H I S 1 N0697
exponentielle
- exp(z) (ln(1 - z) + 1) + 2
1, 0, 2, 7, 23, 88, 414, 2371, 16071, 125672, 1112082
A.143
Réf.
CJM 22 26 70. AD74 70.
H I S 2 A1339
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1164
exponentielle
a(n) = (n + 1) a(n - 1) + (- n + 2) a(n - 2)
∑(n+1)! C(n,k), k=0...n
exp(z)
________
2
(1 - z)
1, 3, 11, 49, 261, 1631, 11743, 95901, 876809, 8877691, 98641011,
1193556233, 15624736141, 220048367319, 3317652307271,
53319412081141, 909984632851473
Réf.
CJM 22 26 70.
H I S 2 A1340
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0736
exponentielle
2 exp(z)
__________
3
(1 - z)
2, 8, 38, 212, 1370, 10112, 84158, 780908, 8000882
A.144
Réf.
CJM 22 26 70.
H I S 2 A1341
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1755
exponentielle
6 exp(z)
__________
4
(1 - z)
6, 30, 174, 1158, 8742, 74046, 696750, 7219974
Réf.
CJM 22 26 70.
H I S 2 A1342
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2233
exponentielle
24 exp(z)
__________
5
(1 - z)
24, 144, 984, 7584, 65304, 622704, 6523224
A.145
Réf.
CJM 22 26 70.
H I S 2 A1344
Dérivée
Suite P-récurrente
H I S 1 N0548
exponentielle
a(n) = (n - 3) a(n - 2) + (n - 1) a(n - 1)
1 2
-------- - ------- - ln(z - 1)
2
(z - 1) z - 1
2, 5, 11, 38, 174, 984, 6600, 51120, 448560, 4394880, 47537280, 562464000,
7224940800, 100111334400, 1488257971200, 23625316915200,
398840682240000, 7134671351808000
Réf.
EUR 11 22 49.
H I S 2 A1350
Approximants de Padé
H I S 1 N1311
Fraction rationnelle
2
1 + z
_____________________________
2
(1 - z) (1 + z) (1 - z - z )
1, 1, 4, 5, 11, 16, 29, 45, 76, 121, 199, 320, 521, 841, 1364, 2205, 3571, 5776,
9349, 15125, 24476, 39601, 64079, 103680, 167761, 271441, 439204,
710645, 1149851
A.146
Associated Mersenne numbers
Réf.
EUR 11 22 49.
H I S 2 A1351
Approximants de Padé
expression factorisée
H I S 1 N0879
Fraction rationnelle
2 2
z (1 - z + z ) (z + 3 z + 1)
_____________________________
3 2 3
(1 - z - z ) (1 - z - z )
0, 1, 3, 1, 3, 11, 9, 8, 27, 37, 33, 67, 117, 131, 192, 341, 459, 613, 999, 1483,
2013, 3032, 4623, 6533, 9477, 14311, 20829, 30007, 44544, 65657, 95139,
139625, 206091
Réf.
MOC 24 180 70.
H I S 2 A1352
Approximants de Padé
H I S 1 N1731
Fraction rationnelle
2
(1 + z)
______________
2
1 - 4 z + z
1, 6, 24, 90, 336, 1254, 4680, 17466, 65184, 243270, 907896, 3388314,
12645360, 47193126, 176127144, 657315450, 2453134656, 9155223174,
34167758040
A.147
Réf.
MMAG 40 78 67. MOC 24 180 70; 25 799 71.
H I S 2 A1353
Approximants de Padé
H I S 1 N1420
Fraction rationnelle
1
______________
2
1 - 4 z + z
1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, 151316, 564719, 2107560,
7865521, 29354524, 109552575, 408855776, 1525870529, 5694626340,
21252634831
n-node trees of height at most 3
Réf.
IBMJ 4 475 60. KU64.
H I S 2 A1383
Euler
H I S 1 N0422
Produit infini
c(n) = partages de n
1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 53, 98, 177, 319, 565, 1001, 1749, 3047, 5264,
9054, 15467, 26320, 44532, 75054, 125904, 210413, 350215, 580901,
960035, 158153
4, 2596913
A.148
n-node trees of height at most 4
Réf.
IBMJ 4 475 60. KU64.
H I S 2 A1384
Euler
a(n) = suite précédente
H I S 1 N0449
Produit infini
c(n) = arbres de hauteur au plus 3
1, 1, 2, 4, 9, 19, 42, 89, 191, 402, 847, 1763, 3667, 7564, 15564, 31851,
64987, 132031, 267471, 539949, 1087004, 2181796, 4367927, 8721533,
17372967, 34524291
n-node trees of height at most 5
Réf.
IBMJ 4 475 60. KU64.
H I S 2 A1385
Euler
a(n) = suite précédente
H I S 1 N0453
Produit infini
c(n) = arbres de hauteur au plus 4
1, 1, 2, 4, 9, 20, 47, 108, 252, 582, 1345, 3086, 7072, 16121, 36667,
83099, 187885, 423610, 953033, 2139158, 4792126, 10714105, 23911794,
53273599, 118497834
A.149
Réf.
QAM 14 407 56. MOC 29 216 75.
H I S 2 A1392
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1981
algébrique
2F1([5, 9/2], [10], 4 z)
4
512 z
_____________________
1/2 9
(1 + (1 - 4 z) )
1, 9, 54, 273, 1260, 5508, 23256, 95931, 389367, 1562275, 6216210,
24582285, 96768360, 379629720, 1485507600, 5801732460, 22626756594,
88152205554
Partitions into at most 3 parts
Réf.
RS4 2. AMM 86 687 79.
H I S 2 A1399
Approximants de Padé
H I S 1 N0186
Fraction rationnelle
1
__________________________
2 3
(1 - z) (1 - z ) (1 - z )
1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 37, 40, 44, 48, 52,
56, 61, 65, 70, 75, 80, 85, 91, 96, 102, 108, 114, 120, 127, 133, 140, 147, 154,
161, 169, 176, 184
A.150
Partitions into at most 4 parts
Réf.
RS4 2.
H I S 2 A1400
Approximants de Padé
H I S 1 N0229
Fraction rationnelle
1
___________________________________
2 3 4
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 15, 18, 23, 27, 34, 39, 47, 54, 64, 72, 84, 94, 108, 120, 136,
150, 169, 185, 206, 225, 249, 270, 297, 321, 351, 378, 411, 441, 478, 511,
551, 588, 632, 672
Partitions of n into at most 5 parts
Réf.
RS4 2.
H I S 2 A1401
Recoupement
H I S 1 N0237
Fraction rationnelle
1
____________________________________________
2 3 4 5
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 18, 23, 30, 37, 47, 57, 70, 84, 101, 119, 141, 164, 192,
221, 255, 291, 333, 377, 427, 480, 540, 603, 674, 748, 831, 918, 1014, 1115,
1226, 1342, 1469
A.151
Partitions of n into at most 6 parts
Réf.
CAY 10 415. RS4 2.
H I S 2 A1402
Euler
H I S 1 N0243
Fraction rationnelle
1
_____________________________________________________
2 3 4 5 6
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 14, 20, 26, 35, 44, 58, 71, 90, 110, 136, 163, 199, 235, 282,
331, 391, 454, 532, 612, 709, 811, 931, 1057, 1206, 1360, 1540, 1729, 1945,
2172, 2432
Central binomial coefficients
Réf.
RS3. AS1 828. JCT 1 299 66.
H I S 2 A1405
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N0294
algébrique
C(n,[n/2])
2 2 1/2
1 - 4 z - (1 - 4 z )
________________________
3 2
2 (2 z - z )
1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, 462, 924, 1716, 3432, 6435, 12870, 24310,
48620, 92378, 184756, 352716, 705432, 1352078, 2704156, 5200300,
10400600
A.152
Catalan numbers -1
Réf.
MOC 22 390 68.
H I S 2 A1453
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N1409
algébrique
(n + 2) a(n) = (6 n + 4) a(n - 1) + (- 9 n + 4) a(n - 2) + (4 n - 6) a(n - 3)
2 4 1/2
1 - 4 z + 3 z - (- (4 z - 1) (z - 1) )
____________________________________________
3 4 5
2 (z - 2 z + z )
1, 4, 13, 41, 131, 428, 1429, 4861, 16795, 58785, 208011, 742899, 2674439,
9694844, 35357669, 129644789, 477638699, 1767263189, 6564120419,
24466267019
Degree n permutations of order dividing 3
Réf.
CJM 7 159 55.
H I S 2 A1470
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1118
exponentielle
a(n) = a(n - 1) + (n^2 - 3 n + 2) a(n - 3)
2 2
(1 + z ) exp(1/3 z (3 + z ))
1, 1, 3, 9, 21, 81, 351, 1233, 5769, 31041, 142011, 776601, 4874013,
27027729, 168369111, 1191911841, 7678566801, 53474964993,
418199988339
A.153
Degree n permutations of order dividing 4
Réf.
CJM 7 159 55.
H I S 2 A1472
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0495
exponentielle
a(n) = a(n - 1) + (n^3 - 6 n^2 + 11 n - 6) a(n - 4) + (n - 1) a(n - 2)
3 3
(1 + z + z ) exp(1/4 z (4 + z + 2 z))
1, 2, 4, 16, 56, 256, 1072, 6224, 33616, 218656, 1326656, 9893632,
70186624, 574017536, 4454046976, 40073925376, 347165733632,
3370414011904
Réf.
R1 86 (divided by 2).
H I S 2 A1475
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0573
exponentielle
a(n) = a(n - 1) + n a(n - 2)
2 2
exp(1/2 z + z + ln(2 + 2 z + z ))
1, 2, 5, 13, 38, 116, 382, 1310, 4748, 17848, 70076, 284252, 1195240,
5174768, 23103368, 105899656, 498656912, 2404850720, 11879332048,
59976346448
A.154
Stochastic matrices of integers
Réf.
DMJ 35 659 68.
H I S 2 A1495
Recoupements
Suite P-récurrente
H I S 1 N1188
exponentielle:algébrique
2
exp(z (z + 3 z - 2)/(1-z))
___________________________
3/2
(1 - z)
0, 1, 1, 1, 3, 13, 70, 462, 3592, 32056, 322626, 3611890, 44491654,
597714474, 8693651092, 136059119332, 2279212812480, 40681707637888,
770631412413148
4 x 4 stochastic matrices of integers
Réf.
SS70. CJN 13 283 70. SIAC 4 477 75. ANS 4 1179 76.
H I S 2 A1496
Dérivée logarithmique
H I S 1 N2240
Fraction rationnelle
4 3 2 2
(z + 12 z + 62 z + 12 z + 1) (z + 1)
__________________________________________
10
(z - 1)
1, 24, 282, 2008, 10147, 40176, 132724, 381424, 981541, 2309384, 5045326,
10356424, 20158151, 37478624, 66952936, 115479776, 193077449,
313981688, 498033282, 772409528
A.155
Stochastic matrices of integers
Réf.
SS70. DMJ 33 763 66.
H I S 2 A1499
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1 N1792
exponentielle
2
(z - 2 z + 4) exp(- 1/2 z)
_____________________________
5/2
(1 - z)
0, 1, 6, 90, 2040, 67950, 3110940, 187530840, 14398171200,
1371785398200, 158815387962000, 21959547410077200,
3574340599104475200
Bessel polynomial yn ( 1 )
Réf.
RCI 77.
H I S 2 A1514
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N1993
a(n) = (2 n + 4) a(n - 1) + a(n - 4)
+ (- 6 n + 9) a(n - 2) + (2 n - 10) a(n - 3)
0, 1, 9, 81, 835, 9990, 137466, 2148139, 37662381, 733015845,
15693217705, 366695853876, 9289111077324, 253623142901401,
7425873460633005
A.156
Réf.
RCI 77.
H I S 2 A1515
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N0713
exponentielle:algébrique
Formule de B. Salvy
a(n) = (2n-1) a(n-1) + a(n-2)
1/2
exp(1 - (1 - 2 z) )
_______________________
1/2
(1 - 2 z)
1, 2, 7, 37, 266, 2431, 27007, 353522, 5329837, 90960751, 1733584106,
36496226977, 841146804577, 21065166341402, 569600638022431
Denominators of convergents to e = exp(1)
Réf.
BAT 17 1871. MOC 2 69 46.
H I S 2 A1517
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N1240
exponentielle
Voir A2119
a(n) = (4 n - 6) a(n - 1) + a(n - 2)
1/2
exp(1/2 - 1/2 (1 - 4 z) )
____________________________
1/2
(1 - 4 z)
1, 3, 19, 193, 2721, 49171, 1084483, 28245729, 848456353, 28875761731,
1098127402131, 46150226651233, 2124008553358849,
106246577894593683
A.157
Bessel polynomial yn ( 3 )
Réf.
RCI 77.
H I S 2 A1518
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N1495
exponentielle
Formule de B. Salvy
a(n) = (6 n - 9) a(n - 1) + a(n - 2)
1/2
exp(1/3 - 1/3 (1 - 6 z) )
____________________________
1/2
(1 - 6 z)
1, 4, 37, 559, 11776, 318511, 10522639, 410701432, 18492087079,
943507142461, 53798399207356, 3390242657205889, 233980541746413697
Bisection of Fibonacci sequence
Réf.
R1 39. FQ 9 283 71.
H I S 2 A1519
Approximants de Padé
H I S 1 N0569
Fraction rationnelle
1 - z
____________
2
1 - 3 z + z
1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, 28657, 75025, 196418,
514229, 1346269, 3524578, 9227465, 24157817, 63245986, 165580141,
433494437
A.158
Stacks, or planar partitions of n
Réf.
PCPS 47 686 51. QJMO 23 153 72.
H I S 2 A1522
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1 N0238
Fraction rationnelle
10 8 7 6 5 3 2
z + z - 2 z - z + 2 z + z - z - z + 1
_______________________________________________
4 3 3
(z + 1) (z + z - 1) (z - 1)
1, 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 35, 47, 62, 82, 107, 139, 179, 230, 293
Transpositions needed to generate permutations of length n
Réf.
CJN 13 155 70.
H I S 2 A1540
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1 N0734
exponentielle
a(n) = - n a(n - 3) + (n + 2) a(n - 1) + (- n + 1) a(n - 2) + (n - 2) a(n - 4)
[cosh(1)*n!] -1
3 2 2
(2 z + 3 + 2 z - 5 z ) exp(z) 1 - z
_______________________________ + ___________________
3 3
2 (z - 1) (z - 1) 2 exp(z)
0, 2, 8, 36, 184, 1110, 7776, 62216, 559952, 5599530, 61594840, 739138092,
9608795208, 134523132926, 2017846993904, 32285551902480
A.159
Réf.
NCM 4 166 1878. QJM 45 14 14. ANN 36 644 35. AMM 75 683 68.
H I S 2 A1541
Approximants de Padé
H I S 1 N1231
Fraction rationnelle
1 - 3 z
______________
2
1 - 6 z + z
1, 3, 17, 99, 577, 3363, 19601, 114243, 665857, 3880899, 22619537,
131836323, 768398401, 4478554083, 26102926097, 152139002499,
886731088897
Réf.
NCM 4 166 1878. ANN 30 72 28. AMM 75 683 68.
H I S 2 A1542
Approximants de Padé
H I S 1 N0802
Fraction rationnelle
2 z
_____________
2
z - 6 z + 1
0, 2, 12, 70, 408, 2378, 13860, 80782, 470832, 2744210, 15994428,
93222358, 543339720, 3166815962, 18457556052, 107578520350,
627013566048
A.160
1^n + 2^n + 3^n
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A1550
Approximants de Padé
H I S 1 N1020
Fraction rationnelle
2
3 - 12 z + 11 z
____________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z)
3, 6, 14, 36, 98, 276, 794, 2316, 6818, 20196, 60074, 179196, 535538,
1602516, 4799354, 14381676, 43112258, 129271236, 387682634,
1162785756, 3487832978
1^n + 2^n + 3^n + 4^n
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A1551
Approximants de Padé
H I S 1 N1375
Fraction rationnelle
2
2 (5 z - 2) (5 z - 5 z + 1)
_____________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z)
4, 10, 30, 100, 354, 1300, 4890, 18700, 72354, 282340, 1108650, 4373500,
17312754, 68711380, 273234810, 1088123500, 4338079554, 17309140420
A.161
1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A1552
Approximants de Padé
H I S 1 N1584
Fraction rationnelle
2 3 4
5 - 60 z + 255 z - 450 z + 274 z
________________________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z) (1 - 5 z)
5, 15, 55, 225, 979, 4425, 20515, 96825, 462979, 2235465, 10874275,
53201625, 261453379, 1289414505, 6376750435, 31605701625,
156925970179
1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A1553
Approximants de Padé
H I S 1 N1723
Fraction rationnelle
4 3 2
(2 - 7 z) (252 z - 392 z + 203 z - 42 z + 3)
_________________________________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z) (1 - 5 z) (1 - 6 z)
6, 21, 91, 441, 2275, 12201, 67171, 376761, 2142595, 12313161, 71340451,
415998681, 2438235715, 14350108521, 84740914531, 501790686201
A.162
1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A1554
Approximants de Padé
H I S 1 N1850
Fraction rationnelle
7 6 5 4 3 2
8 0 2 8 z - 1 3 1 9 6 z + 7 1 7 5 z - 1 0 7 1 z - 3 5 0 z + 1 5 4 z - 2 1 z + 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
( 1 - z ) ( 1 - 2 z ) ( 1 - 3 z ) ( 1 - 4 z ) ( 1 - 5 z ) ( 1 - 6 z ) ( 1 - 7 z )
1, 7, 28, 140, 784, 4676, 29008, 184820, 1200304, 7907396, 52666768,
353815700, 2393325424, 16279522916, 111239118928, 762963987380,
5249352196144
1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n
Réf.
AS1 813.
H I S 2 A1555
Recoupements
H I S 1 N1914
Fraction rationnelle
2 3 4 5 6 7
8 - 252 z + 3276 z - 22680 z + 89796 z - 201852 z + 236248 z - 109584 z
_______________________________________________________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z) (1 - 4 z) (1 - 5 z) (1 - 6 z) (1 - 7 z) (1 - 8 z)
8, 36, 204, 1296, 8772, 61776, 446964, 3297456, 24684612, 186884496,
1427557524, 10983260016, 84998999652, 660994932816, 5161010498484
A.163
A simple recurrence
Réf.
IC 16 351 70.
H I S 2 A1558
LLL
H I S 1 N1143
algébrique
(n + 3) a(n) = (- 11/2 n + 21/2) a(n - 3) + (9/2 n + 11/2) a(n - 1)
+ (- 1/2 n + 9/2) a(n - 2) + (- 2 n + 5) a(n - 4)
2 2 2 1/2
1 - 3 z - z - (- (- 1 + 4 z) (- 1 + z + z ) )
___________________________________________________
4 5
2 (2 z + z )
1, 3, 10, 33, 111, 379, 1312, 4596, 16266, 58082, 209010, 757259, 2760123,
10114131, 37239072, 137698584, 511140558, 1904038986, 7115422212,
26668376994
A simple recurrence
Réf.
IC 16 351 70.
H I S 2 A1559
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N1418
algébrique
(n + 4) a(n) = (- 15/2 n + 4) a(n - 3) + (11/2 n + 12) a(n - 1)
+ (- 4 n + 3) a(n - 2) + (- 2 n + 3) a(n - 4)
2 3 2 2 1/2
1 - 4 z + z + 2 z - (- (- 1 + 4 z) (z + 2 z - 1) )
________________________________________________________
5 6
2 (2 z + z )
1, 4, 15, 54, 193, 690, 2476, 8928, 32358, 117866, 431381, 1585842,
5853849, 21690378, 80650536, 300845232, 1125555054, 4222603968,
15881652606
A.164
Réf.
JRAM 198 61 57.
H I S 2 A1563
Hypergéométrique
H I S 1 N1436
exponentielle
a(n) = (n + 2) a(n-1) + (n - 1) a(n-2)
3F2([1, 1, 1/2], [2, 2], 4 z)
1 + z
________
3
(1 - z)
1, 4, 18, 96, 600, 4320, 35280, 322560, 3265920, 36288000, 439084800,
5748019200, 80951270400, 1220496076800, 19615115520000,
334764638208000
2nd differences of factorial numbers
Réf.
JRAM 198 61 57.
H I S 2 A1564
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1202
Fraction rationnelle
f.g. exponentielle
a(n) = (n + 2) a(n - 1) + (- n + 2) a(n - 2)
2
(1 + z)
_________
3
(1 - z)
1, 3, 14, 78, 504, 3720, 30960, 287280, 2943360, 33022080, 402796800,
5308934400, 75203251200, 1139544806400, 18394619443200,
315149522688000
A.165
3rd differences of factorial numbers
Réf.
JRAM 198 61 57.
H I S 2 A1565
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0793
exponentielle
f.g. exponentielle
a(n) = (3 - n) a(n - 2) + (2 + n) a(n - 1)
2 3 3
- -------- - -------- - ----- + ln(z - 1) - 1
3 2 z - 1
(z - 1) (z - 1)
1, 2, 11, 64, 426, 3216, 27240, 256320, 2656080, 30078720, 369774720,
4906137600, 69894316800, 1064341555200, 17255074636800,
296754903244800
From the solution to a Pellian
Réf.
AMM 56 174 49.
H I S 2 A1570
Approximants de Padé
H I S 1 N2108
Fraction rationnelle
1 - z
_______________
2
1 - 14 z + z
1, 13, 181, 2521, 35113, 489061, 6811741, 94875313, 1321442641,
18405321661, 256353060613, 3570537526921, 49731172316281,
692665874901013
A.166
From the solution to a Pellian
Réf.
AMM 56 175 49.
H I S 2 A1571
Approximants de Padé
H I S 1 N0762
Fraction rationnelle
z (2 - z)
_______________________
2
(1 - z) (1 - 4 z + z )
0, 2, 9, 35, 132, 494, 1845, 6887, 25704, 95930, 358017, 1336139, 4986540,
18610022, 69453549, 259204175, 967363152, 3610248434, 13473630585,
50284273907
Winning moves in Fibonacci nim
Réf.
FQ 3 62 65.
H I S 2 A1581
Approximants de Padé
H I S 1 N1359
Fraction rationnelle
5 3 2
(1 + z) (3 z + 2 z + z + z + 2)
__________________________________________
6 5 4 3 2 2
(z + z + z + z + z + z + 1) (z - 1)
4, 10, 14, 20, 24, 30, 36, 40, 46, 50, 56, 60, 66, 72, 76, 82, 86, 92, 96, 102,
108, 112, 118, 122, 128, 132, 138, 150, 160, 169, 176, 186, 192, 196, 202,
206, 212, 218, 222
A.167
Product of Fibonacci and Pell numbers
Réf.
FQ 3 213 65.
H I S 2 A1582
Approximants de Padé
H I S 1 N0779
Fraction rationnelle
(1 - z) (1 + z)
____________________________
2 3 4
1 - 2 z - 7 z - 2 z + z
1, 2, 10, 36, 145, 560, 2197, 8568, 33490, 130790, 510949, 1995840,
7796413, 30454814, 118965250, 464711184, 1815292333, 7091038640,
27699580729
A generalized Fibonacci sequence
Réf.
FQ 4 244 66.
H I S 2 A1584
Approximants de Padé
H I S 1 N0080
Fraction rationnelle
2 2
(z - 1) (z + z + 1)
____________________________
4 3 4 3
(z - z + 1) (z + z - 1)
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 7, 7, 8, 12, 12, 16, 21, 21, 31, 37, 38, 58,
65, 71, 106, 114, 135, 191, 201, 257, 341, 359, 485, 605, 652, 904, 1070,
1202, 1664, 1894, 2237, 3029, 3370
A.168
Réf.
FQ 5 288 67.
H I S 2 A1588
Approximants de Padé
H I S 1 N0901
Fraction rationnelle
2
1 + z - 3 z
_____________________
2
(1 - z) (1 - z - z )
1, 3, 3, 5, 7, 11, 17, 27, 43, 69, 111, 179, 289, 467, 755, 1221, 1975, 3195,
5169, 8363, 13531, 21893, 35423, 57315, 92737, 150051, 242787, 392837,
635623, 1028459
Tribonacci numbers
Réf.
FQ 5 211 67.
H I S 2 A1590
Approximants de Padé
H I S 1 N0296
Fraction rationnelle
14 13 12 11
249 z + 249 z + 249 z - 249 z + z - 1
_______________________________________________
3 2
z + z + z - 1
1, 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, 479, 423, 778, 1431, 2632, 4841, 8904,
16377, 30122, 55403, 101902, 187427, 344732, 634061, 1166220, 2145013,
3945294, 7256527
A.169
Pentanacci numbers
Réf.
FQ 5 260 67.
H I S 2 A1591
Approximants de Padé
H I S 1 N0429
Fraction rationnelle
1
__________________________
2 3 4 5
1 - z - z - z - z - z
1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, 26784,
52656, 103519, 203513, 400096, 786568, 1546352, 3040048, 5976577,
11749641
Hexanacci numbers
Réf.
FQ 5 260 67.
H I S 2 A1592
Approximants de Padé
H I S 1 N0431
Fraction rationnelle
1
________________________________
2 3 4 5 6
1 - z - z - z - z - z - z
1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, 29970,
59448, 117920, 233904, 463968, 920319, 1825529, 3621088, 7182728,
14247536
A.170
Réf.
FQ 8 267 70.
H I S 2 A1595
Approximants de Padé
H I S 1 N0974
Fraction rationnelle
2
1 - z + z
_____________________
2
(1 - z) (1 - z - z )
1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167,
8361, 13529, 21891, 35421, 57313, 92735, 150049, 242785, 392835, 635621,
1028457
Related to factors of Fibonacci numbers
Réf.
JA66 20.
H I S 2 A1603
Approximants de Padé
H I S 1 N2051
Fraction rationnelle
2 4
1 + 13 z + z
_____________________________________
2 2
(1 - z) (1 - 3 z + z ) (z - 7 z + 1)
1, 11, 101, 781, 5611, 39161, 270281, 1857451, 12744061, 87382901,
599019851, 4105974961, 28143378001, 192899171531, 1322154751061,
9062194370461
A.171
Related to factors of Fibonacci numbers
Réf.
JA66 20.
H I S 2 A1604
Approximants de Padé
H I S 1 N2042
Fraction rationnelle
2 3 4
11 - 90 z + 173 z - 90 z + 11 z
______________________________________
2 2
(1 - z) (1 - 3 z + z ) (z - 7 z + 1)
11, 31, 151, 911, 5951, 40051, 272611, 1863551, 12760031, 87424711,
599129311, 4106261531, 28144128251, 192901135711, 1322159893351
Réf.
AMM 15 209 08. JA66 90. FQ 6(3) 68 68.
H I S 2 A1608
Approximants de Padé
H I S 1 N0163
Fraction rationnelle
z (2 + 3 z)
____________
2 3
1 - z - z
0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119, 158, 209, 277, 367,
486, 644, 853, 1130, 1497, 1983, 2627, 3480, 4610, 6107, 8090, 10717,
14197, 18807, 24914
A.172
Réf.
JA66 91. FQ 6(3) 68 68.
H I S 2 A1609
Approximants de Padé
H I S 1 N1308
Fraction rationnelle
2
1 + 3 z
____________
3
1 - z - z
1, 1, 4, 5, 6, 10, 15, 21, 31, 46, 67, 98, 144, 211, 309, 453, 664, 973, 1426,
2090, 3063, 4489, 6579, 9642, 14131, 20710, 30352, 44483, 65193, 95545,
140028, 205221
Réf.
JA66 96. MOC 15 397 71.
H I S 2 A1610
Approximants de Padé
H I S 1 N0291
Fraction rationnelle
z (z - 2)
____________________
2
(z - 1) (1 - z - z )
0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777,
9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, 271442, 439203,
710646, 1149850
A.173
Fibonacci numbers + 1
Réf.
JA66 97.
H I S 2 A1611
Approximants de Padé
H I S 1 N0103
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z
____________________
2
(z - 1) (1 - z - z )
1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585,
4182, 6766, 10947, 17712, 28658, 46369, 75026, 121394, 196419, 317812,
514230, 832041
Réf.
JA66 97.
H I S 2 A1612
Approximants de Padé
H I S 1 N0364
Fraction rationnelle
2
3 z - 2
____________________
2
(z - 1) (1 - z - z )
2, 4, 5, 8, 12, 19, 30, 48, 77, 124, 200, 323, 522, 844, 1365, 2208, 3572, 5779,
9350, 15128, 24477, 39604, 64080, 103683, 167762, 271444, 439205,
710648, 1149852
A.174
Convolved Fibonacci numbers
Réf.
RCI 101. FQ 15 118 77.
H I S 2 A1628
Approximants de Padé
H I S 1 N1124
Fraction rationnelle
1
_______________
2 3
(1 - z - z )
1, 3, 9, 22, 51, 111, 233, 474, 942, 1836, 3522, 6666, 12473, 23109, 42447,
77378, 140109, 252177, 451441, 804228, 1426380, 2519640, 4434420,
7777860
Convolved Fibonacci numbers
Réf.
RCI 101. FQ 15 118 77.
H I S 2 A1629
Approximants de Padé
H I S 1 N0537
Fraction rationnelle
1
_______________
2 2
(1 - z - z )
1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, 130, 235, 420, 744, 1308, 2285, 3970, 6865, 11822,
20284, 34690, 59155, 100610, 170711, 289032, 488400, 823800, 1387225,
2332418, 3916061
A.175
Tetranacci numbers
Réf.
FQ 8 7 70.
H I S 2 A1630
Approximants de Padé
H I S 1 N0301
Fraction rationnelle
z (1 + z)
______________________
2 3 4
1 - z - z - z - z
0, 0, 1, 2, 3, 6, 12, 23, 44, 85, 164, 316, 609, 1174, 2263, 4362, 8408, 16207,
31240, 60217, 116072, 223736, 431265, 831290, 1602363, 3088654,
5953572, 11475879
Tetranacci numbers
Réf.
FQ 8 7 70.
H I S 2 A1631
Approximants de Padé
H I S 1 N0410
Fraction rationnelle
1 - z
_____________________
2 3 4
1 - z - z - z - z
1, 0, 1, 2, 4, 7, 14, 27, 52, 100, 193, 372, 717, 1382, 2664, 5135, 9898, 19079,
36776, 70888, 136641, 263384, 507689, 978602, 1886316, 3635991,
7008598, 13509507
A.176
Réf.
IDM 8 64 01. FQ 6(3) 68 68.
H I S 2 A1634
Approximants de Padé
H I S 1 N0281
Fraction rationnelle
2
z (2 + 3 z + 4 z )
___________________
3
(1 + z) (1 - z - z )
0, 2, 3, 6, 5, 11, 14, 22, 30, 47, 66, 99, 143, 212, 308, 454, 663, 974, 1425,
2091, 3062, 4490, 6578, 9643, 14130, 20711, 30351, 44484, 65192, 95546,
140027, 205222
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 68 68.
H I S 2 A1635
Approximants de Padé
H I S 1 N0289
Fraction rationnelle
2 3
z (2 + 3 z + 4 z + 5 z )
___________________________
2 3 4 5
1 - z - z - z - z
0, 2, 3, 6, 10, 11, 21, 30, 48, 72, 110, 171, 260, 401, 613, 942, 1445, 2216,
3401, 5216, 8004, 12278, 18837, 28899, 44335, 68018, 104349, 160089,
245601, 376791
A.177
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 68 68.
H I S 2 A1636
Approximants de Padé
H I S 1 N0290
Fraction rationnelle
2 3 4
z (2 + 3 z + 4 z + 5 z + 6 z )
________________________________
5 3
(z - 1) (z + z + z - 1)
0, 2, 3, 6, 10, 17, 21, 38, 57, 92, 143, 225, 351, 555, 868, 1366, 2142, 3365,
5282, 8296, 13023, 20451, 32108, 50417, 79160, 124295, 195159, 306431,
481139, 755462
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 68 68.
H I S 2 A1638
Approximants de Padé
H I S 1 N1348
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (4 z - z + 1)
_______________________
2 2
(1 - z - z ) (1 + z )
1, 1, 4, 9, 11, 16, 29, 49, 76, 121, 199, 324, 521, 841, 1364, 2209, 3571, 5776,
9349, 15129, 24476, 39601, 64079, 103684, 167761, 271441, 439204,
710649, 1149851
A.178
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 68 68.
H I S 2 A1639
Approximants de Padé
H I S 1 N1349
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + 3 z + 4 z + 5 z
________________________
3 4 5
1 - z - z - z - z
1, 1, 4, 9, 16, 22, 36, 65, 112, 186, 309, 522, 885, 1492, 2509, 4225, 7124,
12010, 20236, 34094, 57453, 96823, 163163, 274946, 463316, 780755,
1315687, 2217112
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 68 68.
H I S 2 A1640
Approximants de Padé
H I S 1 N1352
Fraction rationnelle
2 3 4 5
1 + 3 z + 4 z + 5 z + 6 z
______________________________
3 4 5 6
1 - z - z - z - z - z
1, 1, 4, 9, 16, 28, 43, 73, 130, 226, 386, 660, 1132, 1947, 3349, 5753, 9878,
16966, 29147, 50074, 86020, 147764, 253829, 436036, 749041, 1286728,
2210377, 3797047
A.179
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 69 68.
H I S 2 A1641
Approximants de Padé
H I S 1 N0935
Fraction rationnelle
3
1 + 2 z + 4 z
___________________________
3 2
(1 + z) (z - z + 2 z - 1)
1, 3, 4, 11, 16, 30, 50, 91, 157, 278, 485, 854, 1496, 2628, 4609, 8091, 14196,
24915, 43720, 76726, 134642, 236283, 414645, 727654, 1276941, 2240878,
3932464
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 69 68.
H I S 2 A1642
Approximants de Padé
H I S 1 N0937
Fraction rationnelle
3 2
(1 + z) (5 z - z + z + 1)
____________________________
2 4 5
1 - z - z - z - z
1, 3, 4, 11, 21, 36, 64, 115, 211, 383, 694, 1256, 2276, 4126, 7479, 13555,
24566, 44523, 80694, 146251, 265066, 480406, 870689, 1578040, 2860046,
5183558, 9394699
A.180
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 69 68.
H I S 2 A1643
Approximants de Padé
H I S 1 N0938
Fraction rationnelle
3 4 5
1 + 2 z + 4 z + 5 z + 6 z
______________________________________
2 3 2
(1 + z) (1 - z - z - z ) (1 - z + z )
1, 3, 4, 11, 21, 42, 71, 131, 238, 443, 815, 1502, 2757, 5071, 9324, 17155,
31553, 58038, 106743, 196331, 361106, 664183, 1221623, 2246918,
4132721, 7601259
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 69 68.
H I S 2 A1644
Approximants de Padé
H I S 1 N1040
Fraction rationnelle
2
1 + 2 z + 3 z
__________________
2 3
1 - z - z - z
1, 3, 7, 11, 21, 39, 71, 131, 241, 443, 815, 1499, 2757, 5071, 9327, 17155,
31553, 58035, 106743, 196331, 361109, 664183, 1221623, 2246915,
4132721, 7601259
A.181
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 69 68.
H I S 2 A1645
Approximants de Padé
H I S 1 N1041
Fraction rationnelle
2 4
1 + 2 z + 3 z + 5 z
_______________________
2 3 5
1 - z - z - z - z
1, 3, 7, 11, 26, 45, 85, 163, 304, 578, 1090, 2057, 3888, 7339, 13862, 26179,
49437, 93366, 176321, 332986, 628852, 1187596, 2242800, 4235569,
7998951
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 70 68.
H I S 2 A1648
Approximants de Padé
H I S 1 N1055
Fraction rationnelle
2 3
1 + 2 z + 3 z + 4 z
________________________
2 3 4
1 - z - z - z - z
1, 3, 7, 15, 26, 51, 99, 191, 367, 708, 1365, 2631, 5071, 9775, 18842, 36319,
70007, 134943, 260111, 501380, 966441, 1862875, 3590807, 6921503,
13341626
A.182
A Fielder sequence
Réf.
FQ 6(3) 70 68.
H I S 2 A1649
Approximants de Padé
H I S 1 N1056
Fraction rationnelle
2 3 5
1 + 2 z + 3 z + 4 z + 6 z
______________________________
2 3 4 6
1 - z - z - z - z - z
1, 3, 7, 15, 26, 57, 106, 207, 403, 788, 1530, 2985, 5812, 11322, 22052,
42959, 83675, 162993, 317491, 618440, 1204651, 2346534, 4570791,
8903409, 17342876
Réf.
FQ 6(3) 261 68.
H I S 2 A1651
Approximants de Padé
H I S 1 N0357
Fraction rationnelle
2
z + z + 1
_________________
2
(1 + z) (z - 1)
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34,
35, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 64, 65,
67, 68, 70, 71
A.183
Pythagorean triangles
Réf.
MLG 2 322 10. FQ 6(3) 104 68.
H I S 2 A1652
Approximants de Padé
H I S 1 N1247
Fraction rationnelle
z (z - 3)
______________________
2
(z - 1) (z - 6 z + 1)
0, 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, 27304196,
159140519, 927538920, 5406093003, 31509019100, 183648021599,
1070379110496
Réf.
AMM 4 25 1897. MLG 2 322 10. FQ 6(3) 104 68.
H I S 2 A1653
Approximants de Padé
H I S 1 N1630
Fraction rationnelle
1 - 5 z
______________
2
z - 6 z + 1
1, 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109, 38613965,
225058681, 1311738121, 7645370045, 44560482149, 259717522849,
1513744654945
A.184
Product of successive Fibonacci numbers
Réf.
FQ 6 82 68. BR72 17.
H I S 2 A1654
Approximants de Padé
H I S 1 N0628
Fraction rationnelle
1
_____________________
2
(1 + z) (1 - 3 z + z )
1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, 714, 1870, 4895, 12816, 33552, 87841, 229970,
602070, 1576239, 4126648, 10803704, 28284465, 74049690, 193864606,
507544127
Fibonomial coefficients
Réf.
FQ 6 82 68. BR72 74.
H I S 2 A1655
Approximants de Padé
H I S 1 N1208
Fraction rationnelle
1
______________________________
2 2
(z - z - 1) (- 1 + 4 z + z )
1, 3, 15, 60, 260, 1092, 4641, 19635, 83215, 352440, 1493064, 6324552,
26791505, 113490195, 480752895, 2036500788, 8626757644, 36543528780
A.185
Fibonomial coefficients
Réf.
FQ 6 82 68. BR72 74.
H I S 2 A1656
Approximants de Padé
H I S 1 N1653
Fraction rationnelle
1
_____________________________________
2 2
(1 - z) (z - 7 z + 1) (z + 3 z + 1)
1, 5, 40, 260, 1820, 12376, 85085, 582505, 3994320, 27372840, 187628376,
1285992240, 8814405145, 60414613805, 41408893560, 2838203264876,
19453338487220
Fibonomial coefficients
Réf.
FQ 6 82 68. BR72 74.
H I S 2 A1657
Approximants de Padé
H I S 1 N1945
Fraction rationnelle
1
___________________________________________
2 2 2
(z + 11 z - 1) (z - 4 z - 1) (1 - z - z )
1, 8, 104, 1092, 12376, 136136, 1514513, 16776144, 186135312,
2063912136, 22890661872, 253854868176, 2815321003313,
31222272414424, 34620798314872
A.186
Fibonomial coefficients
Réf.
FQ 6 82 68. BR72 74.
H I S 2 A1658
Approximants de Padé
H I S 1 N2112
Fraction rationnelle
1
_____________________________________________________
2 2 2
(z + 1) (z - 18 z + 1) (z - 3 z + 1) (z + 7 z + 1)
1, 13, 273, 4641, 85085, 1514513, 27261234, 488605194, 8771626578,
157373300370, 2824135408458, 50675778059634, 909348684070099
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45. PRV A32 2342 85.
H I S 2 A1669
Recoupements
H I S 1 N1879
exponentielle
exp(exp(exp(exp(exp(exp(exp(z) - 1) - 1) - 1) - 1) - 1) - 1)
1, 1, 7, 70, 910, 14532, 274778, 5995892, 148154860, 4085619622,
124304629050, 4133867297490, 149114120602860, 5796433459664946,
241482353893283349
A.187
The partition function G(n,3)
Réf.
CMB 1 87 58.
H I S 2 A1680
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0579
exponentielle
2 a(n) = (n^2 - 5 n + 6) a(n - 3) + 2 a(n - 1) + (2 n - 4) a(n - 2)
2 3
exp(z + 1/2 z + 1/6 z )
1, 1, 2, 5, 14, 46, 166, 652, 2780, 12644, 61136, 312676, 1680592, 9467680,
55704104, 341185496, 2170853456, 14314313872, 97620050080,
687418278544
The partition function G(n,4)
Réf.
CMB 1 87 58.
H I S 2 A1681
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0584
exponentielle
6 a(n) = (6 n - 12) a(n - 2) + 6 a(n - 1) + (3 n^2 - 15 n + 18) a(n - 3)
+ (n^3 - 9 n^2 + 26 n - 24) a(n - 4)
2 3 4
exp(z + 1/2 z + 1/6 z + 1/24 z )
1, 1, 2, 5, 15, 51, 196, 827, 3795, 18755, 99146, 556711, 3305017, 20655285,
135399720, 927973061, 6631556521, 49294051497, 380306658250,
3039453750685
A.188
Réf.
MMAG 41 17 68.
H I S 2 A1687
Approximants de Padé
H I S 1 N0338
Fraction rationnelle
z
____________
2 5
1 - z - z
0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 4, 5, 7, 7, 11, 11, 16, 18, 23, 29, 34, 45, 52,
68, 81, 102, 126, 154, 194, 235, 296, 361, 450, 555, 685, 851, 1046, 1301,
1601, 1986, 2452, 3032, 3753, 4633
4th differences of factorial numbers
Réf.
JRAM 198 61 57.
H I S 2 A1688
Dérivée
Suite P-récurrente
H I S 1 N1980
exponentielle
a(n) = (3 + n) a(n - 1) + (3 - n) a(n - 2)
2
2 z (2 z + 3 z - 4)
_____________________ - ln(- z + 1) + 1
4
(1 - z)
1, 9, 53, 362, 2790, 24024, 229080, 2399760, 27422640, 339696000,
4536362880, 64988179200, 994447238400, 16190733081600,
279499828608000
A.189
5th differences of factorial numbers
Réf.
JRAM 198 61 57.
H I S 2 A1689
Dérivée
Suite P-récurrente
H I S 1 N1920
exponentielle
a(n) = (4 + n) a(n - 1) + (3 - n) a(n - 2)
4 3 2
5 z - 10 z + 20 z + 9
ln(1 - z) + ------------------------ - 1
5
(1 - z)
8, 44, 309, 2428, 21234, 205056, 2170680, 25022880, 312273360,
4196666880, 60451816320, 929459059200, 15196285843200,
263309095526400
Réf.
RS3.
H I S 2 A1700
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1144
algébrique
2F1([1, 3/2], [2], 4 z)
1/2
- 1 + 4 z + (1 - 4 z)
__________________________
2 (1 - 4 z)
1, 3, 10, 35, 126, 462, 1716, 6435, 24310, 92378, 352716, 1352078, 5200300,
20058300, 77558760, 300540195, 1166803110, 4537567650, 17672631900
A.190
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 7 62.
H I S 2 A1701
Approximants de Padé
H I S 1 N1735
Fraction rationnelle
2 3 4 5
1 - z - 6 z + 9 z - 5 z + z
_________________________________
5
(1 - z)
1, 6, 26, 71, 155, 295, 511, 826, 1266, 1860, 2640, 3641, 4901, 6461, 8365,
10660, 13396, 16626, 20406, 24795, 29855, 35651, 42251, 49726, 58150,
67600, 78156
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 7 62.
H I S 2 A1702
Approximants de Padé
H I S 1 N2234
Fraction rationnelle
2 3 4 5 6 7
1 - 17 z - 7 z + 29 z - 34 z + 21 z - 7 z + z
_______________________________________________________
7
(1 - z)
1, 24, 154, 580, 1665, 4025, 8624, 16884, 30810, 53130, 87450, 138424,
211939, 315315, 457520, 649400, 903924, 1236444, 1664970, 2210460,
2897125, 3752749
A.191
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 7 62.
H I S 2 A1705
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N1625
exponentielle (log)
a(n) = (1 + 2 n) a(n - 1) - n^2 a(n - 2)
- ln(- z + 1)
_____________
2
(1 - z)
1, 5, 26, 154, 1044, 8028, 69264, 663696, 6999840, 80627040, 1007441280,
13575738240, 196287356160, 3031488633600, 49811492505600
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 7 62.
H I S 2 A1706
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N1988
exponentielle (log)
a(n) = (3 n^2 + 3 n^3 ) a(n - 1) + (- 3 n^2 - 3 n^3 - n ) a(n - 2) + a(n - 3)
2
ln(1 - z)
___________
2
(1 - z)
1, 9, 71, 580, 5104, 48860, 509004, 5753736, 70290936, 924118272,
13020978816, 195869441664, 3134328981120, 53180752331520,
953884282141440
A.192
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 7 62.
H I S 2 A1707
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2119
exponentielle (log)
3
ln(1 - z)
___________
2
6 (z - 1)
1, 14, 155, 1665, 18424, 214676, 2655764, 34967140, 489896616,
7292774280, 115119818736, 1922666722704, 33896996544384,
629429693586048
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 7 62.
H I S 2 A1708
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2206
exponentielle (log)
4
ln(1 - z)
____________
2
24 (1 - z)
1, 20, 295, 4025, 54649, 761166, 11028590, 167310220, 2664929476,
44601786944, 784146622896, 14469012689040, 279870212258064,
5667093514231200
A.193
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 7 62.
H I S 2 A1709
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2259
exponentielle (log)
5
ln(1 - z)
_____________
2
120 (z - 1)
1, 27, 511, 8624, 140889, 2310945, 38759930, 671189310, 12061579816,
225525484184, 4392554369840, 89142436976320, 1884434077831824
Réf.
PEF 77 26 62.
H I S 2 A1710
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1 N1179
Fraction rationnelle
1
_______
3
(1 - z)
1, 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400, 19958400, 239500800,
3113510400, 43589145600, 653837184000, 10461394944000,
177843714048000
A.194
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 26 62.
H I S 2 A1711
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N1873
exponentielle
a(n) = -(n^2 + 2 n + 1) a(n - 2) + (2 n + 3) a(n - 1)
- ln(1 - z)
___________
3
(1 - z)
1, 7, 47, 342, 2754, 24552, 241128, 2592720, 30334320, 383970240,
5231113920, 76349105280, 1188825724800, 19675048780800,
344937224217600
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 26 62.
H I S 2 A1712
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2077
exponentielle (log)
a(n) = (3 n^2 + 6 n^3 ) a(n - 1) - ( 3 n + 9 n^2 + 7 n^3 ) a(n - 2)
+ (1 + 3 n + 3 n^2 + n^3 ) a(n - 3)
2
ln(1 - z)
___________
3
2 (1 - z)
1, 12, 119, 1175, 12154, 133938, 1580508, 19978308, 270074016,
3894932448, 59760168192, 972751628160, 16752851775360,
304473528961920
A.195
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 26 62.
H I S 2 A1713
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2190
exponentielle
3
ln(1 - z)
___________
3
6 (z - 1)
1, 18, 245, 3135, 40369, 537628, 7494416, 109911300, 1698920916,
27679825272, 474957547272, 8572072384512, 162478082312064,
3229079010579072
Réf.
PEF 77 26 62.
H I S 2 A1714
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2252
exponentielle
4
ln(1 - z)
_____________
3
24 (1 - z)
1, 25, 445, 7140, 111769, 1767087, 28699460, 483004280, 8460980836,
154594537812, 2948470152264, 58696064973000, 1219007251826064
A.196
Réf.
PEF 77 44 62.
H I S 2 A1715
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1 N1445
Fraction rationnelle
1
_________
4
(z - 1)
1, 4, 20, 120, 840, 6720, 60480, 604800, 6652800, 79833600, 1037836800,
14529715200, 217945728000, 3487131648000, 59281238016000
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 44 62.
H I S 2 A1716
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N1990
exponentielle
a(n) = - ( n^2 + 4 n + 4) a(n - 2) + (2 n + 5) a(n - 1)
4 ln(1 - z) - 1
________________
5
(1 - z)
1, 9, 74, 638, 5944, 60216, 662640, 7893840, 101378880, 1397759040,
20606463360, 323626665600, 5395972377600, 95218662067200,
1773217155225600
A.197
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 44 62.
H I S 2 A1717
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2143
exponentielle
Formule de B. Salvy
a(n) = - ( 9 n^3 + 3 n^2 ) a(n - 1) + (19 n^3 + 15 n^2 + 3 n) a(n - 2)
- ( 8 n^3 + 12 n^2 + 6 n + 1) a(n - 3)
2
10 ln(1 - z) - 9 ln(1 - z) + 1
____________________________________
6
(1 - z)
1, 15, 179, 2070, 24574, 305956, 4028156, 56231712, 832391136,
13051234944, 216374987520, 3785626465920, 69751622298240,
1350747863435520
Réf.
PEF 77 61 62.
H I S 2 A1720
Approximants de Padé
f.g. exponentielle
H I S 1 N1634
Fraction rationnelle
1
________
5
(1 - z)
1, 5, 30, 210, 1680, 15120, 151200, 1663200, 19958400, 259459200,
3632428800, 54486432000, 871782912000, 14820309504000,
266765571072000
A.198
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 61 62.
H I S 2 A1721
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2052
exponentielle
a(n) = (2 n + 7) a(n - 1) - (n^2 + 6 n + 9) a(n - 2)
1 - 5 ln(1 - z)
________________
6
(z - 1)
1, 11, 107, 1066, 11274, 127860, 1557660, 20355120, 284574960,
4243508640, 67285058400, 1131047366400, 20099588140800,
376612896038400
Generalized Stirling numbers
Réf.
PEF 77 61 62.
H I S 2 A1722
Tableaux généralisés
Suite P-récurrente
H I S 1 N2191
exponentielle:log
a(n) = (3n + 12) a(n-1) - (3 n^2 - 21 n - 37) a(n-2)
+ (n^3 + 9 n^2 + 27 n + 27) a(n-3)
2
1 + 15 ln(1 - z) - 11 ln(1 - z)
__________________________________
7
(1 - z)
1, 18, 251, 3325, 44524, 617624, 8969148, 136954044, 2201931576,
37272482280, 663644774880, 12413008539360, 243533741849280,
5003753991174720
A.199
Réf.
PEF 107 5 63.
H I S 2 A1725
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1 N1772
Fraction rationnelle
1
________
6
(1 - z)
1, 6, 42, 336, 3024, 30240, 332640, 3991680, 51891840, 726485760,
10897286400, 174356582400, 2964061900800, 53353114214400,
1013709170073600
Réf.
PEF 107 19 63.
H I S 2 A1730
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1 N1876
Fraction rationnelle
1
________
7
(1 - z)
1, 7, 56, 504, 5040, 55440, 665280, 8648640, 121080960, 1816214400,
29059430400, 494010316800, 8892185702400, 168951528345600,
3379030566912000
A.200
Lah numbers
Réf.
R1 44. C1 156.
H I S 2 A1754
Dérivée logarithmique
H I S 1 N2079
Fraction rationnelle
2
3 z + 6 z + 1
________________
6
(z - 1)
1, 12, 120, 1200, 12600, 141120, 1693440, 21772800, 299376000,
4390848000, 68497228800, 1133317785600, 19833061248000,
366148823040000
Lah numbers
Réf.
R1 44. C1 156.
H I S 2 A1755
Dérivée logarithmique
H I S 1 N2207
Fraction rationnelle
3 2
4 z + 18 z + 12 z + 1
________________________
8
(z - 1)
1, 20, 300, 4200, 58800, 846720, 12700800, 199584000, 3293136000,
57081024000, 1038874636800, 19833061248000, 396661224960000
A.201
Expansion of an integral
Réf.
C1 167.
H I S 2 A1756
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2131
algébrique
f.g. exponentielle
2
15 z (2 - 6 z + 5 z )
_______________________
5/2
2 (1 - 2 z)
15, 60, 450, 4500, 55125, 793800, 13097700
Dissections of a disk
Réf.
CMA 2 25 70. MAN 191 98 71.
H I S 2 A1761
Hypergéométrique
Inverse fonctionnel de A1561
H I S 1 N1478
algébrique
Suite P-récurrente.
3F2([1, 1, 1/2],[2, 2],4 z)
n a(n) = 2 (n - 1) (2 n - 3) a(n - 1)
1/2
1 - (1 - 4 z)
_________________
2 z
1, 1, 4, 30, 336, 5040, 95040, 2162160, 57657600
A.202
Dissections of a ball
Réf.
CMA 2 25 70. MAN 191 98 71.
H I S 2 A1763
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1 N1788
algébrique 3è degré
S(z) est l'inverse de
z
_________
3
(1 + z)
1, 1, 6, 72, 1320, 32760, 1028160, 39070080
Binomial coefficients C(3n,n-1)/n
Réf.
CMA 2 25 70. MAN 191 98 71. FQ 11 125 73. DM 9 355 74.
H I S 2 A1764
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1174
algébrique 3è degré
f.g. exponentielle
3F2 ([1, 5/3, 4/3],[2, 5/2], 27 z /4)
S(z) est racine
de
2 2 3 3
1 - S(z) + 3 S(z) z + 3 S(z) z + S(z) z
1, 3, 12, 55, 273, 1428, 7752, 43263, 246675, 1430715, 8414640, 50067108,
300830572, 1822766520, 11124755664, 68328754959, 422030545335,
2619631042665
A.203
Coefficients of iterated exponentials
Réf.
SMA 11 353 45. PRV A32 2342 85.
H I S 2 A1765
Recoupements
H I S 1 N1882
exponentielle
-ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 + ln(1 - z)))))))+1
1, 1, 7, 77, 1155, 21973, 506989, 13761937, 429853851, 15192078027,
599551077881, 26140497946017, 1248134313062231, 64783855286002573
Number of comparisons for merge sort of n elements
Réf.
AMM 66 389 59. WE71 207. KN1 3 187.
H I S 2 A1768
Approximants de Padé
H I S 1 N0954
Fraction rationnelle
6 3 2
(z + 1) (z - z + z + 1) (z - z + 1)
_________________________________________
2
(z - 1)
0, 1, 3, 5, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 71,
76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126
A.204
Lah numbers
Réf.
R1 44. C1 156.
H I S 2 A1777
Dérivée logarithmique
H I S 1 N2267
exponentielle
4 3 2
5 z + 40 z + 60 z + 20 z + 1
_______________________________
10
(z - 1)
1, 30, 630, 11760, 211680, 3810240, 69854400, 1317254400, 25686460800,
519437318400, 10908183686400, 237996734976000, 5394592659456000
Lah numbers
Réf.
R1 44. C1 156.
H I S 2 A1778
Dérivée logarithmique
H I S 1 N2297
exponentielle
5 4 3 2
6 z + 75 z + 200 z + 150 z + 30 z + 1
_________________________________________
12
(z - 1)
1, 42, 1176, 28224, 635040, 13970880, 307359360, 6849722880,
155831195520, 3636061228800, 87265469491200, 2157837063782400,
55024845126451200
A.205
Réf.
PRSE 62 190 46. BIO 46 422 59. AS1 796.
H I S 2 A1787
Approximants de Padé
H I S 1 N1398
Fraction rationnelle
1
__________
2
(1 - 2 z)
1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, 5120, 11264, 24576, 53248, 114688,
245760, 524288, 1114112, 2359296, 4980736, 10485760, 22020096,
46137344
Réf.
PRSE 62 190 46. AS1 796. MFM 74 62 70.
H I S 2 A1788
Approximants de Padé
H I S 1 N1729
Fraction rationnelle
1
__________
3
(1 - 2 z)
1, 6, 24, 80, 240, 672, 1792, 4608, 11520, 28160, 67584, 159744, 372736,
860160, 1966080, 4456448, 10027008, 22413312, 49807360, 110100480,
242221056
A.206
Réf.
PRSE 62 190 46. AS1 796. MFM 74 62 70.
H I S 2 A1789
Approximants de Padé
H I S 1 N1916
Fraction rationnelle
1
__________
4
(1 - 2 z)
1, 8, 40, 160, 560, 1792, 5376, 15360, 42240, 112640, 292864, 745472,
1863680, 4587520, 11141120, 26738688, 63504384, 149422080, 348651520,
807403520
Binomial coefficients C(2n,n-1)
Réf.
LA56 517. AS1 828. PLC 1 292 70.
H I S 2 A1791
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1421
algébrique
4 z
________________________________
1/2 1/2 2
(1 - 4 z) (1 + (1 - 4 z) )
1, 4, 15, 56, 210, 792, 3003, 11440, 43758, 167960, 646646, 2496144,
9657700, 37442160, 145422675, 565722720, 2203961430, 8597496600,
33578000610
A.207
Réf.
PRSE 62 190 46. AS1 795.
H I S 2 A1792
Approximants de Padé
H I S 1 N1100
Fraction rationnelle
4 z - 3
__________
2
(1 - 2 z)
3, 8, 20, 48, 112, 256, 576, 1280, 2816, 6144, 13312, 28672, 61440, 131072,
278528, 589824, 1245184, 2621440, 5505024, 11534336, 24117248,
50331648
Coefficients of Chebyshev polynomials
Réf.
PRSE 62 190 46. AS1 795.
H I S 2 A1793
Approximants de Padé
H I S 1 N1591
Fraction rationnelle
1 - z
___________
3
(1 - 2 z)
1, 5, 18, 56, 160, 432, 1120, 2816, 6912, 16640, 39424, 92160, 212992,
487424, 1105920, 2490368, 5570560
A.208
Coefficients of Chebyshev polynomials
Réf.
PRSE 62 190 46. AS1 795.
H I S 2 A1794
Approximants de Padé
H I S 1 N1859
Fraction rationnelle
1 - z
___________
4
(1 - 2 z)
1, 7, 32, 120, 400, 1232, 3584, 9984, 26880, 70400, 180224, 452608,
1118208, 2723840, 6553600
Réf.
AS1 799.
H I S 2 A1804
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0834
exponentielle
a(n) = (n + 7) a(n-1) - (4 n + 6) a(n-2) + (2 n - 2) a(n-3)
z (z + 2)
_________
4
(1 - z)
2, 18, 144, 1200, 10800, 105840, 1128960, 13063680, 163296000,
2195424000, 31614105600, 485707622400, 7933224499200,
137305808640000, 2510734786560000
A.209
Coefficients of Laguerre polynomials
Réf.
AS1 799.
H I S 2 A1805
Hypergéométrique
f.g. exponentielle
H I S 1 N1794
Fraction rationnelle
2
2 z (z + 6 z + 3)
__________________
6
(z - 1)
6, 96, 1200, 14400, 176400, 2257920, 30481920, 435456000, 6586272000,
105380352000
Coefficients of Laguerre polynomials
Réf.
AS1 799.
H I S 2 A1806
Hypergéométrique
f.g. exponentielle
H I S 1 N2242
Fraction rationnelle
2 3
6 z (4 + 18 z + 12 z + z )
___________________________
8
(z - 1)
24, 600, 10800, 176400, 2822400, 45722880, 762048000, 13172544000,
237105792000
A.210
Coefficients of Laguerre polynomials
Réf.
AS1 799.
H I S 2 A1807
Hypergéométrique
f.g. exponentielle
H I S 1 N2337
Fraction rationnelle
2 3 4
24 (5 + 40 z + 60 z + 20 z + z ) z
____________________________________
10
(z - 1)
120, 4320, 105840, 2257920, 45722880, 914457600, 18441561600,
379369267200
Coefficients of Laguerre polynomials
Réf.
LA56 519. AS1 799.
H I S 2 A1809
Hypergéométrique
f.g. exponentielle
H I S 1 N1989
Fraction rationnelle
z (2 + z)
___________
4
2 (z - 1)
1, 9, 72, 600, 5400, 52920, 564480, 6531840, 81648000, 1097712000,
15807052800
A.211
Coefficients of Laguerre polynomials
Réf.
LA56 519. AS1 799.
H I S 2 A1810
Hypergéométrique
f.g. exponentielle
H I S 1 N2163
Fraction rationnelle
2
(z + 6 z + 3) z
________________
6
3 (z - 1)
1, 16, 200, 2400, 29400, 376320, 5080320, 72576000, 1097712000,
17563392000
Coefficients of Laguerre polynomials
Réf.
LA56 519. AS1 799.
H I S 2 A1811
Hypergéométrique
f.g. exponentielle
H I S 1 N2253
Fraction rationnelle
2 3
z (18 z + 4 + 12 z + z )
_________________________
8
4 (z - 1)
1, 25, 450, 7350, 117600, 1905120, 31752000, 548856000, 9879408000
A.212
Coefficients of Laguerre polynomials
Réf.
LA56 519. AS1 799.
H I S 2 A1812
Hypergéométrique
f.g. exponentielle
H I S 1 N2289
Fraction rationnelle
4 2 3
(40 z + z + 60 z + 20 z + 5) z
_________________________________
10
5 (z - 1)
1, 36, 882, 18816, 381024, 7620480, 153679680, 3161410560
Produit des nombres impairs : 1.3.5.7. ... x (2^n)
Réf.
MOC 3 168 48.
H I S 2 A1813
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0808
algébrique
f.g. exponentielle
2 z
________________
1/2
1 + (1 - 4 z)
1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, 17297280, 518918400, 17643225600,
670442572800, 28158588057600, 1295295050649600, 64764752532480000
A.213
Coefficients of Hermite polynomials
Réf.
MOC 3 168 48.
H I S 2 A1814
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2088
algébrique
f.g. exponentielle
(1 + 2 z)
_____________
5/2
(1 - 4 z)
12, 180, 3360, 75600, 1995840, 60540480, 2075673600, 79394515200,
3352212864000, 154872234316800, 7771770303897600,
420970891461120000
Réf.
AS1 801.
H I S 2 A1815
Approximants de Padé
H I S 1 N0799
Fraction rationnelle
2 z
___________
3
(1 - 2 z)
0, 2, 12, 48, 160, 480, 1344, 3584, 9216, 23040, 56320, 135168, 319488,
745472, 1720320, 3932160, 8912896, 20054016, 44826624, 99614720,
220200960, 484442112, 1061158912
A.214
Coefficients of Hermite polynomials
Réf.
AS1 801.
H I S 2 A1816
Approximants de Padé
H I S 1 N2078
Fraction rationnelle
12
___________
5
(1 - 2 z)
12, 120, 720, 3360, 13440, 48384, 161280, 506880, 1520640
Réf.
RCI 217.
H I S 2 A1818
hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1997
intégrales elliptiques
double exponentielle
2F1([1/2, 1/2], [1], 4 z) - 1
1, 9, 225, 11025, 893025, 108056025, 18261468225, 4108830350625,
1187451971330625, 428670161650355625, 189043541287806830625
A.215
Central factorial numbers
Réf.
RCI 217.
H I S 2 A1823
Approximants de Padé
H I S 1 N1998
Fraction rationnelle
2 3 4
9 + 196 z + 350 z + 84 z + z
________________________________
7
(1 - z)
9, 259, 1974, 8778, 28743, 77077, 179452, 375972, 725781, 1312311,
2249170, 3686670, 5818995, 8892009, 13211704, 19153288, 27170913,
37808043
Réf.
EUL (1) 1 375 11. MMAG 40 78 67.
H I S 2 A1834
Approximants de Padé
H I S 1 N1598
Fraction rationnelle
1 + z
____________
2
1 - 4 z + z
1, 5, 19, 71, 265, 989, 3691, 13775, 51409, 191861, 716035, 2672279,
9973081, 37220045, 138907099, 518408351, 1934726305, 7220496869,
26947261171
A.216
Réf.
EUL (1) 1 375 11. MMAG 40 78 67.
H I S 2 A1835
Approximants de Padé
H I S 1 N1160
Fraction rationnelle
1 - 3 z
____________
2
1 - 4 z + z
1, 1, 3, 11, 41, 153, 571, 2131, 7953, 29681, 110771, 413403, 1542841,
5757961, 21489003, 80198051, 299303201, 1117014753, 4168755811,
15558008491
Réf.
TI68 126 (divided by 2).
H I S 2 A1840
Approximants de Padé
H I S 1 N0233
Fraction rationnelle
1
______________________
2 3
(z + z + 1) (1 - z)
1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 15, 18, 22, 26, 30, 35, 40, 45, 51, 57, 63, 70, 77, 84, 92,
100, 108, 117, 126, 135, 145, 155, 165, 176, 187, 198, 210, 222, 234, 247,
260, 273, 287, 301
A.217
Related to Zarankiewicz's problem
Réf.
TI68 126.
H I S 2 A1841
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1 N0977
Fraction rationnelle
4 5 3 2
2 z + z + 2 z + 2 z + 2 z + 3
____________________________________________
2 2 2 3
(1 - z + z ) (z + z + 1) (1 + z) (1 - z)
3, 5, 10, 14, 21, 26, 36, 43, 55, 64, 78, 88, 105, 117, 136, 150, 171, 186, 210,
227, 253, 272, 300, 320, 351, 373, 406, 430, 465, 490, 528, 555, 595, 624,
666, 696, 741
Centered square numbers
Réf.
MMAG 35 162 62. SIAR 12 277 70. INOC 24 4550 85.
H I S 2 A1844
Approximants de Padé
H I S 1 N1567
Fraction rationnelle
2
(1 + z)
_________
3
(1 - z)
1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613,
685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861,
1985, 2113, 2245
A.218
Réf.
SIAR 12 277 70. C1 81.
H I S 2 A1845
Approximants de Padé
H I S 1 N1844
Fraction rationnelle
3
(1 + z)
_________
4
(z - 1)
1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, 3303, 4089,
4991, 6017, 7175, 8473, 9919, 11521, 13287, 15225, 17343, 19649, 22151,
24857, 27775
Réf.
SIAR 12 277 70. C1 81.
H I S 2 A1846
Approximants de Padé
H I S 1 N1974
Fraction rationnelle
4
(1 + z)
_________
5
(z - 1)
1, 9, 41, 129, 321, 681, 1289, 2241, 3649, 5641, 8361, 11969, 16641, 22569,
29961, 39041, 50049, 63241, 78889, 97281, 118721, 143529, 172041,
204609, 241601
A.219
Réf.
SIAR 12 277 70. C1 81.
H I S 2 A1847
Approximants de Padé
H I S 1 N2045
Fraction rationnelle
5
(1 + z)
_________
6
(z - 1)
1, 11, 61, 231, 681, 1683, 3653, 7183, 13073, 22363, 36365, 56695, 85305,
124515, 177045, 246047, 335137, 448427, 590557, 766727, 982729,
1244979, 1560549
Réf.
SIAR 12 277 70. C1 81.
H I S 2 A1848
Approximants de Padé
H I S 1 N2102
Fraction rationnelle
6
(1 + z)
_________
7
(z - 1)
1, 13, 85, 377, 1289, 3653, 8989, 19825, 40081, 75517, 134245, 227305,
369305, 579125, 880685, 1303777, 1884961, 2668525, 3707509, 5064793,
6814249
A.220
Réf.
SIAR 12 277 70. C1 81.
H I S 2 A1849
Approximants de Padé
H I S 1 N2139
Fraction rationnelle
7
(1 + z)
_________
8
(z - 1)
1, 15, 113, 575, 2241, 7183, 19825, 48639, 108545, 224143, 433905, 795455,
1392065, 2340495, 3800305, 5984767, 9173505, 13726991, 20103025,
28875327
Réf.
SIAR 12 277 70.
H I S 2 A1850
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1184
algébrique
∑ C(n,k).C(n+k,k), k=0...n
1
__________________
2 1/2
(1 - 6 z + z )
1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, 1462563, 8097453, 45046719,
251595969, 1409933619, 7923848253, 44642381823, 252055236609,
1425834724419
A.221
Series-reduced planted trees with n nodes, n-3 endpoints
Réf.
jr.
H I S 2 A1859
Approximants de Padé
H I S 1 N0531
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + z + 2 z - z
____________________
3
(1 + z) (1 - z)
1, 2, 5, 10, 16, 24, 33, 44, 56, 70, 85, 102, 120, 140, 161, 184, 208, 234, 261,
290, 320, 352, 385, 420, 456, 494, 533, 574, 616, 660, 705, 752, 800, 850,
901, 954, 1008, 1064, 1121, 1180
Series-reduced planted trees with n nodes, n-4 endpoints
Réf.
jr.
H I S 2 A1860
Approximants de Padé
H I S 1 N1171
Fraction rationnelle
2
3 + 3 z + 2 z
______________________
2 4
(z + z + 1) (z - 1)
3, 12, 29, 57, 99, 157, 234, 333, 456, 606, 786, 998, 1245
A.222
Values of Bell polynomials
Réf.
jr. PSPM 19 173 71.
H I S 2 A1861
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1 N0653
exponentielle
exp(2 exp(z) - 2)
1, 2, 6, 22, 94, 454, 2430, 14214, 89918, 610182, 4412798
Convolved Fibonacci numbers
Réf.
RCI 101. FQ 15 118 77.
H I S 2 A1872
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1413
Fraction rationnelle
1
_____________
2 4
(1 - z - z )
1, 4, 14, 40, 105, 256, 594, 1324, 2860, 6020, 12402, 25088
A.223
Convolved Fibonacci numbers
Réf.
RCI 101. FQ 15 118 77. DM 26 267 79.
H I S 2 A1873
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1600
Fraction rationnelle
1
_____________
2 5
(1 - z - z )
1, 5, 20, 65, 190, 511, 1295, 3130, 7285, 16435, 36122, 77645, 163730,
339535
Convolved Fibonacci numbers
Réf.
RCI 101.
H I S 2 A1874
Dérivée logarithmique
erreurs dans la suite
H I S 1 N1738
Fraction rationnelle
corrigées par la formule
1
_____________
2 6
(1 - z - z )
1, 6, 27, 98, 315, 924, 2534, 6588, 16407, 39430, 91959, 209034, 464723,
1013292, 2171850, 4584620, 9546570, 19635840, 39940460, 80421600,
160437690, 317354740, 622844730, 1213580820
A.224
Convolved Fibonacci numbers
Réf.
RCI 101. DM 26 267 79.
H I S 2 A1875
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1865
Fraction rationnelle
1
_____________
2 7
(1 - z - z )
1, 7, 35, 140, 490, 1554, 4578, 12720, 33705, 85855, 211519
Réf.
RCI 77.
H I S 2 A1879
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1775
algébrique
f.g. exponentielle
a(n) = (2 n + 2) a(n-1) + (-2 n + 3) a(n-2)
z
____________
3/2
(1 - 2 z)
1, 6, 45, 420, 4725, 62370, 945945, 16216200, 310134825, 6547290750,
151242416325, 3794809718700, 102776096548125, 2988412653476250,
92854250304440625
A.225
Coefficients of Bessel polynomials yn (x)
Réf.
RCI 77.
H I S 2 A1880
Tableaux généralisés
f.g. exponentielle
H I S 1 N2146
algébrique
z (2 + z)
_______________
7/2
2 (1 - 2 z)
1, 15, 210, 3150, 51975, 945945, 18918900
Coefficients of Bessel polynomials yn (x)
Réf.
RCI 77.
H I S 2 A1881
Tableaux généralisés
f.g. exponentielle
H I S 1 N2217
algébrique
z (2 + 3 z)
________________
9/2
2 (1 - 2 z)
1, 21, 378, 6930, 135135, 2837835
A.226
Réf.
AMM 72 1024 65.
H I S 2 A1882
Approximants de Padé
H I S 1 N0273
Fraction rationnelle
2 3
2 + 3 z - 3 z - z
_____________________
2 4
1 - 4 z + 2 z
2, 3, 5, 11, 16, 38, 54, 130, 184, 444, 628, 1516, 2144, 5176, 7320, 17672,
24992, 60336, 85328, 206000, 291328, 703328, 994656, 2401312, 3395968,
8198592
Hit polynomials
Réf.
RI63.
H I S 2 A1891
Approximants de Padé
H I S 1 N1365
Fraction rationnelle
z (1 + z)
______________________
2 2
(1 - z - z ) (z - 1)
0, 1, 4, 10, 21, 40, 72, 125, 212
A.227
Bisection of Fibonacci sequence
Réf.
IDM 22 23 15. PLMS 21 729 70. FQ 9 283 71.
H I S 2 A1906
Approximants de Padé
H I S 1 N1101
Fraction rationnelle
1
_____________
2
1 - 3 z + z
1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811,
832040, 2178309, 5702887, 14930352, 39088169, 102334155, 267914296,
701408733
Permutations with no cycles of length 4
Réf.
R1 83.
H I S 2 A1907
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1261
exponentielle
a(n) = (4 n - 5) a(n-1) + (4 n - 8) a(n-2)
1
_________________
( 1 - 4 z) exp(z)
1, 3, 25, 299, 4785, 95699, 2296777, 64309755, 2057912161, 74084837795,
2963393511801, 130389314519243, 6258687096923665,
325451729040030579
A.228
Réf.
R1 83.
H I S 2 A1908
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1500
exponentielle
a(n) = (5 n - 6) a(n-1) + (5 n - 10) a(n-2)
1
_________________
( 1 - 5 z) exp(z)
1, 4, 41, 614, 12281, 307024, 9210721, 322375234, 12895009361,
580275421244, 29013771062201, 1595757408421054, 95745444505263241
Réf.
R1 188.
H I S 2 A1909
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1450
exponentielle
a(n) = (n + 2) a(n-1) + (n - 2) a(n-2)
1
________________
5
(1 - z) exp(z)
0, 1, 4, 21, 134, 1001, 8544, 81901, 870274, 10146321, 128718044,
1764651461, 25992300894, 409295679481, 6860638482424,
121951698034461
A.229
Réf.
R1 188.
H I S 2 A1910
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1637
exponentielle
a(n) = (n + 3) a(n-1) + (n-2) a(n-2)
1
________________
6
(1 - z) exp(z)
0, 1, 5, 31, 227, 1909, 18089, 190435, 2203319, 27772873, 378673901,
5551390471, 87057596075, 1453986832381, 25762467303377,
482626240281739
Réf.
R1 233. LNM 748 151 79.
H I S 2 A1911
Approximants de Padé
H I S 1 N1007
Fraction rationnelle
1 + z
____________________
2
(1 - z) (1 - z - z )
1, 3, 6, 11, 19, 32, 53, 87, 142, 231, 375, 608, 985, 1595, 2582, 4179, 6763,
10944, 17709, 28655, 46366, 75023, 121391, 196416, 317809, 514227,
832038, 1346267
A.230
Quadrinomial coefficients
Réf.
JCT 1 372 66. C1 78.
H I S 2 A1919
Approximants de Padé
H I S 1 N1769
Fraction rationnelle
2
3 z - 8 z + 6
_______________
8
(z - 1)
6, 40, 155, 456, 1128, 2472, 4950, 9240, 16302, 27456, 44473, 69680,
106080, 157488, 228684, 325584, 455430, 627000, 850839, 1139512,
1507880, 1973400, 2556450, 3280680
Réf.
AMM 53 465 46.
H I S 2 A1921
Approximants de Padé
H I S 1 N1885
Fraction rationnelle
z (z - 7)
_______________________
2
(z - 1) (1 - 14 z + z )
0, 7, 104, 1455, 20272, 282359, 3932760, 54776287, 762935264,
10626317415, 148005508552, 2061450802319, 28712305723920,
399910829332567
A.231
Réf.
AMM 53 465 46.
H I S 2 A1922
Approximants de Padé
H I S 1 N1946
Fraction rationnelle
7 z - 1
_______________________
2
(z - 1) (1 - 14 z + z )
1, 8, 105, 1456, 20273, 282360, 3932761, 54776288, 762935265,
10626317416, 148005508553, 2061450802320, 28712305723921,
399910829332568
From rook polynomials
Réf.
SMA 20 18 54.
H I S 2 A1924
Approximants de Padé
H I S 1 N1053
Fraction rationnelle
1
______________________
2 2
(1 - z - z ) (z - 1)
1, 3, 7, 14, 26, 46, 79, 133, 221, 364, 596, 972, 1581, 2567, 4163, 6746,
10926, 17690, 28635, 46345, 75001, 121368, 196392, 317784, 514201,
832011, 1346239
A.232
From rook polynomials
Réf.
SMA 20 18 54.
H I S 2 A1925
Approximants de Padé
H I S 1 N1724
Fraction rationnelle
1 + z
_______________________
2 2 3
(1 - z - z ) (z - 1)
1, 6, 22, 64, 162, 374, 809, 1668, 3316, 6408, 12108, 22468, 41081, 74202,
132666, 235160, 413790, 723530, 1258225, 2177640, 3753096, 6444336,
11028792
From rook polynomials
Réf.
SMA 20 18 54.
H I S 2 A1926
Approximants de Padé
H I S 1 N1978
Fraction rationnelle
2
(1 + z)
_______________________
2 3 4
(1 - z - z ) (z - 1)
1, 9, 46, 177, 571, 1632, 4270, 10446, 24244, 53942, 115954, 242240,
494087, 987503, 1939634, 3753007, 7167461, 13532608, 25293964,
46856332, 86110792
A.233
Sum of Fibonacci and Pell numbers
Réf.
H I S 2 A1932
Approximants de Padé
H I S 1 N0319
Fraction rationnelle
(2 + z) (1 - 2 z)
___________________________
2 2
(1 - z - z ) (1 - 2 z - z )
2, 3, 7, 15, 34, 78, 182, 429, 1019, 2433, 5830, 14004, 33694, 81159, 195635,
471819, 1138286, 2746794, 6629290, 16001193, 38624911, 93240069,
225087338
Coefficients of an elliptic function
Réf.
CAY 9 128.
H I S 2 A1934
Euler
H I S 1 N1397
Produit infini
c(n) = 4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,...
1, 4, 12, 32, 76, 168, 352, 704
A.234
Coefficients of an elliptic function
Réf.
CAY 9 128.
H I S 2 A1935
Euler
H I S 1 N0204
Produit infini
c(n) = 1,2,3 mod 4
1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 22, 29, 38, 50, 64, 82, 105, 132, 166, 208, 258, 320,
395, 484, 592, 722, 876, 1060
Coefficients of an elliptic function
Réf.
CAY 9 128. MOC 29 852 75.
H I S 2 A1936
Euler
H I S 1 N0532
Produit infini
c(n) = 2,2,2,0,2,2,2,0,...
1, 2, 5, 10, 18, 32, 55, 90, 144, 226, 346, 522, 777, 1138, 1648, 2362, 3348,
4704, 6554, 9056, 12425, 16932, 22922, 30848, 41282, 54946, 72768, 95914,
125842, 164402
A.235
Coefficients of an elliptic function
Réf.
CAY 9 128.
H I S 2 A1937
Euler
erreurs dans la suite corrigées avec
H I S 1 N1120
Produit infini
la formule.
c(n) = 3,3,3,0,3,3,3,0,...
1, 3, 9, 22, 48, 99, 194, 363, 657, 1155, 1977, 3312, 5443, 8787, 13968,
21894, 33873, 51795, 78345, 117412, 174033, 255945
Coefficients of an elliptic function
Réf.
CAY 9 128.
H I S 2 A1938
Euler
H I S 1 N1412
Produit infini
c(n) = 4,4,4,0,4,4,4,0,...
1, 4, 14, 40, 101, 236, 518, 1080, 2162, 4180, 7840, 14328, 25591, 44776,
76918, 129952, 216240, 354864, 574958
A.236
Coefficients of an elliptic function
Réf.
CAY 9 128.
H I S 2 A1939
Euler
H I S 1 N1599
Produit infini
c(n) = 5,5,5,0,5,5,5,0,...
1, 5, 20, 65, 185, 481, 1165, 2665, 5820, 12220, 24802, 48880, 93865,
176125, 323685, 583798, 1035060, 1806600, 3108085
Coefficients of an elliptic function
Réf.
CAY 9 128.
H I S 2 A1940
Euler
erreurs dans la suite corrigées avec
H I S 1 N1737
Produit infini
la formule.
c(n) = 6,6,6,0,6,6,6,0,...
1, 6, 27, 98, 309, 882, 2330, 5784, 13644, 30826, 67107, 141444, 289746,
578646, 1129527, 2159774, 4052721, 7474806, 15063859
A.237
Coefficients of an elliptic function
Réf.
CAY 9 128.
H I S 2 A1941
Euler
H I S 1 N1864
Produit infini
c(n) = 7,7,7,0,7,7,7,0,...
1, 7, 35, 140, 483, 1498, 4277, 11425, 28889, 69734, 161735, 362271,
786877, 1662927, 3428770, 6913760, 13660346, 26492361, 50504755
Réf.
JLMS 8 166 33.
H I S 2 A1945
Approximants de Padé
H I S 1 N1525
Fraction rationnelle
2 3 4
z (1 + 2 z + z + 2 z + z )
____________________________
3 2 3
(z - z - 1) (- 1 + z + z )
0, 1, 1, 1, 5, 1, 7, 8, 5, 19, 11, 23, 35, 27, 64, 61, 85, 137, 133, 229, 275, 344,
529, 599, 875, 1151, 1431, 2071, 2560, 3481, 4697, 5953, 8245, 10649,
14111, 19048, 24605
A.238
Réf.
RCI 139.
H I S 2 A1946
Approximants de Padé
H I S 1 N0794
Fraction rationnelle
11 z - 2
______________
2
z + 11 z - 1
2, 11, 123, 1364, 15127, 167761, 1860498, 20633239, 228826127,
2537720636, 28143753123, 312119004989, 3461452808002,
38388099893011
Related to Bernoulli numbers
Réf.
RCI 141.
H I S 2 A1947
Approximants de Padé
H I S 1 N1265
Fraction rationnelle
4 z - 3
______________
2
z + 11 z - 1
3, 29, 322, 3571, 39603, 439204, 4870847, 54018521, 599074578,
6643838879, 73681302247, 817138163596, 9062201101803,
100501350283429
A.239
A probability difference equation
Réf.
AMM 32 369 25.
H I S 2 A1949
Approximants de Padé
H I S 1 N0430
Fraction rationnelle
1
___________________________________
2 3 4 5
(1 - z) (1 - z - z - z - z - z )
1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 124, 244, 480, 944, 1856, 3649, 7174, 14104, 27728,
54512, 107168, 210687, 414200, 814296, 1600864, 3147216, 6187264,
12163841
Restricted partitions
Réf.
CAY 2 277.
H I S 2 A1971
Approximants de Padé
H I S 1 N0227
Fraction rationnelle
6
1 - z
__________________________________
2 3 4
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 13, 15, 18, 21, 25, 28, 32, 36, 41, 45, 50
A.240
Restricted partitions
Réf.
CAY 2 277.
H I S 2 A1972
Approximants de Padé
H I S 1 N0199
Fraction rationnelle
3 4 5
2 - z + z - 2 z + z
__________________________
2 3
(1 + z) (1 + z ) (z - 1)
2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 40, 45, 50
Réf.
CAY 2 278.
H I S 2 A1973
Approximants de Padé
H I S 1 N0969
Fraction rationnelle
2
1 - z + z
______________________________
2 4
(1 + z) (z + z + 1) (z - 1)
1, 1, 3, 5, 8, 12, 18, 24, 33, 43, 55, 69, 86, 104, 126, 150, 177, 207, 241, 277,
318, 362, 410, 462, 519, 579, 645, 715, 790, 870, 956, 1046, 1143, 1245,
1353, 1467, 1588, 1714, 1848, 1988
A.241
Expansion of a generating function
Réf.
CAY 10 414.
H I S 2 A1993
Euler
H I S 1 N0973
Fraction rationnelle
1
____________________________________
2 2 3 2 4
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 1, 3, 5, 9, 13, 22, 30, 45, 61, 85, 111
Expansion of a generating function
Réf.
CAY 10 415.
H I S 2 A1994
Euler
H I S 1 N0927
Fraction rationnelle
1
____________________________________________
2 2 3 4 5
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 1, 3, 4, 8, 11, 18, 24, 36, 47, 66, 84, 113, 141, 183, 225, 284, 344, 425, 508,
617, 729, 872, 1020, 1205, 1397, 1632, 1877, 2172, 2480, 2846, 3228, 3677
A.242
Expansion of a generating function
Réf.
CAY 10 415.
H I S 2 A1996
Euler
H I S 1 N0112
Fraction rationnelle
1
______________________________________________________
2 3 4 5 6 7
(1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 10, 11, 16, 17, 23, 26, 33, 37, 47, 52, 64, 72, 86, 96,
115, 127, 149, 166, 192, 212, 245, 269, 307, 338, 382, 419, 472, 515, 576,
629, 699, 760, 843, 913
Folding a piece of wire of length n
Réf.
AMM 44 51 37. GMJ 15 146 74.
H I S 2 A1998
Approximants de Padé
H I S 1 N0468
Fraction rationnelle
4 3 2
3 z - 8 z + 2 z + 3 z - 1
______________________________
2
(z - 1) (3 z - 1) (3 z - 1)
1, 1, 2, 4, 10, 25, 70, 196, 574, 1681, 5002, 14884, 44530, 133225, 399310,
1196836, 3589414, 10764961, 32291602, 96864964, 290585050, 871725625,
2615147350
A.243
Réf.
AMM 43 29 36.
H I S 2 A2002
LLL
suite P-récurrente
H I S 1 N1621
algébrique
n a(n) = (7 n - 5) a(n - 1) + (- 7 n + 16) a(n - 2) + (n - 3) a(n - 3)
a(n) = ∑C(n,k+1).C(n+k,k), k=0..n-1
2 1/2
z + (1 - 6 z + z ) - 1
___________________________
2 1/2
- 2 (1 - 6 z + z ) z
1, 5, 25, 129, 681, 3653, 19825, 108545, 598417, 3317445, 18474633,
103274625, 579168825, 3256957317
Réf.
AMM 43 29 36.
H I S 2 A2003
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N0735
algébrique
n a(n) = (5 n - 1) a(n - 1) + (5 n - 14) a(n - 2) + (- n + 3) a(n - 3)
a(n) = 2 ∑ C(n-1,k) C(n+k,k) , k = 0 ..n-1
2 1/2
z + 1 + (1 - 6 z + z )
___________________________
2 1/2
- 2 (1 - 6 z + z ) z
2, 8, 38, 192, 1002, 5336, 28814, 157184, 864146, 4780008, 26572086,
148321344, 830764794, 4666890936
A.244
Almost trivalent maps
Réf.
PLC 1 292 70.
H I S 2 A2011
Hypergéométrique
H I S 1 N1458
algébrique
4
_____________
3/2
(1 - 4 z)
4, 24, 120, 560, 2520, 11088, 48048
n appears n times
Réf.
MMAG 38 186 65. KN1 1 43.
H I S 2 A2024
Euler
H I S 1 N0089
Produit infini
a(n)=[(1+[√(8n-7)])/2]
c(n) = 2,-1,1,-1,1,-1,1, ...
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8,
8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11,
11, 11, 11, 11, 11
A.245
Related to partitions
Réf.
AMM 76 1036 69.
H I S 2 A2040
Approximants de Padé
H I S 1 N0442
Fraction rationnelle
1
______________________
4 6
1 - 2 z - 5 z - 7 z
1, 2, 4, 8, 21, 52, 131, 316, 765, 1846, 4494
Réf.
AMM 3 244 1896.
H I S 2 A2041
Approximants de Padé
H I S 1 N1759
Fraction rationnelle
1
____________________________________
(z - 1) (1 + 2 z) (1 - 2 z) (5 z - 1)
1, 6, 35, 180, 921, 4626, 23215, 116160, 581141, 2906046, 14531595,
72659340, 363302161, 1816516266, 9082603175, 45413037720,
227065275981, 1135326467286
A.246
Simplices in barycentric subdivisions of n-simplex
Réf.
SKA 11 95 28. MMAG 37 132 64.
H I S 2 A2050
Recoupements
H I S 1 N1622
exponentielle
exp(z) (1 - exp(z))
____________________
exp(z) - 2
1, 5, 25, 149, 1081, 9365, 94585, 1091669, 14174521, 204495125,
3245265145, 56183135189, 1053716696761, 21282685940885,
460566381955705
Binomial coefficients C(2n+1,n-1)
Réf.
CAY 13 95. AS1 828.
H I S 2 A2054
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1607
algébrique
2F1([2, 5/2], [4], 4 z)
8 z
__________________________________
1/2 1/2 3
(1 - 4 z) (1 + (1 - 4 z) )
1, 5, 21, 84, 330, 1287, 5005, 19448, 75582, 293930, 1144066, 4457400,
17383860, 67863915, 265182525, 1037158320, 4059928950, 15905368710
A.247
Dissections of a polygon by number of parts
Réf.
CAY 13 95. AEQ 18 385 78.
H I S 2 A2055
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1982
algébrique
1/2
( z - (1 - 4 z) ) z
________________________________
1/2 4 3/2
(1 + (1 - 4 z) ) (1 - 4 z)
1, 9, 56, 300, 1485, 7007, 32032, 143208, 629850, 2735810, 11767536,
50220040, 212952285
Dissections of a polygon by number of parts
Réf.
CAY 13 95. AEQ 18 385 78.
H I S 2 A2056
Hypergéométrique
simplifiée avec LLL
H I S 1 N2115
algébrique 2è degré
2 3 4 5 6
1/2 (1 - 21 z + 180 z - 800 z + 1920 z - 2304 z + 1024 z
_____________________________________________________________
5 5
(z (4 z - 1) )
4 3 2 2 5 1/2
- (- (10 z - 50 z + 40 z - 11 z + 1) (4 z - 1) ) )
_ _________________________________________________________
5 5
(z (4 z - 1) )
1, 14, 120, 825, 5005, 28028, 148512, 755820, 3730650, 17978180,
84987760, 395482815
A.248
4 C(2n+1,n-1)/(n+3)
Réf.
CAY 13 95. FQ 14 397 76. DM 14 84 76.
H I S 2 A2057
Hypergéométrique
H I S 1 N1415
algébrique
2F1([2, 5/2], [5], 4 z)
16 z
___________________
1/2 4
(1 + (1 - 4 z) )
1, 4, 14, 48, 165, 572, 2002, 7072, 25194, 90440, 326876, 1188640, 4345965,
15967980, 58929450, 218349120, 811985790, 3029594040, 11338026180,
42550029600
Partitions of a polygon by number of parts
Réf.
CAY 13 95.
H I S 2 A2059
Hypergéométrique
H I S 1 N1269
algébrique
1/2
(2 z - 3 (1 - 4 z) ) z
_________________________________
1/2 6 3/2
(1 + (1 - 4 z) ) (1 - 4 z)
3, 32, 225, 1320, 7007, 34944, 167076, 775200, 3517470, 15690048
A.249
Central polygonal numbers
Réf.
HO50 22. HO70 87.
H I S 2 A2061
Approximants de Padé
H I S 1 N1049
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z + 3 z
________________
3
(1 - z)
1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211, 241, 273, 307,
343, 381, 421, 463, 507, 553, 601, 651, 703, 757, 813, 871, 931, 993, 1057,
1123, 1191, 1261
n'th Fibonacci number + n
Réf.
HO70 96.
H I S 2 A2062
Approximants de Padé
H I S 1 N0240
Fraction rationnelle
z (3 z - 2)
________________________
2 2
(1 - z - z ) (1 - z)
0, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 20, 29, 43, 65, 100, 156, 246, 391, 625, 1003, 1614, 2602,
4200, 6785, 10967, 17733, 28680, 46392, 75050, 121419, 196445, 317839,
514258
A.250
Cullen numbers
Réf.
SI64a 346. UPNT B20.
H I S 2 A2064
Approximants de Padé
H I S 1 N1125
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z + 2 z
___________________
2
(1 - z) (2 z - 1)
1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, 22529, 49153, 106497,
229377, 491521, 1048577, 2228225, 4718593, 9961473, 20971521,
44040193, 92274689
First differences are periodic
Réf.
TCPS 2 219 1827.
H I S 2 A2081
Approximants de Padé
H I S 1 N0426
Fraction rationnelle
2 3
2 (1 + 2 z + 2 z )
_____________________
2 2
(1 + z ) (z - 1)
2, 4, 8, 16, 22, 24, 28, 36, 42, 44, 48, 56, 62, 64, 68, 76, 82, 84, 88, 96, 102,
104, 108, 116, 122, 124, 128, 136, 142, 144, 148, 156, 162, 164, 168, 176,
182, 184, 188, 196, 202, 204, 208, 216
A.251
Partitions of n into non-prime parts
Réf.
JNSM 9 91 69.
H I S 2 A2095
Euler
H I S 1 N0094
Produit infini
c(n) = Les nombres non-premiers
1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 12, 13, 17, 19, 26, 28, 37, 40, 52, 58, 73, 79,
102, 113, 139, 154, 191, 210, 258, 284, 345, 384, 462, 509, 614, 679, 805,
893, 1060, 1171, 1382
Logarithmic numbers
Réf.
MAS 31 78 63. CACM 13 726 70.
H I S 2 A2104
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N1105
exponentielle
Formule de B. Salvy
a(n) = (n + 1) a(n-1) + (-2 n + 2) a(n-2) + (n - 2) a(n-3)
- exp(z) ln(1 - z)
1, 3, 8, 24, 89, 415, 2372, 16072, 125673, 1112083, 10976184, 119481296,
1421542641, 18348340127, 255323504932, 3809950977008,
60683990530225
A.252
The square of Euler's product
Réf.
PLMS 21 190 1889.
H I S 2 A2107
Recoupements
H I S 1 N0028
Produit infini
c(n) = -2,-2,-2,-2,-2-,2,...
1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 2, 3, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 2, 1,
2, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 2,
0, 2, 2, 0, 4, 0, 0
Numerators of convergents to exp(1)
Réf.
BAT 17 1871. MOC 2 69 46.
H I S 2 A2119
équations différentielles formule de B. Salvy
H I S 1 N1880
exponentielle
a(n) = (4 n - 6) a(n - 1) + a(n - 2)
1/2
exp(1/2 (1 - 4 z) - 1/2)
_____________________________
1/2
(1 - 4 z)
1, 1, 7, 71, 1001, 18089, 398959, 10391023, 312129649, 10622799089,
403978495031, 16977719590391, 781379079653017, 39085931702241241
A.253
From symmetric functions
Réf.
PLMS 23 314 23.
H I S 2 A2124
Approximants de Padé
H I S 1 N0062
Fraction rationnelle
6
1 - z
____________________________
3 5 6 7 9
1 - z - z - z - z + z
1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 4, 3, 7, 7, 8, 14, 15, 21, 28, 33, 47, 58, 76, 103,
125, 169, 220, 277, 373
From symmetric functions
Réf.
PLMS 23 315 23.
H I S 2 A2125
Approximants de Padé
H I S 1 N0006
Fraction rationnelle
6 2
(1 - z )
____________________________
3 5 6 7 9 2
(1 - z - z - z - z + z )
1, 0, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 6, 4, 9, 14, 11, 26, 29, 34, 62, 68, 99, 140, 169, 252, 322,
430, 607, 764, 1059, 1424, 1845, 2546
A.254
Réf.
CAY 9 190. PLMS 17 29 17. EMN 34 1 44. AMM 79 519 72.
H I S 2 A2135
Dérivée logarithmique
H I S 1 N0594
exponentielle
a(n) = (n - 1) a(n - 1) + (- 1/2 n^2 + 5/2 n - 3) a(n - 3)
exp(1/4 z (z + 2))
___________________
1/2
(1 - z)
1, 1, 2, 5, 17, 73, 388, 2461, 18155, 152531, 1436714, 14986879, 171453343,
2134070335, 28708008128, 415017867707, 6416208498137,
105630583492969
Matrices with 2 rows
Réf.
PLMS 17 29 17.
H I S 2 A2136
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0656
exponentielle
a(n) = n a(n - 1) + (- 1/2 n^2 + 5/2 n - 3) a(n - 3)
exp(1/4 z (z + 2))
___________________
3/2
(1 - z)
1, 2, 6, 23, 109, 618, 4096, 31133, 267219, 2557502
A.255
Pell numbers
Réf.
AJM 1 187 1878. FQ 4 373 66. RI89 43.
H I S 2 A2203
Approximants de Padé
H I S 1 N0136
Fraction rationnelle
2 (1 - z)
_____________
2
1 - 2 z - z
2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, 16238, 39202, 94642, 228486,
551614, 1331714, 3215042, 7761798, 18738638, 45239074, 109216786,
263672646
Restricted hexagonal polyominoes with n cells
Réf.
EMS 17 11 70. rcr.
H I S 2 A2212
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1 N1145
algébrique
(n + 1) a(n) = (6 n - 3) a(n - 1) + (- 5 n + 10) a(n - 2)
2 1/2
- 1 + 3 z + (1 - 6 z + 5 z )
________________________________
2 z
1, 3, 10, 36, 137, 543, 2219, 9285, 39587, 171369, 751236, 3328218,
14878455, 67030785, 304036170, 1387247580, 6363044315, 29323149825,
135700543190
A.256
Dissections of a polygon
Réf.
DM 11 388 75.
H I S 2 A2293
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1 N1454
algébrique
1/9 (n - 1) (3 n - 4) (3 n - 2) a(n) = 8/27 (4 n - 5) (4 n - 7) (2 n - 3) a(n - 1)
4F3([1, 3/2, 5/4, 7/4],
[2, 5/3, 7/3] , 256 z / 27)
1, 1, 4, 22, 140, 969, 7084, 53820, 420732, 3362260, 27343888, 225568798,
1882933364, 15875338990, 134993766600, 1156393243320, 9969937491420
C(5n,n)/(4n+1)
Réf.
DM 11 388 75.
H I S 2 A2294
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1646
algébrique
1/32 (4 n - 5) (n - 1) (4 n - 3) (2 n - 3) a(n) = 5/256 (5 n - 9) (5 n - 8) (5 n - 7)
(5 n - 6) a(n - 1)
5F4([1, 9/5, 7/5, 8/5, 6/5],
[2, 3/2, 9/4, 7/4],3125 z / 256)
1, 1, 5, 35, 285, 2530, 23751, 231880, 2330445, 23950355, 250543370,
2658968130, 28558343775, 309831575760, 3390416787880,
37377257159280, 414741863546285
A.257
Dissections of a polygon
Réf.
DM 11 388 75.
H I S 2 A2295
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1780
algébrique
1/625 (n - 1) (5 n - 4) (5 n - 8) (5 n - 7) (5 n - 6) a(n) =
72 / 3125 (3 n - 5) (6 n - 11) (6 n - 7) (3 n - 4) (2 n - 3) a(n - 1)
6F5([1, 3/2, 5/3, 4/3, 7/6, 11/6],
[2, 11/5, 9/5, 7/5, 8/5],46656 z / 3125)
1, 1, 6, 51, 506, 5481, 62832, 749398, 9203634, 115607310, 1478314266,
19180049928, 251857119696, 3340843549855, 44700485049720,
602574657427116
Dissections of a polygon
Réf.
DM 11 389 75.
H I S 2 A2296
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1878
algébrique
1/648 (n - 1) (6 n - 7) (3 n - 4) (2 n - 3) (3 n - 5) (6 n - 5) a(n) =
7 / 46656 (7 n - 11) (7 n - 10) (7 n - 13) (7 n - 9) (7 n - 12) (7 n - 8) a(n - 1)
7F6([1,8/7,9/7,11/7,10/7,13/7,12/7],
[2,3/2,5/3,13/6,4/3,11/6],823543z/46656)
1, 1, 7, 70, 819, 10472, 141778, 1997688, 28989675, 430321633,
6503352856, 99726673130, 1547847846090, 24269405074740,
383846168712104
A.258
Réf.
TOH 42 152 36.
H I S 2 A2301
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1 N0737
Fraction rationnelle
2
________
4
(z - 1)
2, 8, 40, 240, 1680, 13440, 120960, 1209600, 13305600, 159667200,
2075673600, 29059430400, 435891456000, 6974263296000,
118562476032000
Sums of fourth powers of odd numbers
Réf.
AMS 2 358 31 (divided by 2). CC55 742.
H I S 2 A2309
Approximants de Padé
H I S 1 N2327
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + 76 z + 230 z + 76 z + z
_______________________________
6
(z - 1)
1, 82, 707, 3108, 9669, 24310, 52871, 103496, 187017, 317338, 511819,
791660, 1182285, 1713726, 2421007, 3344528, 4530449, 6031074, 7905235,
10218676
A.259
NSW numbers
Réf.
AMM 4 25 1897. IDM 10 236 03. ANN 36 644 35. RI89 288.
H I S 2 A2315
Approximants de Padé
H I S 1 N1869
Fraction rationnelle
1 + z
_____________
2
z - 6 z + 1
1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, 275807, 1607521, 9369319, 54608393,
318281039, 1855077841, 10812186007, 63018038201, 367296043199,
2140758220993
The pronic numbers
Réf.
D1 2 232.
H I S 2 A2378
Approximants de Padé
H I S 1 N0616
Fraction rationnelle
2 z
________
3
(1 - z)
0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342,
380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122,
1190, 1260
A.260
Réf.
MFM 74 62 70 (divided by 5).
H I S 2 A2409
Approximants de Padé
H I S 1 N1668
Fraction rationnelle
1
__________
7
(1 - 2 z)
1, 14, 112, 672, 3360, 14784, 59136, 219648, 768768, 2562560, 8200192,
25346048, 76038144, 222265344, 635043840, 1778122752, 4889837568,
13231325184, 35283533824
Pentagonal pyramidal numbers
Réf.
D1 2 2. B1 194.
H I S 2 A2411
Approximants de Padé
H I S 1 N1709
Fraction rationnelle
1 + 2 z
________
4
(z - 1)
1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176,
2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125, 9126, 10206, 11368,
12615, 13950
A.261
Hexagonal pyramidal numbers
Réf.
D1 2 2. B1 194.
H I S 2 A2412
Approximants de Padé
H I S 1 N1839
Fraction rationnelle
1 + 3 z
________
4
(z - 1)
1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925, 2360, 2856,
3417, 4047, 4750, 5530, 6391, 7337, 8372, 9500, 10725, 12051, 13482,
15022, 16675, 18445
Heptagonal pyramidal numbers
Réf.
D1 2 2. B1 194.
H I S 2 A2413
Approximants de Padé
H I S 1 N1904
Fraction rationnelle
1 + 4 z
________
4
(z - 1)
1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, 2380, 2920,
3536, 4233, 5016, 5890, 6860, 7931, 9108, 10396, 11800, 13325, 14976,
16758, 18676, 20735
A.262
Octagonal pyramidal numbers
Réf.
D1 2 2. B1 194.
H I S 2 A2414
Approximants de Padé
H I S 1 N1966
Fraction rationnelle
1 + 5 z
________
4
(z - 1)
1, 9, 30, 70, 135, 231, 364, 540, 765, 1045, 1386, 1794, 2275, 2835, 3480,
4216, 5049, 5985, 7030, 8190, 9471, 10879, 12420, 14100, 15925, 17901,
20034, 22330, 24795
4-dimensional pyramidal numbers
Réf.
B1 195.
H I S 2 A2415
Approximants de Padé
H I S 1 N1714
Fraction rationnelle
1 + z
________
5
(1 - z)
1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540, 825, 1210, 1716, 2366, 3185, 4200, 5440,
6936, 8721, 10830, 13300, 16170, 19481, 23276, 27600, 32500, 38025,
44226, 51156, 58870
A.263
4-dimensional figurate numbers
Réf.
B1 195.
H I S 2 A2417
Approximants de Padé
H I S 1 N1907
Fraction rationnelle
1 + 3 z
________
5
(1 - z)
1, 8, 30, 80, 175, 336, 588, 960, 1485, 2200, 3146, 4368, 5915, 7840, 10200,
13056, 16473, 20520, 25270, 30800, 37191, 44528, 52900, 62400, 73125,
85176, 98658
4-dimensional figurate numbers
Réf.
B1 195.
H I S 2 A2418
Approximants de Padé
H I S 1 N1970
Fraction rationnelle
1 + 4 z
________
5
(1 - z)
1, 9, 35, 95, 210, 406, 714, 1170, 1815, 2695, 3861, 5369, 7280, 9660, 12580,
16116, 20349, 25365, 31255, 38115, 46046, 55154, 65550, 77350, 90675,
105651
A.264
4-dimensional figurate numbers
Réf.
B1 195.
H I S 2 A2419
Approximants de Padé
H I S 1 N2008
Fraction rationnelle
1 + 5 z
________
5
(1 - z)
1, 10, 40, 110, 245, 476, 840, 1380, 2145, 3190, 4576, 6370, 8645, 11480,
14960, 19176, 24225, 30210, 37240, 45430, 54901, 65780, 78200, 92300,
108225, 126126
Réf.
TH09 164. FMR 1 55.
H I S 2 A2420
Recoupements
Suite P-récurrente
H I S 1 N0128
algébrique
a(n) (n - 1) (n - 2) = 2 a(n - 1) (n - 2) (2 n - 5)
1/2
(1 - 4 z)
1, 2, 2, 4, 10, 28, 84, 264, 858, 2860, 9724, 33592, 117572, 416024, 1485800,
5348880, 19389690, 70715340, 259289580, 955277400, 3534526380,
13128240840, 48932534040
A.265
Réf.
TH09 164. FMR 1 55.
H I S 2 A2421
Recoupements
Inverse de A2457
H I S 1 N1683
algébrique
3/2
(1 - 4 z)
1, 6, 6, 4, 6, 12, 28, 72, 198, 572, 1716, 5304, 16796, 54264, 178296, 594320,
2005830, 6843420, 23571780, 81880920, 286583220, 1009864680,
3580429320, 12765008880
Réf.
TH09 164. FMR 1 55.
H I S 2 A2422
Recoupements
Inverse de A2802
H I S 1 N2003
algébrique
5/2
(1 - 4 z)
1, 10, 30, 20, 10, 12, 20, 40, 90, 220, 572, 1560, 4420, 12920, 38760, 118864,
371450, 1179900, 3801900, 12406200, 40940460, 136468200, 459029400,
1556708400, 5318753700
A.266
Réf.
TH09 164. FMR 1 55.
H I S 2 A2423
Recoupements
H I S 1 N2114
algébrique
7/2
(1 - 4 z)
1, 14, 70, 140, 70, 28, 28, 40, 70, 140, 308, 728, 1820, 4760, 12920, 36176,
104006, 305900, 917700, 2801400, 8684340, 27293640, 86843400,
279409200, 908079900, 2978502072
Réf.
TH09 164. FMR 1 55.
H I S 2 A2424
Recoupements
H I S 1 N2188
algébrique
9/2
(1 - 4 z)
1, 18, 126, 420, 630, 252, 84, 72, 90, 140, 252, 504, 1092, 2520, 6120, 15504,
40698, 110124, 305900, 869400, 2521260, 7443720, 22331160, 67964400,
209556900, 653817528
A.267
From expansion of (1+x+x^2) ^n
Réf.
EUL (1) 15 59 27. FQ 7 341 69. HE74 1 42.
H I S 2 A2426
Hypergéométrique
H I S 1 N1070
algébrique
1
________________________
1/2 1/2
(1 + z) (3 z - 1)
1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, 8953, 25653, 73789, 212941, 616227,
1787607, 5196627, 15134931, 44152809, 128996853, 377379369
Réf.
QJM 47 110 16. FMR 1 112. DA63 2 283.
H I S 2 A2446
Approximants de Padé
H I S 1 N1748
Fraction rationnelle
6 z
_________________
(1 - 4 z) (1 - z)
0, 6, 30, 126, 510, 2046, 8190, 32766, 131070, 524286, 2097150, 8388606,
33554430, 134217726, 536870910, 2147483646, 8589934590, 34359738366
A.268
Réf.
TH09 35. FMR 1 112. RCI 217.
H I S 2 A2450
Approximants de Padé
H I S 1 N1608
Fraction rationnelle
1
_________________
(1 - 4 z) (1 - z)
1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, 349525, 1398101, 5592405,
22369621, 89478485, 357913941, 1431655765, 5726623061, 22906492245
Réf.
TH09 35. FMR 1 112. RCI 217.
H I S 2 A2451
Approximants de Padé
H I S 1 N2118
Fraction rationnelle
1
__________________________
(1 - z) (1 - 4 z) (1 - 9 z)
1, 14, 147, 1408, 13013, 118482, 1071799, 9668036, 87099705, 784246870,
7059619931, 63542171784, 571901915677, 5147206719578,
46325218390143, 416928397167052
A.269
Central factorial numbers
Réf.
TH09 36. FMR 1 112. RCI 217.
H I S 2 A2452
Approximants de Padé
H I S 1 N2025
Fraction rationnelle
1
_________________
(1 - z) (1 - 9 z)
1, 10, 91, 820, 7381, 66430, 597871, 5380840, 48427561, 435848050,
3922632451, 35303692060, 317733228541, 2859599056870,
25736391511831
Central factorial numbers
Réf.
TH09 36. FMR 1 112. RCI 217.
H I S 2 A2453
Approximants de Padé
H I S 1 N2283
Fraction rationnelle
1
___________________________
(1 - z) (1 - 9 z) (1 - 25 z)
1, 35, 966, 24970, 631631, 15857205, 397027996
A.270
Central factorial numbers
Réf.
OP80 7. FMR 1 110. RCI 217.
H I S 2 A2454
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1510
Fraction rationnelle
f.g. exponentielle double
a(n) = 4 (n - 1)^2 a(n - 1)
3F2 ([1, 1, 1], [2, 2], 4 z)
1, 4, 64, 2304, 147456, 14745600, 2123366400, 416179814400,
106542032486400, 34519618525593600
Central differences of 0
Réf.
QJM 47 110 16. FMR 1 112. DA63 2 283.
H I S 2 A2456
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2270
algébrique
f.g. exponentielle double
z (2 + z)
_______________
7/2
2 (1 - 2 z)
1, 30, 1260, 75600, 6237000, 681080400, 95351256000, 16672848192000,
3563821301040000, 914714133933600000, 277707211062240960000
A.271
Réf.
OP80 21. SE33 92. JO39 449. SAM 22 120 43. LA56 514.
H I S 2 A2457
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1752
algébrique
1
____________
3/2
(1 - 4 z)
1, 6, 30, 140, 630, 2772, 12012, 51480, 218790, 923780, 3879876, 16224936,
67603900, 280816200, 1163381400, 4808643120, 19835652870,
81676217700, 335780006100
The game of Mousetrap with n cards
Réf.
QJM 15 241 1878. jos.
H I S 2 A2467
Recoupements
A0166 - 1
H I S 1 N1423
exponentielle
1 - exp(z)
______________
(z - 1) exp(z)
1, 1, 4, 15, 76, 455, 3186, 25487, 229384, 2293839, 25232230, 302786759,
3936227868, 55107190151, 826607852266, 13225725636255,
224837335816336, 4047072044694047
A.272
Wonderful Demlo numbers
Réf.
MAS 6 68 38.
H I S 2 A2477
Approximants de Padé
Demlo est une ville aux E.U.
H I S 1 N2339
Fraction rationnelle
a(n) = 1,11*11, 111*111, 1111*1111,...
1 + 10 z
______________________________
(1 - z) (1 - 10 z) (1 - 100 z)
1, 121, 12321, 1234321, 123454321, 12345654321, 1234567654321,
123456787654321, 12345678987654321, 1234567900987654321
Bisection of A0930
Réf.
EUL (1) 1 322 11.
H I S 2 A2478
Approximants de Padé
H I S 1 N1017
Fraction rationnelle
1
__________________
2 3
1 - z - 2 z - z
1, 1, 3, 6, 13, 28, 60, 129, 277, 595, 1278, 2745, 5896, 12664, 27201, 58425,
125491, 269542, 578949, 1243524, 2670964, 5736961, 12322413, 26467299,
56849086
A.273
Réf.
ELM 2 95 47. WW 114.
H I S 2 A2487
Euler
H I S 1 N0056
Produit infini
a(2n+1) = a(n) et a(2n) = a(n) + a(n-1)
1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5,
1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7,
11, 4, 9, 5, 6, 1, 7
Réf.
MOC 4 23 50.
H I S 2 A2492
Approximants de Padé
H I S 1 N1444
Fraction rationnelle
4 (1 + z)
__________
4
(z - 1)
4, 20, 56, 120, 220, 364, 560, 816, 1140, 1540, 2024, 2600, 3276, 4060, 4960,
5984, 7140, 8436, 9880, 11480, 13244, 15180, 17296, 19600, 22100, 24804,
27720
A.274
Expansion of a modular function
Réf.
PLMS 9 386 59.
H I S 2 A2512
Euler
H I S 1 N0539
Produit infini
Conjecture : erreurs dans la suite à partie du 12è terme ?
c(n) = 2,2,2,4,2,2,2,4,...
1, 2, 5, 10, 22, 40, 75, 130, 230, 382, 636, 1016, 1633, 2540, 3942, 5978, 9057
Expansion of a modular function
Réf.
PLMS 9 387 59.
H I S 2 A2513
Euler
erreur probable à partir du 13è
H I S 1 N0931
Produit infini
terme
* Le motif [1,2] est périodique
c(n) = 1,2,...*
1, 1, 3, 4, 9, 12, 23, 31, 54, 73, 118, 159, 246, 340, 500, 684, 984, 1341, 1883
A.275
Permutations of length n within distance 2
Réf.
AENS 79 207 62.
H I S 2 A2524
Approximants de Padé
H I S 1 N0626
Fraction rationnelle
1 - z
____________________
3 5
1 - 2 z - 2 z + z
1, 1, 2, 6, 14, 31, 73, 172, 400, 932, 2177, 5081, 11854, 27662, 64554
Permutations according to distance
Réf.
AENS 79 207 62.
H I S 2 A2525
Approximants de Padé
H I S 1 N0463
Fraction rationnelle
z
____________________
3 5
1 - 2 z - 2 z + z
0, 1, 2, 4, 10, 24, 55, 128, 300, 700, 1632, 3809, 8890, 20744, 48406
A.276
Réf.
MQET 1 10 16. NZ66 181.
H I S 2 A2530
Approximants de Padé
H I S 1 N0934
Fraction rationnelle
2
1 - z - z
______________
2 4
1 - 4 z + z
1, 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, 571, 780, 2131, 2911, 7953, 10864, 29681,
40545, 110771, 151316, 413403, 564719, 1542841, 2107560, 5757961,
7865521
Réf.
MQET 1 10 16. NZ66 181.
H I S 2 A2531
Approximants de Padé
H I S 1 N0513
Fraction rationnelle
2 3
1 + z - 2 z + z
___________________
2 4
1 - 4 z + z
1, 1, 2, 5, 7, 19, 26, 71, 97, 265, 362, 989, 1351, 3691, 5042, 13775, 18817,
51409, 70226, 191861, 262087, 716035, 978122, 2672279, 3650401,
9973081, 13623482
A.277
Réf.
MQET 1 11 16.
H I S 2 A2532
Approximants de Padé
H I S 1 N0758
Fraction rationnelle
z
______________
2
1 - 2 z - 5 z
0, 1, 2, 9, 28, 101, 342, 1189, 4088, 14121, 48682, 167969, 579348, 1998541,
6893822, 23780349, 82029808, 282961361, 976071762, 3366950329,
11614259468
Réf.
MQET 1 11 16.
H I S 2 A2533
Approximants de Padé
H I S 1 N1834
Fraction rationnelle
1 - z
_______________
2
1 - 2 z - 5 z
1, 1, 7, 19, 73, 241, 847, 2899, 10033, 34561, 119287, 411379, 1419193,
4895281, 16886527, 58249459, 200931553, 693110401, 2390878567,
8247309139
A.278
Réf.
MQET 1 11 16.
H I S 2 A2534
Approximants de Padé
H I S 1 N0814
Fraction rationnelle
z
______________
2
1 - 2 z - 9 z
0, 1, 2, 13, 44, 205, 806, 3457, 14168, 59449, 246410, 1027861, 4273412,
17797573, 74055854, 308289865, 1283082416, 5340773617, 22229288978,
92525540509
Réf.
MQET 1 11 16.
H I S 2 A2535
Approximants de Padé
H I S 1 N2043
Fraction rationnelle
1 - z
______________
2
1 - 2 z - 9 z
1, 1, 11, 31, 161, 601, 2651, 10711, 45281, 186961, 781451, 3245551,
13524161, 56258281, 234234011, 974792551, 4057691201, 16888515361,
70296251531
A.279
Réf.
MQET 1 12 16.
H I S 2 A2536
Approximants de Padé
H I S 1 N1540
Fraction rationnelle
2
z (1 + z - 3 z )
_________________
2 4
1 - 8 z + 9 z
0, 1, 1, 5, 8, 31, 55, 203, 368, 1345, 2449, 8933, 16280, 59359, 108199
Réf.
MQET 1 12 16.
H I S 2 A2537
Approximants de Padé
H I S 1 N1379
Fraction rationnelle
2 3
1 + z - 4 z + 3 z
___________________
2 4
1 - 8 z + 9 z
1, 1, 4, 11, 23, 79, 148, 533, 977, 3553, 6484, 23627, 43079, 157039, 286276,
1043669, 1902497, 6936001, 12643492, 46094987, 84025463, 306335887,
558412276, 2035832213
A.280
Coefficients for numerical differentiation
Réf.
OP80 21. SE33 92. SAM 22 120 43. LA56 514.
H I S 2 A2544
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2075
algébrique
2F1 ([2, 3/2], [1], 4 z)
1 + 2 z
_____________
5/2
(1 - 4 z)
1, 12, 90, 560, 3150, 16632, 84084, 411840, 1969110, 9237800, 42678636,
194699232, 878850700, 3931426800, 17450721000
From a definite integral
Réf.
EMS 10 184 57.
H I S 2 A2570
Approximants de Padé
H I S 1 N1698
Fraction rationnelle
1
________________________________
2 3
(1 - z) (1 - 3 z + z ) (1 + z)
1, 1, 6, 11, 36, 85, 235, 600, 1590, 4140, 10866, 28416, 74431, 194821,
510096, 1335395, 3496170, 9153025, 23963005, 62735880
A.281
From a definite integral
Réf.
EMS 10 184 57.
H I S 2 A2571
Approximants de Padé
H I S 1 N1553
Fraction rationnelle
2 3
1 + 4 z + z - z
________________________
2 2
(1 - 3 z + z ) (1 + z)
1, 5, 10, 30, 74, 199, 515, 1355, 3540, 9276, 24276, 63565, 166405, 435665,
1140574, 2986074, 7817630, 20466835, 53582855, 140281751
Réf.
CC55 742. JO61 7.
H I S 2 A2593
Approximants de Padé
H I S 1 N2262
Fraction rationnelle
2
z (1 + z) (z + 22 z + 1)
__________________________
5
(z - 1)
0, 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, 29161, 41328,
56953, 76636, 101025, 130816, 166753, 209628, 260281, 319600, 388521,
468028, 559153
A.282
Sums of 5th powers of odd numbers
Réf.
CC55 742.
H I S 2 A2594
Approximants de Padé
H I S 1 N2354
Fraction rationnelle
4 3 2
(1 + z) (z + 236 z + 1446 z + 236 z + 1)
_____________________________________________
7
(1 - z)
1, 244, 3369, 20176, 79225, 240276, 611569, 1370944, 2790801, 5266900,
9351001, 15787344, 25552969, 39901876, 60413025, 89042176, 128177569,
180699444
A generalized partition function
Réf.
PNISI 17 237 51.
H I S 2 A2597
LLL
H I S 1 N1000
Fraction rationnelle
1
_________________________________
2 2 3 6
(z + 1) (z + z + 1) (z - 1) z
1, 3, 6, 9, 15, 25, 34, 51, 73, 97, 132, 178, 226, 294, 376, 466, 582, 722, 872,
1062, 1282, 1522, 1812, 2147, 2507, 2937, 3422, 3947, 4557, 5243, 5978,
6825, 7763, 8771
A.283
Réf.
AMS 26 304 55.
H I S 2 A2620
Approximants de Padé
H I S 1 N0374
Fraction rationnelle
1
_________________
3
(1 + z) (z - 1)
1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121,
132, 144, 156, 169, 182, 196, 210, 225, 240, 256, 272, 289, 306, 324, 342,
361, 380, 400, 420
Réf.
AMS 26 304 55.
H I S 2 A2621
Approximants de Padé
H I S 1 N0394
Fraction rationnelle
1
_______________________________________
2 2 2 5
(1 + z ) (z + z + 1) (1 + z) (z - 1)
1, 2, 4, 7, 12, 18, 27, 38, 53, 71, 94, 121, 155, 194, 241, 295, 359, 431, 515,
609, 717, 837, 973, 1123, 1292, 1477, 1683, 1908, 2157, 2427, 2724, 3045,
3396, 3774, 4185
A.284
A partition function
Réf.
AMS 26 304 55.
H I S 2 A2622
Approximants de Padé
H I S 1 N0395
Fraction rationnelle
1
____________________________________________
2 2 3 4 5
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 2, 4, 7, 12, 19, 29, 42, 60, 83, 113, 150, 197, 254, 324, 408, 509, 628, 769,
933, 1125, 1346, 1601, 1892, 2225, 2602, 3029, 3509, 4049, 4652, 5326,
6074, 6905, 7823
Réf.
AMS 26 308 55. PGEC 22 1050 73.
H I S 2 A2623
Approximants de Padé
H I S 1 N1050
Fraction rationnelle
1
__________________
4
(1 + z) (z - 1)
1, 3, 7, 13, 22, 34, 50, 70, 95, 125, 161, 203, 252, 308, 372, 444, 525, 615,
715, 825, 946, 1078, 1222, 1378, 1547, 1729, 1925, 2135, 2360, 2600, 2856,
3128, 3417, 3723
A.285
A partition function
Réf.
AMS 26 308 55.
H I S 2 A2624
Approximants de Padé
H I S 1 N1091
Fraction rationnelle
1
__________________
2 5
(1 + z) (1 - z)
1, 3, 8, 16, 30, 50, 80, 120, 175, 245, 336, 448, 588, 756, 960, 1200, 1485,
1815, 2200, 2640, 3146, 3718, 4368, 5096, 5915, 6825, 7840, 8960, 10200,
11560, 13056
Réf.
AMS 26 308 55.
H I S 2 A2625
Approximants de Padé
H I S 1 N1093
Fraction rationnelle
1
_______________________________
2 2 6
(z + z + 1) (1 + z) (z - 1)
1, 3, 8, 17, 33, 58, 97, 153, 233, 342, 489, 681, 930, 1245, 1641, 2130, 2730,
3456, 4330, 5370, 6602, 8048, 9738, 11698, 13963, 16563, 19538, 22923,
26763, 31098, 35979
A.286
Réf.
AMS 26 308 55.
H I S 2 A2626
Approximants de Padé
H I S 1 N1094
Fraction rationnelle
1
________________________________________
2 2 3 7
(z + 1) (z + z + 1) (z + 1) (1 - z)
1, 3, 8, 17, 34, 61, 105, 170, 267, 403, 594, 851, 1197, 1648, 2235, 2981,
3927, 5104, 6565, 8351, 10529, 13152, 16303, 20049, 24492, 29715, 35841,
42972, 51255
Réf.
MFM 73 18 69.
H I S 2 A2662
Approximants de Padé
H I S 1 N1585
Fraction rationnelle
2
z
___________________
3
(2 z - 1) (z - 1)
0, 0, 1, 5, 16, 42, 99, 219, 466, 968, 1981, 4017, 8100, 16278, 32647, 65399,
130918, 261972, 524097, 1048365, 2096920, 4194050, 8388331, 16776915,
33554106, 67108512
A.287
Réf.
MFM 73 18 69.
H I S 2 A2663
Approximants de Padé
H I S 1 N1725
Fraction rationnelle
1
__________________
4
(2 z - 1) (1 - z)
1, 6, 22, 64, 163, 382, 848, 1816, 3797, 7814, 15914, 32192, 64839, 130238,
261156, 523128, 1047225, 2095590, 4192510, 8386560, 16774891,
33551806, 67105912, 134214424
Réf.
MFM 73 18 69.
H I S 2 A2664
Approximants de Padé
H I S 1 N1851
Fraction rationnelle
1
__________________
5
(2 z - 1) (1 - z)
1, 7, 29, 93, 256, 638, 1486, 3302, 7099, 14913, 30827, 63019, 127858,
258096, 519252, 1042380, 2089605, 4185195, 8377705, 16764265,
33539156, 67090962, 134196874, 268411298
A.288
Coefficients for central differences
Réf.
SAM 42 162 63.
H I S 2 A2671
Hypergéométrique
H I S 1 N2246
algébrique
1
_____________
3/2
(1 - 16 z)
1, 24, 1920, 322560, 92897280, 40874803200, 25505877196800,
21424936845312000, 23310331287699456000, 31888533201572855808000
Coefficients for central differences
Réf.
SAM 42 162 63.
H I S 2 A2674
Hypergéométrique
f.g. exponentielle double
H I S 1 N2092
algébrique
1
_______________
1/2
2 (1 - 4 z)
1, 12, 360, 20160, 1814400, 239500800, 43589145600, 10461394944000,
3201186852864000, 1216451004088320000, 562000363888803840000
A.289
Coefficients of orthogonal polynomials
Réf.
MOC 9 174 55.
H I S 2 A2690
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1491
exponentielle:algébrique
a(n) = (4 n-4) a(n - 1) + (8 n - 20) a(n - 2)
1 - 2 z
_____________
3/2
(1 - 4 z)
1, 4, 36, 480, 8400, 181440, 4656960, 138378240, 4670265600,
176432256000, 7374868300800, 337903056691200
Coefficients of orthogonal polynomials
Réf.
MOC 9 174 55.
H I S 2 A2691
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1996
exponentielle
n a(n) = 2 (n + 1) (2 n - 1) a(n - 1)
1 - z
_______________
5/2
(1 - 4 z)
1, 9, 120, 2100, 45360, 1164240, 34594560, 1167566400, 44108064000,
1843717075200, 84475764172800
A.290
Binomial coefficients C(2 n , n - 2)
Réf.
LA56 517. AS1 828.
H I S 2 A2694
Hypergéométrique
H I S 1 N1741
algébrique
16
_________________________________
1/2 1/2 4
(1 - 4 z) (1 + (1 - 4 z) )
1, 6, 28, 120, 495, 2002, 8008, 31824, 125970, 497420, 1961256, 7726160,
30421755, 119759850, 471435600, 1855967520, 7307872110, 28781143380
Spheroidal harmonics
Réf.
MES 52 75 24.
H I S 2 A2695
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1 N1985
algébrique
(n - 2) a(n) = (6 n - 9) a(n - 1) + (- n + 1) a(n - 2)
z
____________________
2 3/2
(z - 6 z + 1)
0, 1, 9, 66, 450, 2955, 18963, 119812, 748548, 4637205, 28537245
A.291
Réf.
LA56 517. AS1 828.
H I S 2 A2696
Hypergéométrique
H I S 1 N1921
algébrique
2F1([7/2, 4], [7], 4 z)
64
_________________________________
1/2 1/2 6
(1 - 4 z) (1 + (1 - 4 z) )
1, 8, 45, 220, 1001, 4368, 18564, 77520, 319770, 1307504, 5311735,
21474180, 86493225, 347373600, 1391975640, 5567902560, 22239974430,
88732378800
Coefficients of Chebyshev polynomials
Réf.
LA56 516.
H I S 2 A2697
Approximants de Padé
H I S 1 N1923
Fraction rationnelle
1
__________
2
(4 z - 1)
1, 8, 48, 256, 1280, 6144, 28672, 131072, 589824, 2621440, 11534336,
50331648
A.292
Coefficients of Chebyshev polynomials
Réf.
LA56 516.
H I S 2 A2698
Approximants de Padé
H I S 1 N2189
Fraction rationnelle
2
1 + 6 z - 8 z
_______________
3
(1 - 4 z)
1, 18, 160, 1120, 6912, 39424, 212992, 1105920, 5570560, 27394048,
132120576
Réf.
LA56 518.
H I S 2 A2699
Approximants de Padé
H I S 1 N0825
Fraction rationnelle
2 z
___________
2
(4 z - 1)
0, 2, 16, 96, 512, 2560, 12288, 57344, 262144, 1179648, 5242880, 23068672,
100663296, 436207616, 1879048192, 8053063680, 34359738368,
146028888064, 618475290624, 2611340115968
A.293
Coefficients of Chebyshev polynomials
Réf.
LA56 518.
H I S 2 A2700
Approximants de Padé
H I S 1 N1275
Fraction rationnelle
4 z - 3
___________
3
(4 z - 1)
3, 40, 336, 2304, 14080, 79872, 430080, 2228224, 11206656, 55050240,
265289728, 1258291200
Keys
Réf.
MAG 53 11 69.
H I S 2 A2714
Approximants de Padé
H I S 1 N1832
Fraction rationnelle
2 3
7 - 9 z - 9 z + 3 z
___________________________
2 3 4
1 - 4 z + 2 z + 4 z - z
7, 19, 53, 149, 421, 1193, 3387, 9627, 27383, 77923
A.294
Réf.
MAG 46 55 62; 55 440 71. MMAG 47 290 74.
H I S 2 A2717
Approximants de Padé
H I S 1 N1569
Fraction rationnelle
1 + 2 z
_________________
4
(1 + z) (z - 1)
1, 5, 13, 27, 48, 78, 118, 170, 235, 315, 411, 525, 658, 812, 988, 1188, 1413,
1665, 1945, 2255, 2596, 2970, 3378, 3822, 4303, 4823, 5383, 5985, 6630,
7320, 8056, 8840
Réf.
SE33 78.
H I S 2 A2720
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0708
exponentielle (rationnel)
a(n) = (2 n - 2) a(n-1) + (-n^2 + 4 n-4) a(n-2)
1
____________________
(1 - z) exp(z/(z-1))
1, 2, 7, 34, 209, 1546, 13327, 130922, 1441729, 17572114, 234662231,
3405357682, 53334454417, 896324308634, 16083557845279,
306827170866106, 6199668952527617
A.295
Apéry numbers
Réf.
SE33 93. MI 1 195 78.
H I S 2 A2736
Hypergéométrique
H I S 1 N0848
algébrique
1 + 2 z
_______________
5/2
(1 - 4 z)
0, 2, 24, 180, 1120, 6300, 33264, 168168, 823680, 3938220, 18475600,
85357272, 389398464, 1757701400, 7862853600, 34901442000,
153876579840, 674412197580, 2940343837200
Coefficients for extrapolation
Réf.
SE33 97.
H I S 2 A2740
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0821
algébrique
2 3/2
6 z - 6 z + 1 + (1 - 4 z)
_______________________________
3/2 3
- 2 (1 - 4 z) z
0, 2, 15, 84, 420, 1980, 9009, 40040
A.296
Logarithmic numbers
Réf.
MAS 31 77 63. jos.
H I S 2 A2741
Recoupements
Suite P-récurrente
H I S 1 N0010
exponentielle
a(n) = (n - 3) a(n - 1) + (n - 2) a(n - 3) + (2 n - 4) a(n - 2)
ln(1 - z)
__________
exp(z)
1, 1, 2, 0, 9, 35, 230, 1624, 13209, 120287, 1214674, 13469896, 162744945,
2128047987, 29943053062, 451123462672, 7245940789073,
123604151490591
Logarithmic numbers
Réf.
MAS 31 78 63. jos.
H I S 2 A2747
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0759
exponentielle
a(n) = 2 a(n - 1) + (n^2 - n - 1) a(n - 2) + (- 2 n^2 + 6 n - 4) a(n - 3)
+ (n^2 - 5 n + 6) a(n - 4)
3 2
exp(z) (z - z - z - 1)
_________________________
2 2
(1 - z) (z + 1)
1, 2, 9, 28, 185, 846, 7777, 47384, 559953, 4264570, 61594841, 562923252,
9608795209, 102452031878, 2017846993905, 24588487650736,
548854382342177
A.297
Terms in certain determinants
Réf.
PLMS 10 122 1879.
H I S 2 A2775
Dérivée logarithmique
H I S 1 N1927
Fraction rationnelle
2
z + 4 z + 1
_____________
4
(z - 1)
0, 1, 8, 54, 384, 3000, 25920, 246960, 2580480
Réf.
IJ1 11 162 69.
H I S 2 A2783
Approximants de Padé
H I S 1 N1159
Fraction rationnelle
2
1 - 3 z + 4 z
__________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z)
1, 3, 11, 39, 131, 423, 1331, 4119, 12611, 38343, 116051, 350199, 1054691,
3172263, 9533171, 28632279, 85962371, 258018183, 774316691,
2323474359, 6971471651, 20916512103
A.298
Réf.
JRAM 227 49 67.
H I S 2 A2798
Approximants de Padé
H I S 1 N2186
Fraction rationnelle
2
3 (6 + 9 z + 2 z )
__________________
2
(1 + z) (z - 1)
18, 45, 69, 96, 120, 147, 171
Réf.
AJM 2 94 1879. LU91 1 223.
H I S 2 A2801
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1 N0744
exponentielle (algébrique) Formule de B. Salvy
a(n) = (2 n - 3) a(n - 1) + (- n + 2) a(n - 2)
3/4
exp(1/2 z) 2
__________________
1/4
(- 1 + 2 z)
1, 1, 2, 8, 50, 418, 4348, 54016, 779804, 12824540, 236648024, 4841363104,
108748223128, 2660609220952, 70422722065040, 2005010410792832
A.299
Réf.
JO39 449. JCT 13 215 72.
H I S 2 A2802
Hypergéométrique
H I S 1 N2019
algébrique
2F1([5/2], [ ], 4 z)
1
________________
5/2
( 1 - 4 z)
1, 10, 70, 420, 2310, 12012, 60060, 291720, 1385670, 6466460, 29745716,
135207800, 608435100, 2714556600, 12021607800, 52895074320,
231415950150, 1007340018300
Réf.
JO39 449. JCT B18 258 75.
H I S 2 A2803
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N2140
algébrique
2F 1([5/2], [ ], 4 z)
1 + z
______________
7/2
(1 - 4 z)
1, 15, 140, 1050, 6930, 42042, 240240, 1312740, 6928350, 35565530,
178474296, 878850700, 4259045700, 20359174500, 96172862400,
449608131720, 2082743551350
A.300
Réf.
PIEE 115 763 68. DM 55 272 85.
H I S 2 A2807
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N1867
a(n) = n a(n - 5) + (6 n + 1) a(n - 3)
- (4 n + 7) a(n - 2)
+ (n + 5) a(n - 1) - 2 a(n - 5)
+ (- 4 n + 4) a(n - 4)
0, 0, 1, 7, 37, 197, 1172, 8018, 62814, 556014, 5488059, 59740609,
710771275, 9174170011, 127661752406, 1904975488436, 30341995265036,
513771331467372, 9215499383109573
Doubly triangular numbers
Réf.
TCPS 9 477 1856. SIAC 4 477 75. ANS 4 1178 76.
H I S 2 A2817
Approximants de Padé
H I S 1 N1718
Fraction rationnelle
2
1 + z + z
____________
5
(1 - z)
1, 6, 21, 55, 120, 231, 406, 666, 1035, 1540, 2211, 3081, 4186, 5565, 7260,
9316, 11781, 14706, 18145, 22155, 26796, 32131, 38226, 45150, 52975,
61776, 71631, 82621
A.301
Partitions of n into parts 1/2, 3/4, 7/8, etc
Réf.
EMS 11 224 59.
H I S 2 A2843
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1 N0405
Fraction rationnelle
2 2
(z + z + 1) (z - 1)
_______________________
3 4
1 - 2 z - z + 3 z
1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 43, 78, 141, 253, 456
Partitions of n with no part of size 1
Réf.
TAIT 1 334. AS1 836.
H I S 2 A2865
Euler
H I S 1 N0113
Produit infini
c(n) = 0,1,1,1,1,1,...
1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 34, 41, 55, 66, 88, 105, 137, 165, 210,
253, 320, 383, 478, 574, 708, 847, 1039, 1238, 1507, 1794, 2167, 2573, 3094,
3660, 4378, 5170
A.302
Réf.
PSPM 19 172 71.
H I S 2 A2866
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1 N1463
Fraction rationnelle
a(n) = 2 ^ (n-1) Γ(n+1)
1
__________
2
(1 - 2 z)
1, 4, 24, 192, 1920, 23040, 322560, 5160960, 92897280, 1857945600,
40874803200, 980995276800, 25505877196800, 714164561510400,
21424936845312000, 685597979049984000
Réf.
PSPM 19 172 71.
H I S 2 A2867
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1 N0806
algébrique
f.g. exponentielle
a(n) = 2 a(n - 1) + (4 n^2 - 12 n + 8) a(n - 2)
1
____________________________
3/2 1/2
(1 - 2 z) (2 z + 1)
1, 2, 12, 72, 720, 7200, 100800, 1411200, 25401600, 457228800,
10059033600, 221298739200, 5753767219200, 149597947699200,
4487938430976000, 134638152929280000
A.303
Sorting numbers
Réf.
PSPM 19 173 71.
H I S 2 A2871
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1 N0483
exponentielle
exp(1/2 exp(2 z) + exp(z) - 3/2)
1, 2, 4, 12, 48, 200, 1040, 5600, 33600
Sorting numbers
Réf.
PSPM 19 173 71.
H I S 2 A2874
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1 N0738
exponentielle
exp(1/3 exp(3 z) + exp(z) - 4/3)
1, 2, 8, 42, 268, 1994, 16852
A.304
Bisection of Lucas sequence
Réf.
FQ 9 284 71.
H I S 2 A2878
Approximants de Padé
H I S 1 N1384
Fraction rationnelle
1 + z
_____________
2
1 - 3 z + z
1, 4, 11, 29, 76, 199, 521, 1364, 3571, 9349, 24476, 64079, 167761, 439204,
1149851, 3010349, 7881196, 20633239, 54018521, 141422324, 370248451,
969323029
Réf.
AIP 9 345 60. SIAR 17 168 75.
H I S 2 A2893
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1 N1214
a(n) = ∑ C(n,k) ^ 2 .C(2k,k), k=0..n
2 2
(n - 1) a(n) = (10 n - 30 n + 23) a(n - 1)
2
+ (- 9 n + 36 n - 36) a(n - 2)
1, 3, 15, 93, 639, 4653, 35169, 272835, 2157759, 17319837, 140668065,
1153462995, 9533639025, 79326566595, 663835030335, 5582724468093,
47152425626559, 399769750195965
A.305
2n-step polygons on square lattice
Réf.
AIP 9 345 60.
H I S 2 A2894
hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1490
Intégrales elliptiques
2F1 ([1/2, 1/2], [1], 16 z)
1, 4, 36, 400, 4900, 63504, 853776
2n-step polygons on b.c.c. lattice
Réf.
AIP 9 345 60.
H I S 2 A2897
hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1 N1952
Intégrales elliptiques
3F2 ([1/2, 1/2, 1/2], [1, 1], 64 z)
1, 8, 216, 8000, 343000, 16003008, 788889024
A.306
Réf.
JALG 20 173 72.
H I S 2 A2965
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 2 z + z + z
___________________
2 4
1 - 2 z - z
1, 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99, 169, 239, 408, 577, 985, 1393, 2378, 3363,
5741, 8119, 13860, 19601, 33461, 47321, 80782, 114243, 195025, 275807,
470832
Problimes (second definition)
Réf.
AMM 80 677 73.
H I S 2 A3067
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
Conjecture seulement , le dernier terme aurait dû être : 89
9 5 2
z + z + z + 2
__________________
2
(z - 1)
2, 4, 7, 10, 13, 17, 21, 25, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 90
A.307
Partitions of n into parts 6n+1 or 6n-1
Réf.
H I S 2 A3105
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = n congru à 1,5 mod 6
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 23, 26, 30, 34,
38, 42, 47, 53, 60, 67, 74, 82, 91, 102, 114, 126, 139, 153, 169, 187, 207, 228,
250, 274, 301, 331, 364
Partitions of n into parts 5n+2 or 5n+3
Réf.
AN76 238. AMM 95 711 88; 96 403 89.
H I S 2 A3106
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = n congru à 2,3 mod 5
1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 16, 20, 22, 26, 29, 35, 38,
45, 50, 58, 64, 75, 82, 95, 105, 120, 133, 152, 167, 190, 210, 237, 261, 295,
324, 364, 401, 448, 493, 551
A.308
Partitions of n into Fibonacci parts
Réf.
H I S 2 A3107
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = Nombres de Fibonacci.
1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 17, 22, 27, 33, 41, 49, 59, 71, 83, 99, 115, 134, 157,
180, 208, 239, 272, 312, 353, 400, 453, 509, 573, 642, 717, 803, 892, 993,
1102, 1219, 1350
Partitions of n into cubes
Réf.
H I S 2 A3108
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = 1,8,27,64,... Cubes
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5,
5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13,
13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 17, 17
A.309
Partitions of n into parts 5n+1 and 5n-1
Réf.
AN76 238. AMM 95 711 88; 96 403 89.
H I S 2 A3114
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = n congru à 1,4 mod 5
1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 17, 19, 23, 26, 31, 35, 41, 46, 54,
61, 70, 79, 91, 102, 117, 131, 149, 167, 189, 211, 239, 266, 299, 333, 374,
415, 465, 515, 575, 637
Arborescences of type (n,1)
Réf.
DM 5 197 73.
H I S 2 A3120
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(z - 1) (3 z + z - 1)
___________________________
2 3 4
1 - 3 z - z + 7 z - 3 z
1, 1, 2, 3, 7, 13, 31, 66, 159
A.310
Réf.
KN1 3 207.
H I S 2 A3143
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3 4 5 6 7
1 + z - z + z - z + z
______________________________________________
2 2 2
(z - 1) (1 - z + z ) (z + z + 1) (- 1 + 2 z )
1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 27, 38, 54, 77, 109, 155, 219, 310, 438, 621, 877,
1243, 1755, 2486, 3510, 4973, 7021, 9947, 14043, 19894, 28086, 39789,
56173, 79579, 112347
Réf.
FQ 10 171 72.
H I S 2 A3148
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
f.g. exponentielle
a(n) = a(n - 1) + (4 n^2 - 14 n + 12) a(n - 2)
1
_________________________
1/2
(1 - 2 z) (1 + 2 z)
1, 1, 7, 27, 321, 2265, 37575, 390915, 8281665, 114610545, 2946939975,
51083368875, 1542234996225, 32192256321225, 1114841223671175
A.311
Star numbers
Réf.
GA88 20.
H I S 2 A3154
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z + 10 z + 1
______________
3
(1 - z)
1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1093, 1261, 1441,
1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537,
4873, 5221, 5581
If n appears, 2n doesn't
Réf.
FQ 10 501 72. AMM 87 671 80.
H I S 2 A3159
Euler
Suite reliée à la suite de
H I S 1
Produit infini
Thue-Morse.
* Voir [AABBJPS]
c(n) = 1,3,5,11,21,43,85,171,...*
1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 33, 35,
36, 37, 39, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 55, 57, 59, 60, 61, 63, 64, 65,
67, 68, 69, 71
A.312
∑ C(n,k).C(2n+k,k-1)/n, k=1...n
Réf.
FQ 11 123 73.
H I S 2 A3168
Inverse fonctionnel
Suite p-récurrente
H I S 1
algébrique
Inverse ordinaire de A3169
L'inverse fonctionnel est rationnel.
/ z \ <-1>
Solution de | ____________________ |
| 2 |
\ (1 + 2 z) (z + 1) /
1, 1, 4, 21, 126, 818, 5594, 39693, 289510, 2157150, 16348960, 125642146,
976789620, 7668465964, 60708178054, 484093913917, 3884724864390
2-line arrays
Réf.
FQ 11 124 73; 14 232 76.
H I S 2 A3169
Inverse fonctionnel
Suite p-récurrente
H I S 1
algébrique
Inverse ordinaire de A3168
/ 1 + z \ <-1>
Solution de | __________________ |
| 2 3 |
\ 3 - 2 z + z /
1, 3, 14, 79, 494, 3294, 22952, 165127, 1217270, 9146746, 69799476,
539464358, 4214095612, 33218794236, 263908187100, 2110912146295,
16985386737830
A.313
Hex numbers
Réf.
INOC 24 4550 85. AMM 95 701 88. GA88 18.
H I S 2 A3215
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 4 z + z
______________
3
(1 - z)
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817,
919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437,
2611, 2791, 2977
Even permutations of length n with no fixed points
Réf.
AMM 79 394 72.
H I S 2 A3221
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle
a(n) = 3 n a(n - 2) + (n - 1) a(n - 1) + (3 n - 1) a(n - 3) + (n - 1) a(n - 4)
2 3 4 5
4 - 6 z + 16 z - 13 z + 6 z - z
___________________________________
4
2 (z - 1) exp(z)
0, 0, 2, 3, 24, 130, 930, 7413, 66752, 667476, 7342290, 88107415,
1145396472, 16035550518, 240533257874, 3848532125865,
65425046139840, 1177650830516968
A.314
Réf.
DT76.
H I S 2 A3229
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 2 z
_____________
3
1 - z - 2 z
1, 1, 3, 5, 7, 13, 23, 37, 63, 109, 183, 309, 527, 893, 1511, 2565, 4351, 7373,
12503, 21205, 35951, 60957, 103367, 175269, 297183, 503917, 854455,
1448821, 2456655
Réf.
DT76.
H I S 2 A3230
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
________________________________
3
(z - 1) (2 z - 1) (1 - z - 2 z )
1, 4, 11, 28, 67, 152, 335, 724, 1539, 3232, 6727, 13900, 28555, 58392,
118959, 241604, 489459, 989520, 1997015, 4024508, 8100699, 16289032,
32726655, 65705268, 131837763
A.315
Partially achiral planted trees
Réf.
JRAM 278 334 75.
H I S 2 A3237
Approximants de Padé
conjecture faible
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 5
z (1 - z - z - z + z )
_________________________
2 5
1 - z - 2 z + 3 z
0, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 33, 62, 110, 204
Partially achiral trees
Réf.
JRAM 278 334 75.
H I S 2 A3243
Approximants de Padé
conjecture faible
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 5 6
1 - z - 2 z - 8 z + 7 z + 4 z
____________________________________
2 3 4 5
1 - z - z - 2 z - 6 z + 14 z
1, 1, 1, 2, 3, 6, 9, 19, 30, 61, 99, 208
A.316
Related to Fibonacci representations
Réf.
FQ 11 386 73.
H I S 2 A3253
Approximants de Padé
conjecture seulement
H I S 1
Fraction rationnelle
2 15 16
1 + z + z + z - z
________________________
2 3
1 - z - z + z
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 31, 33, 34,
36, 37, 39, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 51, 52, 54, 55, 57, 58, 60, 62, 63, 65, 66,
68, 69, 71, 72
Woodall numbers
Réf.
BR73 159.
H I S 2 A3261
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 2 z - 4 z
__________________
2
(1 - z) (2 z - 1)
1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 4607, 10239, 22527, 49151, 106495,
229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519,
44040191, 92274687
A.317
Réf.
BR72 120.
H I S 2 A3269
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________
4
1 - z - z
1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 36, 50, 69, 95, 131, 181, 250, 345, 476,
657, 907, 1252, 1728, 2385, 3292, 4544, 6272, 8657, 11949, 16493, 22765,
31422, 43371, 59864
Key permutations of length n
Réf.
CJN 14 152 71.
H I S 2 A3274
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 5
1 - z + 3 z - 2 z + z
__________________________
3 2
(1 - z - z ) (z - 1)
1, 2, 6, 12, 20, 34, 56, 88, 136, 208, 314, 470, 700, 1038, 1534, 2262, 3330,
4896, 7192, 10558, 15492, 22724, 33324, 48860, 71630, 105002, 153912,
225594, 330650
A.318
4-line partitions of n decreasing across rows
Réf.
MOC 26 1004 72.
H I S 2 A3292
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = 1,1,2,2,2,2,...
1, 2, 4, 7, 11, 19, 29, 46, 70, 106, 156, 232, 334, 482, 686, 971, 1357, 1894,
2612, 3592, 4900, 6656, 8980, 12077, 16137, 21490, 28476, 37600, 49422,
64763, 84511
Planar partitions of n decreasing across rows
Réf.
MOC 26 1004 72.
H I S 2 A3293
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,...
1, 2, 4, 7, 12, 21, 34, 56, 90, 143, 223, 348, 532, 811, 1224, 1834, 2725, 4031,
5914, 8638, 12540, 18116, 26035, 37262, 53070, 75292, 106377, 149738,
209980
A.319
Certain triangular arrays of integers
Réf.
P4BC 112.
H I S 2 A3402
Euler
H I S 1
Fraction rationnelle
1
____________________________________________
2 3 2 4 5
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 1, 2, 4, 6, 9, 14, 19, 27, 37, 49, 64, 84, 106, 134, 168, 207, 253, 309, 371,
445, 530, 626, 736, 863, 1003, 1163, 1343, 1543, 1766, 2017, 2291, 2597,
2935, 3305, 3712, 4161
Certain triangular arrays of integers
Réf.
P4BC 118.
H I S 2 A3403
Euler
H I S 1
Fraction rationnelle
* c(n) : suite finie.
c(n) = 1,1,2,2,2,1,1.*
1, 1, 2, 4, 7, 11, 18, 27, 41, 60, 87, 122, 172, 235, 320, 430, 572, 751, 982,
1268, 1629, 2074, 2625, 3297, 4123, 5118, 6324, 7771, 9506, 11567, 14023,
16917, 20335
A.320
Connected ladder graphs with n nodes
Réf.
DM 9 355 74.
H I S 2 A3409
Recoupements
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
6
_______________________________
1/2 1/2
(1 - 4 z) (1 + (1 - 4 z) )
3, 9, 30, 105, 378, 1386, 5148, 19305
Réf.
rkg.
H I S 2 A3410
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (1 + z )
________________
3
1 + z + z
1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 22, 32, 47, 69, 101, 148, 217, 318, 466, 683, 1001, 1467,
2150, 3151, 4618, 6768, 9919, 14537, 21305, 31224, 45761, 67066, 98290,
144051, 211117
A.321
Réf.
rkg.
H I S 2 A3411
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
4 3 2
z + z + z + z + 1
_____________________
4
1 + z + z
1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 15, 21, 29, 40, 55, 76, 105, 145, 200, 276, 381, 526, 726,
1002, 1383, 1909, 2635, 3637, 5020, 6929, 9564, 13201, 18221, 25150,
34714, 47915, 66136
From a nim-like game
Réf.
rkg.
H I S 2 A3413
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
5 3 2
(z + z + 1) (z + z + 1)
__________________________
6
z + z - 1
1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15, 19, 24, 31, 40, 52, 67, 86, 110, 141, 181, 233, 300,
386, 496, 637, 818, 1051, 1351, 1737, 2233, 2870, 3688, 4739, 6090, 7827,
10060, 12930
A.322
Continued fraction expansion of e = exp(1)
Réf.
PE29 134.
H I S 2 A3417
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 6
2 + z + 2 z - 3 z - z + z
______________________________
2 2 2
(z - 1) (z + z + 1)
2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1,
20, 1, 1, 22, 1, 1, 24, 1, 1, 26, 1, 1, 28, 1, 1, 30, 1, 1, 32, 1, 1, 34, 1, 1, 36, 1, 1,
38, 1, 1, 40, 1, 1, 42
Hamiltonian circuits on n-octahedron
Réf.
JCT B19 2 75.
H I S 2 A3436
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle (algébrique)
Une relation élémentaire existe avec A0806.
a(n) = (2 n + 2) a(n - 1)
- a(n - 3) + (- 2 n + 4) a(n - 2)
1, 4, 31, 293, 3326, 44189, 673471, 11588884, 222304897, 4704612119,
108897613826, 2737023412199, 74236203425281, 2161288643251828
A.323
Dissections of a polygon
Réf.
AEQ 18 387 78.
H I S 2 A3451
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z - 2 z - 1
__________________
4 2
(z - 1) (z + 1)
1, 4, 8, 16, 25, 40, 56, 80, 105, 140, 176, 224
Dissections of a polygon
Réf.
AEQ 18 388 78.
H I S 2 A3453
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z - z - 1
__________________
4 2
(z - 1) (z + 1)
1, 3, 6, 11, 17, 26, 36, 50, 65, 85, 106, 133
A.324
Bode numbers
Réf.
SKY 43 281 72. MCL1.
H I S 2 A3461
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
4 - 5 z - 3 z
__________________
(2 z - 1) (z - 1)
4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196, 388, 772, 1540, 3076, 6148, 12292, 24580,
49156, 98308, 196612, 393220, 786436, 1572868, 3145732, 6291460,
12582916, 25165828
Réf.
RI89 60.
H I S 2 A3462
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_________________
(1 - z) (1 - 3 z)
1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, 88573, 265720, 797161,
2391484, 7174453, 21523360, 64570081, 193710244, 581130733,
1743392200, 5230176601
A.325
Minimal covers of an n-set
Réf.
DM 5 249 73.
H I S 2 A3467
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
Fraction rationnelle
Formule de B. Salvy
(n - 1) (n - 2) a(n) = (n + 2) (5 n - 10) a(n - 1) + (n + 2) (- 4 n - 4) a(n - 2)
1 3
1 + __________ + ________
4 4
(4 z - 1) (z - 1)
5, 28, 190, 1340, 9065, 57512, 344316, 1966440, 10813935, 57672340,
299893594, 1526727748, 7633634645, 37580965520, 182536112120,
876173330832
Minimal covers of an n-set
Réf.
DM 5 249 73.
H I S 2 A3468
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_______________________________________
(1 - 4 z) (1 - 5 z) (1 - 6 z) (1 - 7 z)
1, 22, 305, 3410, 33621, 305382, 2619625, 21554170, 171870941,
1337764142, 10216988145, 76862115330, 571247591461, 4203844925302,
30687029023865
A.326
Minimal covers of an n-set
Réf.
DM 5 249 73.
H I S 2 A3469
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - z - z
____________________
2 3
(2 z - 1) (1 - z)
1, 6, 22, 65, 171, 420, 988, 2259, 5065, 11198, 24498, 53157, 114583,
245640, 524152, 1113959, 2359125, 4980546, 10485550, 22019865,
46137091, 96468716
Réf.
PRSE 62 190 46. AS1 796. MFM 74 62 70 (divided by 2).
H I S 2 A3472
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
__________
5
(1 - 2 z)
1, 10, 60, 280, 1120, 4032, 13440, 42240, 126720, 366080, 1025024,
2795520, 7454720, 19496960, 50135040, 127008768, 317521920,
784465920, 1917583360
A.327
Réf.
DT76.
H I S 2 A3476
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + z + z
_____________
3
1 - z - 2 z
1, 2, 3, 5, 9, 15, 25, 43, 73, 123, 209, 355, 601, 1019, 1729, 2931, 4969, 8427,
14289, 24227, 41081, 69659, 118113, 200275, 339593, 575819, 976369,
1655555
Réf.
DT76.
H I S 2 A3477
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_________________________________
3 2
(1 - 2 z) (1 - z - 2 z ) (1 + z )
1, 3, 6, 14, 33, 71, 150, 318, 665, 1375, 2830, 5798, 11825, 24039, 48742,
98606, 199113, 401455, 808382, 1626038, 3267809, 6562295, 13169814,
26416318, 52962681
A.328
Réf.
DT76.
H I S 2 A3478
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
________________________
3
(1 - 2 z) (1 - z - 2 z )
1, 3, 7, 17, 39, 85, 183, 389, 815, 1693, 3495, 7173, 14655, 29837, 60567,
122645, 247855, 500061, 1007495, 2027493, 4076191, 8188333, 16437623,
32978613, 66132495
Réf.
DT76.
H I S 2 A3479
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_____________________
3
(1 - z) (1 - z - 2 z )
1, 2, 3, 6, 11, 18, 31, 54, 91, 154, 263, 446, 755, 1282, 2175, 3686, 6251,
10602, 17975, 30478, 51683, 87634, 148591, 251958, 427227, 724410,
1228327, 2082782
A.329
Réf.
MOC 29 220 75. DM 75 95 89.
H I S 2 A3480
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(z - 1)
_______________
2
1 - 4 z + 2 z
1, 2, 7, 24, 82, 280, 956, 3264, 11144, 38048, 129904, 443520, 1514272,
5170048, 17651648, 60266496, 205762688, 702517760, 2398545664,
8189147136, 27959497216
Réf.
DM 9 89 74.
H I S 2 A3481
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
2 + 4 z - z
____________________
2 3
1 - 8 z + 8 z - z
2, 20, 143, 986, 6764, 46367, 317810, 2178308, 14930351, 102334154,
701408732, 4807526975, 32951280098, 225851433716, 1548008755919
A.330
Réf.
DM 9 89 74.
H I S 2 A3482
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
5 - z
____________________
2 3
1 - 8 z + 8 z - z
0, 5, 39, 272, 1869, 12815, 87840, 602069, 4126647, 28284464, 193864605,
1328767775, 9107509824, 62423800997, 427859097159, 2932589879120
Hurwitz-Radon function at powers of 2
Réf.
LA73a 131.
H I S 2 A3485
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + z + 2 z + 4 z
_____________________
4
(1 - z) (1 - z )
1, 2, 4, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18, 20, 24, 25, 26, 28, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 42,
44, 48, 49, 50, 52, 56, 57, 58, 60, 64, 65, 66, 68, 72, 73, 74, 76, 80, 81, 82, 84,
88, 89, 90, 92, 96
A.331
Réf.
B1 198. MMAG 48 209 75.
H I S 2 A3499
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - 6 z
_____________
2
1 - 6 z + z
2, 6, 34, 198, 1154, 6726, 39202, 228486, 1331714, 7761798, 45239074,
263672646, 1536796802, 8957108166, 52205852194, 304278004998,
1773462177794
Réf.
FQ 11 29 73. MMAG 48 209 75.
H I S 2 A3500
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - 4 z
_____________
2
1 - 4 z + z
2, 4, 14, 52, 194, 724, 2702, 10084, 37634, 140452, 524174, 1956244,
7300802, 27246964, 101687054, 379501252, 1416317954, 5285770564,
19726764302
A.332
Réf.
MMAG 48 209 75.
H I S 2 A3501
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - 5 z
_____________
2
1 - 5 z + z
2, 5, 23, 110, 527, 2525, 12098, 57965, 277727, 1330670, 6375623,
30547445, 146361602, 701260565, 3359941223, 16098445550,
77132286527, 369562987085
Binomial coefficients C (2n + 1, n - 2)
Réf.
AS1 828.
H I S 2 A3516
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
2F1([3, 7/2], [6], 4 z)
32
________________________________
1/2 1/2 5
(1 - 4 z) (1 + (1 - 4 z) )
1, 7, 36, 165, 715, 3003, 12376, 50388, 203490, 817190, 3268760, 13037895,
51895935, 206253075, 818809200, 3247943160, 12875774670, 51021117810
A.333
Binomial coefficients 6C(2n+1,n-2)/(n+4)
Réf.
FQ 14 397 76. DM 14 84 76.
H I S 2 A3517
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
2F1([3, 7/2], [7], 4 z)
64
_____________________
1/2 6
(1 + (1 - 4 z) )
1, 6, 27, 110, 429, 1638, 6188, 23256, 87210, 326876, 1225785, 4601610,
17298645, 65132550, 245642760, 927983760, 3511574910, 13309856820,
50528160150
Binomial coefficients 8C(2n+1,n-3)/(n+5)
Réf.
FQ 14 397 76. DM 14 84 76.
H I S 2 A3518
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
2F1([9/2 , 4] , [9], 4 z)
256 z
___________________
1/2 8
(1 + (1 - 4 z) )
1, 8, 44, 208, 910, 3808, 15504, 62016, 245157, 961400, 3749460, 14567280,
56448210, 218349120, 843621600, 3257112960, 12570420330, 48507033744
A.334
Binomial coefficients 10C(2n+1,n-4)/(n+6)
Réf.
FQ 14 397 76.
H I S 2 A3519
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
2F1([11/2,5],[11],4z)
1024
______________________
1/2 10
(1 + (1 - 4 z) )
1, 10, 65, 350, 1700, 7752, 33915, 144210, 600875, 2466750, 10015005,
40320150, 161280600, 641886000, 2544619500, 10056336264, 39645171810
Réf.
BR72 119. FQ 14 38 76.
H I S 2 A3520
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
__________________________
2 3 2
(1 - z - z ) (1 - z + z )
1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 15, 20, 26, 34, 45, 60, 80, 106, 140, 185, 245,
325, 431, 571, 756, 1001, 1326, 1757, 2328, 3084, 4085, 5411, 7168, 9496,
12580, 16665, 22076, 29244
A.335
Réf.
BR72 113.
H I S 2 A3522
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(z - 1)
__________________________
2 3 4
1 - 3 z + 3 z - z - z
1, 1, 1, 1, 2, 5, 11, 21, 37, 64, 113, 205, 377, 693, 1266, 2301, 4175, 7581,
13785, 25088, 45665, 83097, 151169, 274969, 500162, 909845, 1655187,
3011157, 5477917, 9965312
Réf.
JCT A29 122 80. MOC 37 479 81.
H I S 2 A4004
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z (1 + 3 z)
____________________
2
(1 - 9 z ) (z - 1)
0, 1, 14, 135, 1228, 11069, 99642, 896803, 8071256, 72641337, 653772070,
5883948671, 52955538084, 476599842805, 4289398585298,
38604587267739, 347441285409712, 3126971568687473
A.336
Coefficients of elliptic function sn
Réf.
CA95 56. TM93 4 92. JCT A29 122 80. MOC 37 480 81.
H I S 2 A4005
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 89 z - 69 z - 405 z
______________________________
3 2
(1 - z) (1 - 9 z) (1 - 25 z)
1, 135, 5478, 165826, 4494351, 116294673, 2949965020, 74197080276,
1859539731885, 46535238000235, 1163848723925346,
29100851707716150, 727566807977891803
Theta series of square lattice
Réf.
SPLAG 106.
H I S 2 A4018
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [4, -6, 4, -2] est périodique
c(n) = 4,-6,4,-2,...*
1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 12, 8, 0, 0, 8, 0,
0, 4, 0, 8, 0, 4, 8, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, 12, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 8,
0, 0, 4, 16, 0, 0, 8, 0
A.337
Theta series of square lattice w.r.t. edge.
Réf.
SPLAG 106.
H I S 2 A4020
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [2, -2] est périodique
c(n) = 2,-2,...*
2, 4, 2, 4, 4, 0, 6, 4, 0, 4, 4, 4, 2, 4, 0, 4, 8, 0, 4, 0, 2, 8, 4, 0, 4, 4, 0, 4, 4, 4, 2,
8, 0, 0, 4, 0, 8, 4, 4, 4, 0, 0, 6, 4, 0, 4, 8, 0, 4, 4, 0, 8, 0, 0, 0, 8, 6, 4, 4, 0, 4, 4,
0, 0, 4, 4, 8, 4
Theta series of b.c.c. lattice w.r.t. deep hole
Réf.
JCP 83 6532 85.
H I S 2 A4024
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [1, 1, 1, -3] est périodique
c(n) = 1,1,1,-3,...*
4, 4, 8, 12, 4, 12, 12, 12, 16, 16, 8, 8, 28, 12, 20, 24, 8, 16, 28, 12, 16, 28, 20,
32, 20, 16, 16, 32, 20, 24, 28, 8, 36, 44, 12, 32, 36, 16, 24, 20, 28, 20, 56, 28,
16, 40, 20, 40, 44, 12
A.338
Theta series of b.c.c. lattice w.r.t. long edge
Réf.
JCP 6532 85.
H I S 2 A4025
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [2, -3, 2, 1, 2, -3, 2, -3] est périodique
c(n) = 2,-3,2,1,2,-3,2,-3,...*
2, 4, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 10, 8, 0, 0, 8, 16, 0, 0, 16, 12, 0, 0, 16, 8, 0, 0, 10, 24, 0, 0,
24, 16, 0, 0, 16, 16, 0, 0, 8, 24, 0, 0, 32, 16, 0, 0, 24, 16, 0, 0, 18, 28, 0, 0, 24,
32, 0, 0, 16, 8, 0
Réf.
AMM 87 206 80.
H I S 2 A4116
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
z - z - 1
_______________
3
(1 + z) (z - 1)
1, 3, 6, 9, 13, 17, 22, 27, 33, 39, 46, 53, 61, 69, 78, 87, 97, 107, 118, 129, 141,
153, 166, 179, 193, 207, 222, 237, 253, 269, 286, 303, 321, 339, 358, 377,
397, 417, 438, 459
A.339
Réf.
MOC 30 660 76.
H I S 2 A4119
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + z - 3 z
_________________
(2 z - 1) (z - 1)
1, 4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153,
98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, 3145729, 6291457, 12582913,
25165825
Réf.
SIAR 12 296 70.
H I S 2 A4120
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
5
1 + z - z
____________
3
(1 - z)
1, 4, 9, 16, 25, 35, 46, 58, 71, 85, 100, 116, 133, 151, 170, 190, 211
A.340
Postage stamp problem
Réf.
SIAA 1 383 80.
H I S 2 A4129
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1
Fraction rationnelle
4 3 2 2
(z + z + 2 z + 2 z + 1) (z + z + 1)
_______________________________________
5 4 3
(z - 1) (z + z + z - z - 1)
1, 3, 6, 9, 13, 17, 22, 27, 33, 40, 47, 56, 65
A counter moving problem
Réf.
BA62 38.
H I S 2 A4138
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
1 - z + 4 z - 2 z
________________________________
4 3 2
(z - 1) (2 z - z + z + z - 1)
1, 2, 3, 8, 13, 24, 37, 66, 107, 186, 303, 516, 849, 1436, 2377, 3998, 6639,
11134, 18531, 31024, 51701, 86464, 144205, 241018, 402163, 671906,
1121463, 1873244
A.341
Alternate Lucas numbers - 2
Réf.
FQ 13 51 75.
H I S 2 A4146
Approximants de Padé
Suite P-récurrente
H I S 1
fraction rationnelle
Suite corrigée au 12è terme.
1 + z
_____________________
2 3
1 - 4 z + 4 z - z
1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205, 5776, 15125, 39601, 103680*, 271441,
710645, 1860496, 4870845, 12752041, 33385280, 87403801, 228826125,
599074576
Generalized Catalan numbers
Réf.
DM 26 264 79. JCT B29 89 80.
H I S 2 A4148
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 2) a(n) = (4 - n) a(n - 4) + (2 n + 1) a(n - 1)
+ (n - 1) a(n - 2) + (2 n - 5) a(n - 3)
2 2 3 4 1/2
1 - z - z - (1 - 2 z - z - 2 z + z )
______________________________________________
3
2 z
1, 1, 2, 4, 8, 17, 37, 82, 185, 423, 978, 2283, 5373, 12735, 30372, 72832,
175502, 424748, 1032004, 2516347
A.342
Related to symmetric groups
Réf.
DM 21 320 78.
H I S 2 A4211
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1
exponentielle
exp(1/2 exp(2 z) + 2 z - 1/2)
1, 3, 11, 49, 257, 1539, 10299, 75905
Related to symmetric groups
Réf.
DM 21 320 78.
H I S 2 A4212
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1
exponentielle
exp(1/3 exp(3 z) + 3 z - 1/3)
1, 4, 19, 109, 742, 5815, 51193, 498118
A.343
Related to symmetric groups
Réf.
DM 21 320 78.
H I S 2 A4213
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1
exponentielle
exp(1/4 exp(4 z) + 4 z - 1/4)
1, 5, 29, 201, 1657, 15821, 170389, 2032785
Pythagoras theorem generalized
Réf.
BU71 75.
H I S 2 A4253
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 - z
_____________
2
1 - 5 z + z
1, 4, 19, 91, 436, 2089, 10009, 47956, 229771, 1100899, 5274724, 25272721,
121088881, 580171684, 2779769539, 13318676011, 63813610516,
305749376569
A.344
Pythagoras theorem generalized
Réf.
BU71 75.
H I S 2 A4254
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_____________
2
1 - 5 z + z
1, 5, 24, 115, 551, 2640, 12649, 60605, 290376, 1391275, 6665999,
31938720, 153027601, 733199285, 3512968824, 16831644835,
80645255351, 386394631920
Réf.
dsk.
H I S 2 A4255
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z + 4 z
________________
5
(1 - z)
1, 3, 9, 25, 60, 126, 238, 414, 675, 1045, 1551, 2223, 3094, 4200, 5580, 7276,
9333, 11799, 14725, 18165, 22176, 26818, 32154, 38250, 45175, 53001,
61803, 71659
A.345
Réf.
JCT B21 75 76.
H I S 2 A4303
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 1) a(n) = 68 n a(n - 5) - 16 n a(n - 6) + (11 n - 2) a(n - 1)
+ (- 47 n + 61) a(n - 2) + (101 n - 240) a(n - 3)
+ (- 116 n + 398) a(n - 4) - 304 a(n - 5) + 88 a(n - 6)
2 3 4 5 6 7
- 1/2 (- 1 + 10 z - 42 z + 98 z - 137 z + 112 z - 48 z + 8 z
___________________________________________________________________
2 2 4
(z (2 z - 1) (z - 1) )
4 8 1/2
(- (- 1 + 4 z) (2 z - 1) (z - 1) ) )
________________________________________
2 2 4
(z (2 z - 1) (z - 1) )
1, 1, 1, 3, 16, 75, 309, 1183, 4360, 15783, 56750, 203929, 734722, 2658071,
9662093, 35292151, 129513736, 477376575, 1766738922, 6563071865,
24464169890
Davenport-Schinzel numbers
Réf.
ARS 1 47 76. UPNT E20.
H I S 2 A5004
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1
Fraction rationnelle
3 2 2
(z - z + z + 1) (z + z + 1)
_______________________________
2
(1 + z) (z - 1)
1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26
A.346
Related to symmetric groups
Réf.
DM 21 320 78.
H I S 2 A5011
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1
exponentielle
exp(1/5 exp(5 z) + 5 z - 1/5)
1, 6, 41, 331, 3176, 35451, 447981, 6282416
Related to symmetric groups
Réf.
DM 21 320 78.
H I S 2 A5012
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1
exponentielle
exp(1/6 exp(6 z) + 6 z - 1/6)
1, 7, 55, 505, 5497, 69823, 1007407, 16157905
A.347
Réf.
LNM 748 57 79.
H I S 2 A5013
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z + z + 1
_________________________
2 2
(z - z - 1) (z + z - 1)
0, 1, 1, 4, 3, 11, 8, 29, 21, 76, 55, 199, 144, 521, 377, 1364, 987, 3571, 2584,
9349, 6765, 24476, 17711, 64079, 46368, 167761, 121393, 439204, 317811,
1149851, 832040
Random walks
Réf.
DM 17 44 77.
H I S 2 A5021
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
(1 - z) (z - 5)
____________________
2 3
1 - 5 z + 6 z - z
5, 19, 66, 221, 728, 2380, 7753, 25213, 81927, 266110, 864201, 2806272,
9112264, 29587889, 96072133, 311945595, 1012883066, 3288813893,
10678716664
A.348
Random walks
Réf.
DM 17 44 77. TCS 9 105 79.
H I S 2 A5022
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_________________________
2
(1 - 2 z) (1 - 4 z + 2 z )
1, 6, 26, 100, 364, 1288, 4488, 15504, 53296, 182688, 625184, 2137408,
7303360, 24946816, 85196928, 290926848, 993379072, 3391793664,
11580678656, 39539651584
Random walks
Réf.
DM 17 44 77.
H I S 2 A5023
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
7 - 15 z + 10 z - z
_____________________________
3 2
(1 - z) (z - 9 z + 6 z - 1)
7, 34, 143, 560, 2108, 7752, 28101, 100947, 360526, 1282735, 4552624,
16131656, 57099056, 201962057, 714012495, 2523515514, 8916942687,
31504028992
A.349
Random walks
Réf.
DM 17 44 77.
H I S 2 A5024
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
8 - 21 z + 20 z - 5 z
_______________________________
2 2
(5 z - 5 z + 1) (1 - 3 z + z )
8, 43, 196, 820, 3264, 12597, 47652, 177859, 657800, 2417416, 8844448,
32256553, 117378336, 426440955, 1547491404, 5610955132, 20332248992
Random walks
Réf.
DM 17 44 77.
H I S 2 A5025
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
9 - 28 z + 35 z - 15 z + z
_____________________________________
2 3 4 5
1 - 9 z + 28 z - 35 z + 15 z - z
9, 53, 260, 1156, 4845, 19551, 76912, 297275, 1134705, 4292145, 16128061,
60304951, 224660626, 834641671, 3094322026, 11453607152, 42344301686
A.350
Réf.
JCT A23 293 77. JCP 67 5027 77. TAMS 272 406 82.
H I S 2 A5043
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 2) a(n) = 2 n a(n - 1) + 3 n a(n - 2)
2 2 1/2
1 - z - 2 z - (1 - 2 z - 3 z )
_____________________________________
3 4
2 (z + z )
0, 1, 1, 3, 6, 15, 36, 91, 232, 603, 1585, 4213, 11298, 30537, 83097, 227475,
625992, 1730787, 4805595, 13393689, 37458330, 105089229, 295673994,
834086421
Réf.
AMM 86 477 79; 86 687 79.
H I S 2 A5044
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
________________________________________
2 2 2 3
(1 + z ) (z + z + 1) (1 + z) (z - 1)
1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16,
21, 19, 24, 21, 27, 24, 30, 27, 33, 30, 37, 33, 40, 37, 44, 40, 48, 44, 52, 48, 56,
52, 61, 56, 65, 61, 70, 65
A.351
3 times 3 matrices with row and column sums n
Réf.
MO78. NAMS 26 A-27 (763-05-13) 79.
H I S 2 A5045
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
6 5 3
z - z + z - z - 1
________________________________________
2 2 2 5
(1 + z ) (z + z + 1) (1 + z) (z - 1)
1, 3, 6, 10, 17, 25, 37, 51, 70, 92, 121, 153, 194, 240, 296, 358, 433, 515, 612,
718, 841, 975, 1129, 1295, 1484, 1688, 1917, 2163, 2438, 2732, 3058, 3406,
3789, 4197, 4644
Minimal determinant of n-dimensional norm 3 lattice
Réf.
SPLAG 180.
H I S 2 A5103
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + z + 2 z + 2 z + 6 z
____________________________
3
1 - 2 z + 2 z
1, 3, 8, 16, 32, 48, 64, 64
A.352
Réf.
clm.
H I S 2 A5126
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
2 - 4 z + z
___________________
2
(1 - 2 z) (z - 1)
2, 4, 7, 12, 21, 38, 71, 136, 265, 522, 1035, 2060, 4109, 8206, 16399, 32784,
65553, 131090, 262163, 524308, 1048597, 2097174, 4194327, 8388632,
16777241, 33554458, 67108891
Réf.
CACM 23 704 76. LNM 829 122 80. MBIO 54 8 81.
H I S 2 A5172
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1
exponentielle
- 1/2 - W(- 1/2 exp(z - 1/2))
1, 4, 32, 416, 7552, 176128, 5018624, 168968192, 6563282944,
288909131776, 14212910809088, 772776684683264, 46017323176296448,
2978458881388183550
A.353
Trees of subsets of an n-set
Réf.
MBIO 54 9 81.
H I S 2 A5173
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z (1 + 6 z)
___________________________
(1 - z) (1 + 2 z) (1 + 3 z)
0, 1, 12, 61, 240, 841, 2772, 8821, 27480, 84481, 257532, 780781, 2358720,
7108921, 21392292, 64307941, 193185960, 580082161, 1741295052,
5225982301, 15682141200
Trees of subsets of an n-set
Réf.
MBIO 54 9 81.
H I S 2 A5174
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
2 z (5 + 12 z)
_____________________________________
(1 - z) (1 + 2 z) (1 + 3 z) (1 - 4 z)
0, 0, 10, 124, 890, 5060, 25410, 118524, 527530, 2276020, 9613010,
40001324, 164698170, 672961380, 2734531810, 11066546524,
44652164810, 179768037140
A.354
Trees of subsets of an n-set
Réf.
MBIO 54 9 81.
H I S 2 A5175
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 2
z (3 + 86 z + 120 z )
______________________________________________
(1 - z) (1 + 2 z) (1 + 3 z) (1 - 4 z) (1 - 5 z)
0, 0, 3, 131, 1830, 16990, 127953, 851361, 5231460, 30459980, 170761503,
931484191, 4979773890, 26223530970, 136522672653, 704553794621,
3611494269120, 18415268221960
Réf.
MMAG 63 15 90.
H I S 2 A5183
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 3 z + 3 z
___________________
2
(z - 1) (2 z - 1)
1, 2, 5, 13, 33, 81, 193, 449, 1025, 2305, 5121, 11265, 24577, 53249, 114689,
245761, 524289, 1114113, 2359297, 4980737, 10485761, 22020097,
46137345, 96468993, 201326593
A.355
(F(2n)+F(n+1))/2, where F(n) is a Fibonacci number
Réf.
CJN 25 391 82.
H I S 2 A5207
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3 2
z - z - 2 z + 1
___________________________
2 2
(1 - 3 z + z ) (1 - z - z )
1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 322, 826, 2135, 5545, 14445, 37701, 98514, 257608,
673933, 1763581, 4615823, 12082291, 31628466, 82798926, 216761547,
567474769, 1485645049
n-bead necklaces with 4 red beads
Réf.
JAuMS 33 12 82. AJMG 22 5231 85.
H I S 2 A5232
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
7 6 4 3 2
z - 2 z + 2 z - 2 z + 2 z - z - 1
_______________________________________
2 2 4
(z + 1) (z + 1) (1 - z)
1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, 47, 56, 72, 84, 104, 120, 145, 165, 195, 220, 256,
286, 328, 364, 413, 455, 511, 560, 624, 680, 752, 816, 897, 969, 1059, 1140,
1240, 1330, 1440, 1540, 1661
A.356
Réf.
MAG 69 263 85.
H I S 2 A5246
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + z - 2 z - z
__________________
2 4
1 - 4 z + z
1, 1, 2, 3, 7, 11, 26, 41, 97, 153, 362, 571, 1351, 2131, 5042, 7953, 18817,
29681, 70226, 110771, 262087, 413403, 978122, 1542841, 3650401,
5757961, 13623482, 21489003, 50843527
Réf.
MAG 69 264 85.
H I S 2 A5247
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (1 + z - 3 z )
_________________________
2 2
(z - z - 1) (1 - z - z )
1, 2, 1, 3, 2, 7, 5, 18, 13, 47, 34, 123, 89, 322, 233, 843, 610, 2207, 1597,
5778, 4181, 15127, 10946, 39603, 28657, 103682, 75025, 271443, 196418,
710647, 514229, 1860498, 1346269
A.357
Réf.
FQ 9 284 71. MMAG 48 209 75. MAG 69 264 85.
H I S 2 A5248
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - 3 z
_____________
2
1 - 3 z + z
2, 3, 7, 18, 47, 123, 322, 843, 2207, 5778, 15127, 39603, 103682, 271443,
710647, 1860498, 4870847, 12752043, 33385282, 87403803, 228826127,
599074578, 1568397607, 4106118243
Réf.
BR72 112. FQ 16 85 78. LAA 62 113 84.
H I S 2 A5251
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z - 1
__________________
3 2
z - z + 2 z - 1
1, 1, 1, 2, 4, 7, 12, 21, 37, 65, 114, 200, 351, 616, 1081, 1897, 3329, 5842,
10252, 17991, 31572, 55405, 97229, 170625, 299426, 525456, 922111,
1618192, 2839729, 4983377, 8745217
A.358
Réf.
FQ 7 341 69; 16 85 78.
H I S 2 A5252
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
∑C(n-2k,2k), k=0...n
z - 1
___________________________
2 2
(1 - z + z ) (- 1 + z + z )
1, 1, 1, 1, 2, 4, 7, 11, 17, 27, 44, 72, 117, 189, 305, 493, 798, 1292, 2091,
3383, 5473, 8855, 14328, 23184, 37513, 60697, 98209, 158905, 257114,
416020, 673135, 1089155, 1762289
Binary words not containing ..01110...
Réf.
FQ 16 85 78.
H I S 2 A5253
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
4
1 - z + z
__________________
2 5
1 - 2 z + z - z
1, 1, 1, 1, 2, 4, 7, 11, 16, 23, 34, 52, 81, 126, 194, 296, 450, 685, 1046, 1601,
2452, 3753, 5739, 8771, 13404, 20489, 31327, 47904, 73252, 112004,
171245, 261813, 400285
A.359
Apéry numbers
Réf.
AST 61 12 79. JNT 25 201 87.
H I S 2 A5258
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
2 2
(n - 1) a(n) = (n - 4 n + 4) a(n - 2)
2
+ (11 n - 33 n + 25) a(n - 1)
1, 3, 19, 147, 1251, 11253, 104959, 1004307, 9793891, 96918753,
970336269, 9807518757, 99912156111, 1024622952993, 10567623342519,
109527728400147
Apéry numbers
Réf.
AST 61 13 79. JNT 25 201 87.
H I S 2 A5259
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
3
(n - 1) a(n) =
3 2
(- n + 6 n - 12 n + 8) a(n - 2)
3 2
+ (34 n - 153 n + 231 n - 117) a(n - 1)
1, 5, 73, 1445, 33001, 819005, 21460825, 584307365, 16367912425,
468690849005, 13657436403073, 403676083788125, 12073365010564729,
364713572395983725
A.360
Réf.
JNT 25 201 87.
H I S 2 A5260
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
∑C(n,k)^4 , k=0...n
3
(n - 1) a(n) =
3 2
+ (12 n - 54 n + 82 n - 42) a(n - 1)
3 2
(64 n - 384 n + 764 n - 504) a(n - 2)
1, 2, 18, 164, 1810, 21252, 263844, 3395016, 44916498, 607041380,
8345319268, 116335834056, 1640651321764, 23365271704712,
335556407724360, 4854133484555664
Réf.
CRUX 13 331 87.
H I S 2 A5262
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + z + 4 z
__________________________
2
(1 + z) (2 z - 1) (1 - z)
1, 3, 9, 25, 59, 131, 277, 573, 1167, 2359, 4745, 9521, 19075, 38187, 76413,
152869, 305783, 611615, 1223281, 2446617, 4893291, 9786643, 19573349,
39146765, 78293599
A.361
Greg trees
Réf.
MANU 34 127 90.
H I S 2 A5263
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1
exponentielle
2
1/4 - 1/4 (2 + 2 W(- exp(-1/2) (1/2 + 1/2 z)))
1, 1, 4, 32, 396, 6692, 143816, 3756104, 115553024, 4093236352,
164098040448, 7345463787136
From Euclid's proof
Réf.
SZ 27 31 78. LNM 829 122 80. MANU 34 127 90.
H I S 2 A5264
Inverse fonctionnel
H I S 1
exponentielle
f.g. exponentielle
L'inverse est (1+2 z-exp(z))/exp(z)
- W(- exp(-1/2) (1/2 + 1/2 z)) - 1/2
1, 3, 22, 262, 4336, 91984, 2381408, 72800928, 2566606784, 102515201984,
4575271116032, 225649908491264, 12187240730230208,
715392567595384832
A.362
Réf.
NET 96. MMAG 61 28 88. rkg.
H I S 2 A5286
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 2 z - 3 z + z
_____________________
4
(z - 1)
1, 6, 15, 29, 49, 76, 111, 155, 209, 274, 351, 441, 545, 664, 799, 951, 1121,
1310, 1519, 1749, 2001, 2276, 2575, 2899, 3249, 3626, 4031, 4465, 4929,
5424, 5951, 6511, 7105, 7734
Permutations by inversions
Réf.
NET 96. DKB 241. MMAG 61 28 88. rkg.
H I S 2 A5287
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
5 - 5 z - z - 3 z - z
_________________________
5
(1 - z)
5, 20, 49, 98, 174, 285, 440, 649, 923, 1274, 1715, 2260, 2924, 3723, 4674,
5795, 7105
A.363
Permutations by inversions
Réf.
NET 96. DKB 241. MMAG 61 28 88. rkg.
H I S 2 A5288
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 5 6
3 + 4 z - 16 z + 13 z - z - 3 z + z
__________________________________________
6
(z - 1)
3, 22, 71, 169, 343, 628, 1068, 1717, 2640, 3914, 5629, 7889, 10813, 14536,
19210, 25005, 32110
Graphs on n nodes with 3 cliques
Réf.
AMM 80 1124 73; 82 997 75. JLMS 8 97 74. rkg.
H I S 2 A5289
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 2
z (3 z + z + z + 1)
_______________________________
2 2 6
(z + z + 1) (1 + z) (z - 1)
0, 0, 1, 4, 12, 31, 67, 132, 239, 407, 657, 1019, 1523, 2211, 3126, 4323, 5859,
7806, 10236, 13239, 16906, 21346, 26670, 33010, 40498, 49290, 59543,
71438, 85158, 100913
A.364
Representation degeneracies for Raymond strings
Réf.
NUPH B274 544 86.
H I S 2 A5303
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [4, 2] est périodique
c(n) = 0,2,4,3,4,2,4,2,...*
1, 0, 2, 4, 6, 12, 22, 36, 62, 104, 166, 268, 426, 660, 1022, 1564, 2358, 3540,
5266, 7756, 11362, 16524, 23854, 34252, 48890, 69368, 97942, 137588,
192314, 267628, 370798, 511524, 702886
Representation degeneracies for Raymond strings
Réf.
NUPH B274 548 86.
H I S 2 A5304
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [4, 2] est périodique
c(n) = 1,1,3,3,4,3,4,2,...*
2, 2, 4, 10, 18, 32, 58, 98, 164, 274, 442, 704, 1114, 1730, 2660, 4058, 6114,
9136, 13554, 19930
A.365
Representation degeneracies for Raymond strings
Réf.
NUPH B274 548 86.
H I S 2 A5305
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [4, 2] est périodique
c(n) = 2,1,2,2,4,3,4,3,4,2,4,2,...*
2, 4, 8, 16, 30, 56, 100, 172, 290, 480, 780, 1248, 1970, 3068, 4724, 7200,
10862, 16240, 24080
Representation degeneracies for Raymond strings
Réf.
NUPH B274 548 86.
H I S 2 A5306
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [4, 2] est périodique
c(n) = 2,2,3,0,3,3,4,3,4,3,4,2,4,2,...*
2, 4, 10, 22, 40, 76, 138, 238, 408, 682, 1112, 1792, 2844, 4444, 6872, 10510,
15896, 23834
A.366
Bosonic string states
Réf.
CU86.
H I S 2 A5308
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = 0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,...
1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 14, 16, 25, 31
Fermionic string states
Réf.
CU86.
H I S 2 A5309
Approximants de Padé
conjecture
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z + 2 z
______________
1 - 2 z
1, 0, 2, 4, 8, 16, 32, 60, 114, 212
A.367
Fermionic string states
Réf.
CU86.
H I S 2 A5310
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
2 (1 - 2 z + 2 z )
_________________
(2 z - 1) (z - 1)
2, 2, 6, 14, 30, 62, 126, 246, 472
Triangular anti-Hadamard matrices of order n
Réf.
LAA 62 117 84.
H I S 2 A5313
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 - z - 3 z + z
____________________________
2 2
(1 + z) (1 - 3 z + z ) (z - 1)
1, 3, 6, 13, 29, 70, 175, 449, 1164, 3035, 7931, 20748, 54301, 142143,
372114, 974185, 2550425, 6677074, 17480779, 45765245, 119814936,
313679543, 821223671, 2149991448
A.368
Réf.
LAA 62 130 84.
H I S 2 A5314
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(z - 1) (1 + z )
__________________
3 2
z - z + 2 z - 1
1, 1, 2, 3, 5, 9, 16, 28, 49, 86, 151, 265, 465, 816, 1432, 2513, 4410, 7739,
13581, 23833, 41824, 73396, 128801, 226030, 396655, 696081, 1221537,
2143648, 3761840, 6601569
(2 ^ n + C(2n,n))/2
Réf.
pcf.
H I S 2 A5317
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
1/2 1/2
4 z + 2 (- 4 z + 1) z - (- 4 z + 1) - 1
______________________________________________
2 (1 - 4 z) (1 - 2 z)
1, 2, 5, 14, 43, 142, 494, 1780, 6563, 24566, 92890, 353740, 1354126,
5204396, 20066492, 77575144, 300572963, 1166868646, 4537698722,
17672894044, 68923788698
A.369
Column of Motzkin triangle
Réf.
JCT A23 293 77.
H I S 2 A5322
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
a(n) (5 + n) = (13 + 4 n) a(n - 1) - n a(n - 2) - 6 n a(n - 3)
3 2 2 1/2
1 - 3 z + 2 z - (- (3 z + 2 z - 1) (- 1 + 2 z) )
________________________________________________________
6
2 z
1, 3, 9, 25, 69, 189, 518, 1422, 3915, 10813, 29964, 83304, 232323, 649845,
1822824, 5126520, 14453451, 40843521, 115668105, 328233969,
933206967, 2657946907, 7583013474
Column of Motzkin triangle
Réf.
JCT A23 293 77.
H I S 2 A5323
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 7) (n - 1) a(n) = (n + 2) (2 n + 5) a(n - 1) + (n + 2) (3 n + 3) a(n - 2)
2 3 4 2 2 3 2 1/2
1 - 4 z + 2 z + 4 z - z - (- (- 1 + 2 z + 3 z ) (1 - 3 z + z + z ) )
______________________________________________________________________________
8
z
1, 4, 14, 44, 133, 392, 1140, 3288, 9438, 27016, 77220, 220584, 630084,
1800384, 5147328, 14727168, 42171849, 120870324, 346757334,
995742748, 2862099185
A.370
Column of Motzkin triangle
Réf.
JCT A23 293 77.
H I S 2 A5324
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
a(n) (n + 9) (n - 1) = (n + 3) (3 n + 6) a(n - 2) + (n + 3) (2 n + 7) a(n - 1)
2 3 4 5
- 1/2 (- 1 + 5 z - 5 z - 5 z + 5 z + z
___________________________________________ +
10
z
2 2 2 2 1/2
(- (z + 1) (3 z - 1) (z + z - 1) (z - 3 z + 1) ) )
_________________________________________________________
10
z
1, 5, 20, 70, 230, 726, 2235, 6765, 20240, 60060, 177177, 520455, 1524120,
4453320, 12991230, 37854954, 110218905, 320751445, 933149470,
2714401580, 7895719634
Column of Motzkin triangle
Réf.
JCT A23 293 77.
H I S 2 A5325
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
a(n) (n + 11) (n - 1) = (n + 4) (3 n + 9) a(n - 2) + (n + 4) (2 n + 9) a(n - 1)
2 3 4 6
1 / 2 ( 1 - 6 z + 9 z + 4 z - 1 2 z + 2 z
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -
1 2
z
2 2 2 2 1 / 2
( - ( z + 1 ) ( 3 z - 1 ) ( z - 1 ) ( 2 z - 1 ) ( 2 z + 2 z - 1 ) ) )
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 2
z
1, 6, 27, 104, 369, 1242, 4037, 12804, 39897, 122694, 373581, 1128816,
3390582, 10136556, 30192102, 89662216, 265640691, 785509362,
2319218869, 6839057544
A.371
Putting balls into 4 boxes
Réf.
SIAR 12 296 70.
H I S 2 A5337
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
15 - 20 z + 6 z
__________________
4
(z - 1)
15, 40, 76, 124, 185, 260, 350, 456, 579, 720, 880, 1060, 1211
Low discrepancy sequences in base 3
Réf.
JNT 30 68 88.
H I S 2 A5357
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3 11
1 + z + z
_______________
2
(z - 1)
0, 0, 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49,
52, 55, 58, 61, 64, 67
A.372
Hoggatt sequence
Réf.
FQ 27 167 89. FA90.
H I S 2 A5362
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
(n + 5) (n + 4) (n + 3) (n + 2) a(n) =
4 3 2
(12 n + 78 n + 162 n + 108 n) a(n - 1)
4 3 2
+ (64 n - 64 n - 196 n + 76 n + 120) a(n - 2)
1, 2, 7, 32, 177, 1122, 7898, 60398, 494078, 4274228, 38763298, 366039104,
3579512809, 36091415154, 373853631974, 3966563630394,
42997859838010, 47519
1259977060
Réf.
FA90.
H I S 2 A5367
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
1 - z + z
________________
3
(1 + z) (z - 1)
1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 17, 21, 26, 31, 37, 43, 50, 57, 65, 73, 82, 91, 101, 111,
122, 133, 145, 157, 170, 183, 197, 211, 226, 241, 257, 273, 290, 307, 325,
343, 362, 381, 401, 421, 442, 463
A.373
Low discrepancy sequences in base 4
Réf.
JNT 30 69 88.
H I S 2 A5377
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1
Fraction rationnelle
4 2 4 2
z (1 + z ) (z - z + 1)
__________________________
2
(z - 1)
0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34,
36, 38, 40, 42, 44, 46
Réf.
SAM 273 71. DM 75 94 89.
H I S 2 A5380
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = 2,3,4,5,...
1, 2, 6, 14, 33, 70, 149, 298, 591, 1132, 2139, 3948, 7199, 12894, 22836,
39894, 68982, 117948, 199852, 335426, 558429, 922112, 1511610, 2460208,
3977963, 6390942, 10206862, 16207444, 25596941, 40214896
A.374
Area of nth triple of squares around a triangle
Réf.
PYTH 14 81 75.
H I S 2 A5386
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 - z
______________________
2
(1 + z) (1 - 5 z + z )
1, 3, 16, 75, 361, 1728, 8281
Partitional matroids on n elements
Réf.
SMH 9 249 74.
H I S 2 A5387
Dérivée logarithmique
H I S 1
exponentielle
exp(exp(z) z - exp(z) + 2 z + 1)
1, 2, 5, 16, 62, 276, 1377, 7596, 45789, 298626, 2090910, 15621640,
123897413, 1038535174, 9165475893, 84886111212, 822648571314,
8321077557124, 87648445601429
A.375
Hamiltonian circuits on 2n 4 rectangle
Réf.
JPA 17 445 84.
H I S 2 A5389
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z - z
_____________________
2 4
1 - 8 z + 10 z + z
1, 6, 37, 236, 1517, 9770, 62953, 405688, 2614457, 16849006, 108584525,
699780452, 4509783909, 29063617746, 187302518353, 1207084188912,
7779138543857, 50133202843990
The odd numbers
Réf.
H I S 2 A5408
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 + z
________
2
(z - 1)
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43,
45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85,
87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101
A.376
Polynomials of height n
Réf.
CR41 103. smd.
H I S 2 A5409
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 - 2 z + 2 z + z
______________________
2
(1 - z) (1 - 2 z - z )
1, 1, 4, 11, 28, 69, 168, 407, 984
Binary grids
Réf.
TYCM 9 267 78.
H I S 2 A5418
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
3 z - 1
____________________
2
(1 - 2 z) (2 z - 1)
1, 2, 3, 6, 10, 20, 36, 72, 136, 272, 528, 1056, 2080, 4160, 8256, 16512,
32896, 65792, 131328, 262656, 524800, 1049600, 2098176, 4196352,
8390656, 16781312, 33558528, 67117056
A.377
States of telephone exchange with n subscribers
Réf.
JCT A21 162 1976.
H I S 2 A5425
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle
a(n) = 2 a(n - 1) + (n - 2) a(n - 2)
2
exp(2 z + 1/2 z )
1, 2, 5, 14, 43, 142, 499, 1850, 7193, 29186, 123109, 538078, 2430355,
11317646, 54229907, 266906858, 1347262321, 6965034370, 36833528197,
199037675054, 1097912385851
Apéry numbers
Réf.
MI 1 195 78. JNT 20 92 85.
H I S 2 A5429
Hypergéométrique
Suite P-récurrente.
H I S 1
algébrique
2
4 z + 10 z + 1
______________
7/2
(1 - 4 z)
0, 2, 48, 540, 4480, 31500, 199584, 1177176, 6589440, 35443980,
184756000, 938929992, 4672781568, 22850118200, 110079950400,
523521630000, 2462025277440, 11465007358860
A.378
Apéry numbers
Réf.
MI 1 195 78. JNT 20 92 85.
H I S 2 A5430
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
2 z
_____________
3/2
(1 - 4 z)
0, 2, 12, 60, 280, 1260, 5544, 24024, 102960, 437580, 1847560, 7759752,
32449872, 135207800, 561632400, 2326762800, 9617286240, 39671305740,
163352435400
Convex polygons of length 2n on square lattice
Réf.
TCS 34 179 84. JPA 21 L472 88.
H I S 2 A5436
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n - 3) a(n) = (12 n - 42) a(n - 1) + (- 48 n + 192) a(n - 2) + (64 n - 288) a(n - 3)
3 2 1/2 2
- 4 z - 4 z (1 - 4 z) + 11 z - 6 z + 1
_____________________________________________
2
(4 z - 1)
1, 2, 7, 28, 120, 528, 2344, 10416, 46160, 203680, 894312, 3907056,
16986352, 73512288, 316786960, 1359763168, 5815457184, 24788842304,
105340982248, 446389242480
A.379
From a Fibonacci-like differential equation
Réf.
FQ 27 306 89.
H I S 2 A5442
Approximants de Padé
f.g. exponentielle
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________
2
1 - z - z
1, 1, 4, 18, 120, 960, 9360, 105840, 1370880, 19958400
From a Fibonacci-like differential equation
Réf.
FQ 27 306 89.
H I S 2 A5443
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - z
___________
2
1 - z - z
0, 1, 2, 12, 72, 600, 5760, 65520, 846720, 12337920
A.380
Centered triangular numbers
Réf.
INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5448
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z + z + 1
___________
3
(1 - z)
1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460,
514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489,
1585, 1684, 1786, 1891, 1999
Réf.
rkg.
H I S 2 A5460
Dérivée logarithmique
H I S 1
exponentielle
2 z + 1
________
5
(1 - z)
1, 7, 50, 390, 3360, 31920, 332640, 3780000, 46569600, 618710400,
8821612800, 134399865600, 2179457280000, 37486665216000,
681734237184000, 13071512982528000
A.381
Simplices in barycentric subdivision of n-simplex
Réf.
rkg.
H I S 2 A5461
Approximants de Padé
Suite P-récurrente
H I S 1
Fraction rationnelle
a(n) = (n + 13) a(n - 1) + (- 8 n - 36) a(n - 2) + (12 n + 12) a(n - 3)
2
6 z + 8 z + 1
_______________
7
(1 - z)
1, 15, 180, 2100, 25200, 317520, 4233600, 59875200, 898128000,
14270256000, 239740300800, 4249941696000, 79332244992000,
1556132497920000
Simplices in barycentric subdivision of n-simplex
Réf.
rkg.
H I S 2 A5462
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1
Fraction rationnelle
3 2
24 z + 58 z + 22 z + 1
_________________________
9
(1 - z)
1, 31, 602, 10206, 166824, 2739240, 46070640, 801496080, 14495120640,
273158645760, 5368729766400, 110055327782400, 2351983118284800
A.382
Réf.
JCT A24 316 78.
H I S 2 A5491
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3 2
3 z + z + z + 1
__________________
4
(z - 1)
1, 5, 15, 37, 77, 141, 235, 365, 537, 757, 1031, 1365, 1765, 2237, 2787, 3421,
4145, 4965, 5887, 6917, 8061, 9325, 10715, 12237, 13897, 15701, 17655,
19765, 22037
From expansion of falling factorials
Réf.
JCT A24 316 78.
H I S 2 A5492
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
15 - 23 z + 41 z - 13 z + 4 z
__________________________________
5
(1 - z)
15, 52, 151, 372, 799, 1540, 2727, 4516, 7087, 10644, 15415, 21652, 29631,
39652, 52039, 67140, 85327, 106996, 132567, 162484, 197215, 237252,
283111
A.383
From sum of 1/F(n)
Réf.
FQ 15 46 77.
H I S 2 A5522
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1
Fraction rationnelle
F(n) : Nombres de Fibonacci
2 3 4
3 - 9 z + z + 10 z - 4 z
__________________________________
2 2
(1 - z) (1 - 3 z + z ) (1 - z - z )
3, 6, 10, 21, 46, 108, 263, 658, 1674, 4305, 11146, 28980
Sums of successive Motzkin numbers
Réf.
JCT B29 82 80.
H I S 2 A5554
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 1) a(n) = 2 n a(n - 1) + (3 n - 9) a(n - 2)
2 3 1/2
1 - z - (- (3 z - 1) (z + 1) )
_____________________________________
2
2 z
1, 2, 3, 6, 13, 30, 72, 178, 450, 1158, 3023, 7986, 21309, 57346, 155469,
424206, 1164039, 3210246, 8893161, 24735666, 69051303, 193399578,
543310782, 1530523638
A.384
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5555
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
5 - 6 z + 2 z
________________
4
(z - 1)
5, 14, 28, 48, 75, 110, 154, 208, 273, 350, 440, 544, 663, 798, 950, 1120,
1309, 1518, 1748, 2000, 2275, 2574, 2898, 3248, 3625, 4030, 4464, 4928,
5423, 5950, 6510, 7104, 7733
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5556
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
14 - 28 z + 20 z - 5 z
__________________________
5
(1 - z)
14, 42, 90, 165, 275, 429, 637, 910, 1260, 1700, 2244, 2907, 3705, 4655,
5775, 7084, 8602, 10350, 12350, 14625, 17199, 20097, 23345, 26970, 31000,
35464, 40392, 45815, 51765
A.385
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5557
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
42 - 120 z + 135 z - 70 z + 14 z
______________________________________
6
(z - 1)
42, 132, 297, 572, 1001, 1638, 2548, 3808, 5508, 7752, 10659, 14364, 19019,
24794, 31878, 40480, 50830, 63180, 77805, 95004, 115101, 138446, 165416,
196416, 231880
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5558
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
2
(n + 2) (n + 1) a(n) = (- 64 n + 320 n - 384) a(n - 3)
2 2
+ (16 n - 48 n + 16) a(n - 2) + (4 n + 4 n - 4) a(n - 1)
1, 1, 3, 6, 20, 50, 175, 490, 1764, 5292, 19404, 60984, 226512, 736164,
2760615, 9202050, 34763300, 118195220, 449141836, 1551580888,
5924217936, 20734762776
A.386
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5559
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
(n - 1) (n + 4) (n + 3) a(n) =
3 2
(64/5 n - 192/5 n + 128/5 n) a(n - 3)
3 2
+ (16 n + 96/5 n - 128/5 n) a(n - 2)
3 2
+ (- 4/5 n + 12/5 n + 76/5 n + 132/5) a(n - 1)
1, 2, 8, 20, 75, 210, 784, 2352, 8820, 27720, 104544, 339768, 1288287,
4294290, 16359200, 55621280, 212751396, 734959368, 2821056160,
9873696560, 38013731756
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5563
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z - 3
_________
3
(z - 1)
3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360,
399, 440, 483, 528, 575, 624, 675, 728, 783, 840, 899, 960, 1023, 1088
A.387
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5564
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
6 - 4 z + z
______________
4
(z - 1)
6, 20, 45, 84, 140, 216, 315, 440, 594, 780, 1001, 1260, 1560, 1904, 2295,
2736, 3230, 3780, 4389, 5060, 5796, 6600, 7475, 8424, 9450, 10556
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5565
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
20 - 25 z + 14 z - 3 z
__________________________
5
(1 - z)
20, 75, 189, 392, 720, 1215, 1925, 2904, 4212, 5915, 8085, 10800, 14144,
18207, 23085, 28880, 35700, 43659, 52877, 63480, 75600, 89375, 104949,
122472, 142100
A.388
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5566
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
2
(n + 1) n a(n) = (16 n - 48 n + 32) a(n - 2)
+ (8 n - 4) a(n - 1)
1, 2, 6, 18, 60, 200, 700, 2450, 8820, 31752, 116424, 426888, 1585584,
5889312, 22084920, 82818450, 312869700, 1181952200, 4491418360,
17067389768
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5567
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
2 (5 - 10 z + 4 z )
____________________
3 3
(2 z - 1) (z - 1)
10, 70, 308, 1092, 3414, 9834, 26752, 69784, 176306, 434382, 1048812,
2490636, 5833006, 13500754, 30933368, 70255008, 158335434, 354419190,
788529700
A.389
Product of successive Catalan numbers
Réf.
JCT A43 1 86.
H I S 2 A5568
Hypergéométrique
H I S 1
Intégrales elliptiques
(2F1([1/2, -1/2],[2],16 z) + 1/2 z)
__________________________________
2 z
1, 2, 10, 70, 588, 5544, 56628, 613470, 6952660, 81662152, 987369656,
12228193432, 154532114800, 1986841476000, 25928281261800,
342787130211150, 4583937702039300
Walks on square lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5569
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
1/5 (n - 1) (5 n + 2) (n + 3) (n + 2) a(n) = 4/5 (5 n + 7) (2 n + 1) (2 n - 1) n a(n - 1)
4 (4F3([2, 17/5, 5/2, 3/2],
[4, 5, 12/5],16 z))
4, 34, 308, 3024, 31680, 349206, 4008004, 47530912, 579058896,
7215393640, 91644262864, 1183274479040, 15497363512800,
205519758825150
A.390
Walks on cubic lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5570
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z - 17
________
3
(z - 1)
17, 50, 99, 164, 245, 342, 455, 584, 729, 890, 1067, 1260, 1469, 1694, 1935,
2192, 2465, 2754, 3059, 3380, 3717, 4070, 4439, 4824, 5225, 5642, 6075,
6524, 6989, 7470
Walks on cubic lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5571
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
4 (19 - 4 z + z )
_________________
4
(z - 1)
76, 288, 700, 1376, 2380, 3776, 5628, 8000, 10956, 14560, 18876, 23968,
29900, 36736, 44540, 53376, 63308, 74400, 86716
A.391
Walks on cubic lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5572
inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 1) a(n) = (- 12 n + 24) a(n - 2) + (8 n - 4) a(n - 1)
2 1/2
1 - 4 z - (1 - 8 z + 12 z )
___________________________________
2 z
1, 4, 17, 76, 354, 1704, 8421, 42508, 218318, 1137400, 5996938, 31940792,
171605956, 928931280, 5061593709
Walks on cubic lattice
Réf.
GU90.
H I S 2 A5573
inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
n a(n) = (- 12 n + 24) a(n - 2) + (8 n - 6) a(n - 1)
2 1/2
1 - 6 z - (1 - 8 z + 12 z )
___________________________________
2 z
1, 5, 26, 139, 758, 4194, 23460, 132339, 751526, 4290838, 24607628,
141648830, 817952188, 4736107172, 27487711752, 159864676803
A.392
Réf.
GTA91 603.
H I S 2 A5578
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - z - z
_________________________
(z - 1) (2 z - 1) (1 + z)
1, 1, 2, 3, 6, 11, 22, 43, 86, 171, 342, 683, 1366, 2731, 5462, 10923, 21846,
43691, 87382, 174763, 349526, 699051, 1398102, 2796203, 5592406,
11184811, 22369622
Réf.
AS1 797.
H I S 2 A5581
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - z
_________
4
(z - 1)
2, 7, 16, 30, 50, 77, 112, 156, 210, 275, 352, 442, 546, 665, 800, 952, 1122,
1311, 1520, 1750, 2002, 2277, 2576, 2900, 3250, 3627, 4032, 4466, 4930,
5425, 5952, 6512, 7106, 7735, 8400
A.393
Réf.
AS1 797.
H I S 2 A5582
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - z
_________
5
(z - 1)
2, 9, 25, 55, 105, 182, 294, 450, 660, 935, 1287, 1729, 2275, 2940, 3740,
4692, 5814, 7125, 8645, 10395, 12397, 14674, 17250, 20150, 23400, 27027,
31059, 35525, 40455, 45880, 51832
Coefficients of Chebyshev polynomials
Réf.
AS1 797.
H I S 2 A5583
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - z
_________
6
(z - 1)
2, 11, 36, 91, 196, 378, 672, 1122, 1782, 2717, 4004, 5733, 8008, 10948,
14688, 19380, 25194, 32319, 40964, 51359, 63756, 78430, 95680, 115830,
139230, 166257, 197316, 232841
A.394
Coefficients of Chebyshev polynomials
Réf.
AS1 797.
H I S 2 A5584
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - z
_________
7
(z - 1)
2, 13, 49, 140, 336, 714, 1386, 2508, 4290, 7007, 11011, 16744, 24752,
35700, 50388, 69768, 94962, 127281, 168245, 219604, 283360, 361790,
457470, 573300, 712530, 878787
5-dimensional pyramidal numbers
Réf.
AS1 797.
H I S 2 A5585
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 + z
_________
6
(z - 1)
1, 7, 27, 77, 182, 378, 714, 1254, 2079, 3289, 5005, 7371, 10556, 14756,
20196, 27132, 35853, 46683, 59983, 76153, 95634, 118910, 146510, 179010,
217035, 261261, 312417, 371287
A.395
Réf.
AS1 796.
H I S 2 A5586
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z (5 - 6 z + 2 z )
___________________
4
(z - 1)
0, 5, 14, 28, 48, 75, 110, 154, 208, 273, 350, 440, 544, 663, 798, 950, 1120,
1309, 1518, 1748, 2000, 2275, 2574, 2898, 3248, 3625, 4030, 4464, 4928,
5423, 5950, 6510, 7104, 7733, 8398
Réf.
AS1 796.
H I S 2 A5587
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
z (- 14 + 28 z - 20 z + 5 z )
_______________________________
5
(z - 1)
0, 14, 42, 90, 165, 275, 429, 637, 910, 1260, 1700, 2244, 2907, 3705, 4655,
5775, 7084, 8602, 10350, 12350, 14625, 17199, 20097, 23345, 26970, 31000,
35464, 40392, 45815, 51765
A.396
Réf.
CJN 25 391 82.
H I S 2 A5592
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
2 - 2 z + z
______________________
2
(1 - z) (1 - 3 z + z )
2, 6, 17, 46, 122, 321, 842, 2206, 5777, 15126, 39602, 103681, 271442,
710646, 1860497, 4870846, 12752042, 33385281, 87403802, 228826126,
599074577, 1568397606, 4106118242
Réf.
CJN 25 391 82.
H I S 2 A5593
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
2 - 5 z + z + 2 z - z
___________________________________
2 2
(1 - z) (1 - z - z ) (1 - 3 z + z )
2, 5, 12, 29, 71, 177, 448, 1147, 2960, 7679, 19989, 52145, 136214, 356121,
931540, 2437513, 6379403, 16698113, 43710756, 114427391, 299560472,
784236315, 2053119817, 5375076769
A.397
Functions realized by cascades of n gates
Réf.
BU77.
H I S 2 A5609
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
16 (7 z - 4)
___________________
(28 z - 1) (1 - z)
64, 1744, 48784, 1365904, 38245264, 1070867344, 29984285584,
839559996304
Functions realized by cascades of n gates
Réf.
BU77.
H I S 2 A5610
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 (7 - 6 z)
_________________
(1 - 6 z) (1 - z)
14, 86, 518, 3110, 18662, 111974, 671846, 4031078
A.398
Disjunctively-realizable functions of n variables
Réf.
PGEC 24 687 75.
H I S 2 A5616
Inverse fonctionnel
f.g. exponentielle
H I S 1
exponentielle
L'inverse de S(z) est
ln(z + 1) - z + ln(z + 2) - ln(2)
2, 10, 114, 2154, 56946, 1935210, 80371122, 3944568042, 223374129138,
14335569726570, 1028242536825906, 81514988432370666,
7077578056972377714
Réf.
PGEC 11 140 62.
H I S 2 A5618
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3 z - 1
_________________
(1 - 6 z) (z - 1)
4, 16, 88, 520, 3112, 18664, 111976, 671848, 4031080, 24186472,
145118824, 870712936, 5224277608, 31345665640, 188073993832,
1128443962984, 6770663777896
A.399
Functions realized by n-input cascades
Réf.
PGEC 27 790 78.
H I S 2 A5619
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
16 (1 - 18 z + 20 z )
__________________________
2
(z - 1) (80 z - 32 z + 1)
16, 240, 6448, 187184, 5474096, 160196400, 4688357168, 137211717424,
4015706384176
Réf.
JACM 23 705 76. PGEC 27 315 78. LNM 829 122 80.
H I S 2 A5640
Inverse fonctionnel
H I S 1
exponentielle
- 2 W(- 1/2 exp(z - 1/2))
1, 2, 8, 64, 832, 15104, 352256, 10037248, 337936384, 13126565888
A.400
From sum of inverse binomial coefficients
Réf.
C1 294.
H I S 2 A5649
Recoupements
H I S 1
exponentielle
1
_____________
2
(exp(z) - 2)
1, 2, 8, 44, 308, 2612, 25988, 296564, 3816548, 54667412, 862440068,
14857100084, 277474957988, 5584100659412, 120462266974148,
2772968936479604, 67843210855558628
Tower of Hanoi with cyclic moves only
Réf.
IPL 13 118 81. GKP 18.
H I S 2 A5665
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z (1 + 2 z)
________________________
2
(z - 1) (2 z + 2 z - 1)
0, 1, 5, 15, 43, 119, 327, 895, 2447, 6687, 18271, 49919, 136383, 372607,
1017983, 2781183, 7598335, 20759039, 56714751, 154947583, 423324671,
1156544511, 3159738367
A.401
Tower of Hanoi with cyclic moves only
Réf.
IPL 13 118 81. GKP 18.
H I S 2 A5666
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z (2 + z)
________________________
2
(z - 1) (2 z + 2 z - 1)
0, 2, 7, 21, 59, 163, 447, 1223, 3343, 9135, 24959, 68191, 186303, 508991,
1390591, 3799167, 10379519, 28357375, 77473791, 211662335, 578272255,
1579869183, 4316282879
Réf.
rkg.
H I S 2 A5667
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 - 3 z
______________
2
1 - 6 z - z
1, 3, 19, 117, 721, 4443, 27379, 168717, 1039681, 6406803, 39480499,
243289797, 1499219281, 9238605483, 56930852179, 350823718557,
2161873163521, 13322062699683
A.402
Convergents to square root of 10
Réf.
rkg.
H I S 2 A5668
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z
_____________
2
1 - 6 z - z
0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989,
474094764, 2921503573
F(n) - 2 ^ [n/2]
Réf.
rkg.
H I S 2 A5672
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
z
_______________________
2 2
(1 - z - z ) (1 - 2 z )
0, 0, 0, 1, 1, 4, 5, 13, 18, 39, 57, 112, 169, 313, 482, 859, 1341, 2328, 3669,
6253, 9922, 16687, 26609, 44320, 70929, 117297, 188226, 309619, 497845,
815656, 1313501, 2145541
A.403
Réf.
rkg.
H I S 2 A5673
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
4
z
_______________________________
2 2
(1 - z) (2 z - 1) (z + z - 1)
0, 0, 0, 0, 1, 2, 6, 11, 24, 42, 81, 138, 250, 419, 732, 1214, 2073, 3414, 5742,
9411, 15664, 25586, 42273, 68882, 113202, 184131, 301428, 489654,
799273, 1297118, 2112774
Réf.
rkg.
H I S 2 A5674
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
4
z
_________________________________
2 2
(1 - 2 z) (2 z - 1) (z + z - 1)
0, 0, 0, 0, 1, 3, 10, 25, 63, 144, 327, 711, 1534, 3237, 6787, 14056, 28971,
59283, 120894, 245457, 497167, 1004256, 2025199, 4077007, 8198334,
16467597, 33052491, 66293208
A.404
∑ C(n-k,4k), k=0...n
Réf.
H I S 2 A5676
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
(1 - z)
________________________________
2 3 4 5
1 - 4 z + 6 z - 4 z + z - z
1, 1, 1, 1, 1, 2, 6, 16, 36, 71, 128, 220, 376, 661, 1211, 2290, 4382, 8347,
15706, 29191, 53824, 99009, 182497, 337745, 627401, 1167937, 2174834,
4046070, 7517368, 13951852, 25880583
Twopins positions
Réf.
GU81.
H I S 2 A5682
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
____________________________________
3 2 2 3
(z - z + 2 z - 1) (- 1 + z + z )
1, 2, 4, 8, 15, 28, 51, 92, 165, 294, 522, 924, 1632, 2878, 5069, 8920, 15686,
27570, 48439, 85080, 149405, 262320, 460515, 808380, 1418916, 2490432
A.405
Numbers of Twopins positions
Réf.
GU81.
H I S 2 A5683
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 5
1 - z - z - z - z
_________________________________
3 2 2 3
(z - z + 2 z - 1) (1 - z - z )
1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 37, 63, 108, 186, 322, 559, 973, 1697, 2964, 5183, 9071,
15886, 27835, 48790, 85545, 150021, 263136, 461596, 809812, 1420813,
2492945
Twopins positions
Réf.
GU81.
H I S 2 A5684
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_______________________________________
2 2 2 4
(1 - z + z ) (1 - z - z ) (1 - z - z )
1, 2, 4, 6, 11, 18, 32, 52, 88, 142, 236, 382, 629, 1018, 1664, 2692, 4383,
7092, 11520, 18640, 30232, 48916, 79264, 128252, 207705, 336074, 544084
A.406
Twopins positions
Réf.
GU81.
H I S 2 A5685
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 5 6 7
1 - z + z - 2 z - z - z - z
_______________________________________
2 3 2 4
(1 - z + z ) (1 - z - z ) (1 - z - z )
1, 2, 3, 5, 7, 11, 16, 26, 40, 65, 101, 163, 257, 416, 663, 1073, 1719, 2781,
4472, 7236, 11664, 18873, 30465, 49293, 79641, 128862, 208315, 337061,
545071
Twopins positions
Réf.
GU81.
H I S 2 A5686
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
(1 + z) (z + z + 1)
____________________
2 5
1 + z + z
1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 18, 22, 27, 34, 41, 52, 63, 79, 97, 120, 149,
183, 228, 280, 348, 429, 531, 657, 811
A.407
Twopins positions
Réf.
GU81.
H I S 2 A5687
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_________________________________
2 5 2 5
(1 - 2 z + z - z ) (1 - z - z )
1, 2, 4, 6, 9, 14, 22, 36, 57, 90, 139, 214, 329, 506, 780, 1200, 1845, 2830,
4337, 6642, 10170, 15572, 23838, 36486, 55828, 85408, 130641, 199814,
305599
Twopins positions
Réf.
FQ 16 85 78. GU81.
H I S 2 A5689
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 5
1 + z + z + z + z
_________________________
3 3
(1 - z - z ) (z - z + 1)
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 30, 42, 61, 91, 137, 205, 303, 443, 644, 936, 1365, 1999,
2936, 4316, 6340, 9300, 13625, 19949, 29209, 42785, 62701, 91917, 134758,
197548, 289547
A.408
Twopins positions
Réf.
GU81.
H I S 2 A5690
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_______________________________________
3 3 2 6
(1 - z - z ) (1 - z + z ) (1 - z - z )
1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 26, 41, 62, 96, 142, 212, 308, 454, 662, 979, 1438, 2128,
3126, 4606, 6748, 9910, 14510, 21298, 31212, 45820, 67176, 98571, 144476
Dyck paths
Réf.
LNM 1234 118 86.
H I S 2 A5700
hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
Intégrales elliptiques
3F2([1, 1/2, 3/2],[3 , 4],16 z)
1, 1, 3, 14, 84, 594, 4719, 40898, 379236, 3711916, 37975756, 403127256
A.409
Réf.
R1 150. rkg.
H I S 2 A5704
Euler
H I S 1
Produit infini
1
_______________________________________
2 3 9 27
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )...
1, 1, 2, 4, 8, 19, 44, 112, 287, 763
Réf.
AMM 95 555 88.
H I S 2 A5708
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________
6
1 - z - z
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 16, 21, 27, 34, 43, 55, 71, 92, 119, 153,
196, 251, 322, 414, 533, 686, 882, 1133, 1455, 1869, 2402, 3088, 3970, 5103
A.410
Réf.
AMM 95 555 88.
H I S 2 A5709
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________
7
1 - z - z
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 17, 22, 28, 35, 43, 53, 66, 83, 105,
133, 168, 213, 266, 332, 415, 520, 653, 821, 1034, 1300, 1632, 2047, 2567,
3220, 4041
Réf.
AMM 95 555 88.
H I S 2 A5710
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________
8
1 - z - z
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 18, 23, 29, 36, 44, 53, 64, 78,
96, 119, 148, 184, 228, 281, 345, 423, 519, 638, 786, 970, 1198, 1479, 1824,
2247, 2766, 3404
A.411
Réf.
AMM 95 555 88.
H I S 2 A5711
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
8
1 + z
___________
9
1 - z - z
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 19, 24, 30, 37, 45, 54, 64,
76, 91, 110, 134, 164, 201, 246, 300, 364, 440, 531, 641, 775, 939, 1140,
1386, 1686, 2050, 2490, 3021
From expansion of (1 + x + x ^ 2) ^ n
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5712
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z - z - 1
___________
5
(z - 1)
1, 6, 19, 45, 90, 161, 266, 414, 615, 880, 1221, 1651, 2184, 2835, 3620, 4556,
5661, 6954, 8455, 10185, 12166, 14421, 16974, 19850, 23075, 26676, 30681,
35119, 40020, 45415
A.412
From expansion of (1 + x + x ^ 2) ^ n
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5714
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 3 z - 4 z + z
____________________
7
(1 - z)
1, 10, 45, 141, 357, 784, 1554, 2850, 4917, 8074, 12727, 19383, 28665,
41328, 58276, 80580, 109497, 146490, 193249, 251713, 324093, 412896,
520950, 651430, 807885
From expansion of (1 + x + x ^ 2) ^ n
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5715
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(2 - z) (z - 2)
________________
8
(1 - z)
4, 30, 126, 393, 1016, 2304, 4740, 9042, 16236, 27742, 45474, 71955,
110448, 165104, 241128, 344964, 484500, 669294, 910822, 1222749,
1621224, 2125200, 2756780
A.413
From expansion of (1 + x + x ^ 2) ^ n
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5716
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 6 z - 9 z + 3 z
______________________
9
(1 - z)
1, 15, 90, 357, 1107, 2907, 6765, 14355, 28314, 52624, 93093, 157950,
258570, 410346, 633726, 955434, 1409895, 2040885, 2903428, 4065963,
5612805, 7646925
From expansion of (1 + x + x ^ 2) ^ n
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5717
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 1) a(n) = 3 n a(n - 1) + (- 3 n + 6) a(n - 3) + (n + 3) a(n - 2)
1/2 1/2
z + (z + 1) (1 - 3 z) - 1
________________________________
2 1/2 1/2
2 (z (z + 1) (1 - 3 z) )
1, 2, 6, 16, 45, 126, 357, 1016, 2907, 8350, 24068, 69576, 201643, 585690,
1704510, 4969152, 14508939, 42422022, 124191258, 363985680,
1067892399, 3136046298, 9217554129
A.414
Quadrinomial coefficients
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5718
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z - 3 z + 3
_____________
5
(1 - z)
3, 12, 31, 65, 120, 203, 322, 486, 705, 990, 1353, 1807, 2366, 3045, 3860,
4828, 5967, 7296, 8835, 10605, 12628, 14927, 17526, 20450, 23725, 27378,
31437, 35931, 40890, 46345
Quadrinomial coefficients
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5719
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
2 - 2 z + z
______________
6
(z - 1)
2, 12, 40, 101, 216, 413, 728, 1206, 1902, 2882, 4224, 6019, 8372, 11403,
15248, 20060, 26010, 33288, 42104, 52689, 65296, 80201, 97704, 118130,
141830, 169182, 200592
A.415
Quadrinomial coefficients
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5720
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 3 z - 5 z + 2 z
______________________
7
(1 - z)
1, 10, 44, 135, 336, 728, 1428, 2598, 4455, 7282, 11440, 17381, 25662,
36960, 52088, 72012, 97869, 130986, 172900, 225379, 290444, 370392,
467820, 585650, 727155, 895986
Quadrinomial coefficients
Réf.
C1 78.
H I S 2 A5725
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
La méthode LLL permet de trouver l'expression algébrique du 3è degré.
2
1 / 2 ( n - 1 ) ( 2 n - 3 ) a ( n ) = ( - 2 1 / 4 n + 1 4 3 / 4 n - 5 0 ) a ( n - 1 )
2 2
+ ( 2 4 n - 1 3 9 n + 2 0 0 ) a ( n - 2 ) + ( 2 0 n - 1 2 0 n + 1 8 0 ) a ( n - 3 )
2
+ ( 3 2 n - 2 2 4 n + 3 8 4 ) a ( n - 4 )
1, 1, 3, 10, 31, 101, 336, 1128, 3823, 13051, 44803, 154518, 534964,
1858156, 6472168, 22597760, 79067375, 277164295, 973184313,
3422117190, 12049586631, 42478745781
A.416
Réf.
LI68 20. MMAG 49 181 76.
H I S 2 A5732
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
z - z - 1
___________
7
(z - 1)
1, 8, 35, 111, 287, 644, 1302, 2430, 4257, 7084, 11297, 17381, 25935, 37688,
53516, 74460, 101745, 136800, 181279, 237083, 306383, 391644, 495650,
621530, 772785, 953316
Coefficients of a modular function
Réf.
GMJ 8 29 67.
H I S 2 A5758
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [12] est constant
c(n) = 12,12,12,12,...*
1, 12, 90, 520, 2535, 10908, 42614, 153960
A.417
Convex polygons of length 2n on square lattice
Réf.
TCS 34 179 84.
H I S 2 A5770
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 - 3 z + 2 z + z
_____________________________________
2 2
(4 z - 1) (2 z - 1) (1 - 3 z + z )
1, 9, 55, 286, 1362, 6143, 26729, 113471, 473471, 1951612, 7974660,
32384127, 130926391, 527657073, 2121795391, 8518575466, 34162154550,
136893468863, 548253828965
Directed animals of size n
Réf.
AAM 9 340 88.
H I S 2 A5773
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
Inverse des nombres de Motzkin
2 1/2
- 1 + 3 z + (1 - 2 z - 3 z )
________________________________
2 (1 - 3 z)
1, 2, 5, 13, 35, 96, 267, 750, 2123, 6046, 17303, 49721, 143365, 414584,
1201917, 741365049, 2173243128, 6377181825, 18730782252, 3492117,
10165779, 29643870, 86574831, 253188111
A.418
Directed animals of size n
Réf.
AAM 9 340 88.
H I S 2 A5774
P-récurrences et LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
a(n) (2 + n) = ( 4 + 4 n) a(n - 1) - n a(n - 2)
(12 - 6 n) a(n - 3)
2 2 1/2
1 - 3 z - (- (3 z + 2 z - 1) (- 1 + 2 z) )
_________________________________________________
4 3
2 (3 z - z )
1, 3, 9, 26, 75, 216, 623, 1800, 5211, 15115, 43923
4-dimensional Catalan numbers
Réf.
TS89. CN 75 124 90.
H I S 2 A5790
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
4F3 ([1, 5/4, 7/4, 3/2], [3, 4, 5], 256 z)
1, 14, 462, 24024, 1662804, 140229804, 13672405890, 1489877926680,
177295473274920
A.419
Permutations with subsequences of length <= 3
Réf.
JCT A53 281 90.
H I S 2 A5802
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
2
(n + 1) a(n) =
2
(10 n - 18 n + 5) a(n - 1)
2
+ (- 9 n + 36 n - 36) a(n - 2)
1, 1, 2, 6, 23, 103, 513, 2761, 15767, 94359, 586590, 3763290, 24792705,
167078577, 1148208090, 8026793118, 56963722223, 409687815151,
2981863943718, 21937062144834
Second-order Eulerian numbers
Réf.
JCT A24 28 78. GKP 256.
H I S 2 A5803
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 z
__________________
2
(1 - 2 z) (z - 1)
0, 2, 8, 22, 52, 114, 240, 494, 1004, 2026, 4072, 8166, 16356, 32738, 65504,
131038, 262108, 524250, 1048536, 2097110, 4194260, 8388562, 16777168,
33554382, 67108812, 134217674
A.420
Sums of adjacent Catalan numbers
Réf.
dek.
H I S 2 A5807
Hypergéométrique
améliorée par
H I S 1
algébrique
la méthode LLL
2 1/2
1 - z - (- (4 z - 1) (z + 1) )
____________________________________
2
2 z
2, 3, 7, 19, 56, 174, 561, 1859, 6292, 21658, 75582, 266798, 950912,
3417340, 12369285, 45052515, 165002460, 607283490, 2244901890,
8331383610, 31030387440
Binomial coefficients
Réf.
AS1 828.
H I S 2 A5809
hypergéométrique-LLL
suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
2F1([1/3, 2/3], [1/2], 27 z/4)
1, 3, 15, 84, 495, 3003, 18564, 116280, 735471, 4686825, 30045015,
193536720, 1251677700, 8122425444, 52860229080, 344867425584,
2254848913647, 14771069086725
A.421
Binomial coefficients (4n,n)
Réf.
AS1 828. dek.
H I S 2 A5810
hypergéométrique-LLL
suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
3F2([1/2, 3/4, 1/4],[2/3, 1/3],256 z/27)
1, 4, 28, 220, 1820, 15504, 134596, 1184040, 10518300, 94143280,
847660528, 7669339132, 69668534468, 635013559600, 5804731963800,
53194089192720, 488526937079580
Réf.
JCT A43 1 1986.
H I S 2 A5817
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
(n + 4) (n + 3) a(n) =
2
(8 n + 12) a(n - 1) + (16 n - 16 n) a(n - 2)
1, 2, 4, 10, 25, 70, 196, 588, 1764, 5544, 17424, 56628, 184041, 613470,
2044900, 6952660, 23639044, 81662152, 282105616, 987369656,
3455793796, 12228193432, 43268992144
A.422
Spanning trees in third power of cycle
Réf.
FQ 23 258 85.
H I S 2 A5822
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
4 3 2
(1 - z) (1 + z) (z + z - z + z + 1)
______________________________________
8 6 4 2
z - 4 z - z - 4 z + 1
1, 1, 2, 4, 11, 16, 49, 72, 214, 319, 947, 1408, 4187, 6223, 18502, 27504,
81769, 121552, 361379, 537196
Réf.
JSC 10 599 90.
H I S 2 A5824
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
z (1 + 2 z) (1 - z)
____________________
2 4
1 - 5 z + 2 z
0, 1, 1, 3, 5, 13, 23, 59, 105, 269, 479, 1227, 2185, 5597, 9967, 25531, 45465,
116461, 207391, 531243, 946025, 2423293, 4315343, 11053979, 19684665,
50423309, 89792639
A.423
Worst case of a Jacobi symbol algorithm
Réf.
JSC 10 605 90.
H I S 2 A5825
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z (1 + 2 z - 4 z )
___________________________
2 2
(1 - 2 z ) (1 - 5 z + 2 z )
0, 1, 7, 31, 145, 659, 3013, 13739, 62685, 285931
Worst case of a Jacobi symbol algorithm
Réf.
JSC 10 605 90.
H I S 2 A5826
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 6 z - 4 z
___________________________
2 2
(1 - 2 z ) (1 - 5 z + 2 z )
1, 5, 31, 141, 659, 3005, 13739, 62669, 285931, 1304285
A.424
Worst case of a Jacobi symbol algorithm
Réf.
JSC 10 605 90.
H I S 2 A5827
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 - 2 z - 2 z + 2 z
____________________________
2 2
(1 - 2 z ) (1 - 5 z + 2 z )
1, 3, 13, 57, 259, 1177, 5367, 24473, 111631, 509193
Réf.
ST89.
H I S 2 A5840
Recoupements
H I S 1
exponentielle
exp(z) (1 - z)
_______________
2 - exp(z)
1, 1, 2, 8, 46, 332, 2874, 29024, 334982, 4349492, 62749906, 995818760,
17239953438, 323335939292, 6530652186218, 141326092842416,
3262247252671414, 80009274870905732
A.425
Packing a square with squares of sides 1...n
Réf.
GA77 147. UPG D5.
H I S 2 A5842
Euler
Conjecture
H I S 1
Produit infini
2 9 11 13 15
(1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )...
_________________________________________________________
3 8 10 12 14 16
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )...
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 43
The even numbers
Réf.
H I S 2 A5843
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
________
2
(z - 1)
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44,
46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86,
88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104
A.426
Theta series of b.c.c. lattice w.r.t. short edge
Réf.
JCP 83 6526 85.
H I S 2 A5869
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [3, -3] est périodique
c(n) = 3,-3,...*
2, 6, 6, 8, 12, 6, 12, 18, 6, 14, 18, 12, 18, 18, 12, 12, 30, 18, 14, 24, 6, 30, 30,
12, 24, 24, 18, 24, 30, 12, 26, 42, 24, 12, 30, 18, 24, 48, 18, 36, 24, 18, 36, 30,
24, 26, 48, 18, 30, 48, 12, 36, 54
Theta series of cubic lattice
Réf.
SPLAG 107.
H I S 2 A5875
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [6, -9, 6, -3] est périodique
c(n) = 6,-9,6,-3,...*
1, 6, 12, 8, 6, 24, 24, 0, 12, 30, 24, 24, 8, 24, 48, 0, 6, 48, 36, 24, 24, 48, 24, 0,
24, 30, 72, 32, 0, 72, 48, 0, 12, 48, 48, 48, 30, 24, 72, 0, 24, 96, 48, 24, 24, 72,
48, 0, 8, 54, 84, 48, 24, 72, 96
A.427
Theta series of cubic lattice w.r.t. edge
Réf.
SPLAG 107.
H I S 2 A5876
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [4, -5, 4, -3] est périodique
c(n) = 4,-5,4,-3,...*
2, 8, 10, 8, 16, 16, 10, 24, 16, 8, 32, 24, 18, 24, 16, 24, 32, 32, 16, 32, 34, 16,
48, 16, 16, 56, 32, 24, 32, 40, 26, 48, 48, 16, 32, 32, 32, 56, 48, 24, 64, 32, 26,
56, 16, 40, 64, 64, 16, 40, 48, 32
Theta series of cubic lattice w.r.t. square
Réf.
SPLAG 107.
H I S 2 A5877
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [2,-1,2,-3] est périodique
c(n) = 2,-1,2,-3,...*
4, 8, 8, 16, 12, 8, 24, 16, 16, 24, 16, 16, 28, 32, 8, 32, 32, 16, 40, 16, 16, 40,
40, 32, 36, 16, 24, 48, 32, 24, 40, 48, 16, 56, 32, 16, 64, 40, 32, 32, 36, 40, 48,
48, 32, 48, 48, 16, 80, 40, 24, 80
A.428
Theta series of D4 lattice w.r.t. deep hole
Réf.
SPLAG 118.
H I S 2 A5879
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [4, -4] est périodique
c(n) = 4,-4,...*
8, 32, 48, 64, 104, 96, 112, 192, 144, 160, 256, 192, 248, 320, 240, 256, 384,
384, 304, 448, 336, 352, 624, 384, 456, 576, 432, 576, 640, 480, 496, 832,
672, 544, 768, 576, 592, 992, 768, 640
Theta series of D4 lattice w.r.t. edge
Réf.
H I S 2 A5880
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [4,-4] est périodique
c(n) = 4,-4,...*
2, 8, 12, 16, 26, 24, 28, 48, 36, 40, 64, 48, 62, 80, 60, 64, 96, 96, 76, 112, 84,
88, 156, 96, 114, 144, 108, 144, 160, 120, 124, 208, 168, 136, 192, 144, 148,
248, 192, 160, 242, 168, 216, 240
A.429
Theta series of planar hexagonal lattice with respect to edge
Réf.
JCP 83 6523 85.
H I S 2 A5881
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [1, -1, 2, -1, 1, -2] est périodique
c(n) = 1,-1,2,-1,1,-2,...*
2, 2, 0, 4, 2, 0, 4, 0, 0, 4, 4, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 4, 4, 0, 4, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 4, 0, 4,
4, 0, 4, 0, 0, 4, 2, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 0, 4, 0, 0, 4, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 4, 0, 2, 0,
0, 4, 4, 0, 8, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 6
Theta series of planar hexagonal lattice w.r.t. deep hole
Réf.
JCP 83 6524 85.
H I S 2 A5882
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [1,1,-2] est périodique
c(n) = 1,1,-2,...*
3, 3, 6, 0, 6, 3, 6, 0, 3, 6, 6, 0, 6, 0, 6, 0, 9, 6, 0, 0, 6, 3, 6, 0, 6, 6, 6, 0, 0, 0, 12,
0, 6, 3, 6, 0, 6, 6, 0, 0, 3, 6, 6, 0, 12, 0, 6, 0, 0, 6, 6, 0, 6, 0, 6, 0, 9, 6, 6, 0, 6, 0,
0, 0, 6, 9, 6, 0, 0, 6, 6, 0, 12, 0, 6, 0, 6
A.430
Theta series of f.c.c. lattice w.r.t. edge
Réf.
JCP 83 6526 85.
H I S 2 A5884
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [2, -1, 2, -3] est périodique
c(n) = 2,-1,2,-3,...*
2, 4, 4, 8, 6, 4, 12, 8, 8, 12, 8, 8, 14, 16, 4, 16, 16, 8, 20, 8, 8, 20, 20, 16, 18, 8,
12, 24, 16, 12, 20, 24, 8, 28, 16, 8, 32, 20, 16, 16, 18, 20, 24, 24, 16, 24, 24, 8,
40, 20, 12, 40, 16, 12, 20
Theta series of f.c.c. lattice w.r.t. tetrahedral hole
Réf.
JCP 83 6526 85.
H I S 2 A5886
Euler
H I S 1
Produit infini
* Le motif [3,-3] est périodique
c(n) = 3,-3,...*
4, 12, 12, 16, 24, 12, 24, 36, 12, 28, 36, 24, 36, 36, 24, 24, 60, 36, 28, 48, 12,
60, 60, 24, 48, 48, 36, 48, 60, 24, 52, 84, 48, 24, 60, 36, 48, 96, 36, 72, 48, 36,
72, 60, 48, 52, 96, 36, 60, 96
A.431
Centered pentagonal numbers
Réf.
INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5891
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z + 3 z + 1
______________
3
(1 - z)
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681,
766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176,
2326, 2481, 2641, 2806, 2976
Square octagonal numbers
Réf.
INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5892
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 9 z + 4 z
________________
3
(1 - z)
1, 12, 37, 76, 129, 196, 277, 372, 481, 604, 741, 892, 1057, 1236, 1429, 1636,
1857, 2092, 2341, 2604, 2881, 3172, 3477, 3796, 4129, 4476, 4837, 5212,
5601, 6004, 6421, 6852, 7297
A.432
Points on surface of tetrahedron
Réf.
MF73 46. CO74. INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5893
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (1 + z )
________________
3
(1 - z)
1, 4, 10, 20, 34, 52, 74, 100, 130, 164, 202, 244, 290, 340, 394, 452, 514, 580,
650, 724, 802, 884, 970, 1060, 1154, 1252, 1354, 1460, 1570, 1684, 1802,
1924, 2050, 2180, 2314, 2452, 2594
Centered tetrahedral numbers
Réf.
INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5894
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (1 + z )
________________
4
(z - 1)
1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, 1035, 1325, 1665, 2059, 2511,
3025, 3605, 4255, 4979, 5781, 6665, 7635, 8695, 9849, 11101, 12455, 13915,
15485, 17169, 18971, 20895
A.433
Points on surface of cube
Réf.
MF73 46. CO74. INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5897
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (1 + 4 z + z )
______________________
3
(1 - z)
1, 8, 26, 56, 98, 152, 218, 296, 386, 488, 602, 728, 866, 1016, 1178, 1352,
1538, 1736, 1946, 2168, 2402, 2648, 2906, 3176, 3458, 3752, 4058, 4376,
4706, 5048, 5402, 5768, 6146, 6536
Centered cube numbers
Réf.
AMM 82 819 75. INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5898
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (1 + 4 z + z )
______________________
4
(z - 1)
1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119,
7471, 9009, 10745, 12691, 14859, 17261, 19909, 22815, 25991, 29449,
33201, 37259, 41635, 46341, 51389, 56791
A.434
Points on surface of octahedron
Réf.
MF73 46. CO74. INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5899
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
(1 + z)
_________
3
(1 - z)
1, 6, 18, 38, 66, 102, 146, 198, 258, 326, 402, 486, 578, 678, 786, 902, 1026,
1158, 1298, 1446, 1602, 1766, 1938, 2118, 2306, 2502, 2706, 2918, 3138,
3366, 3602, 3846, 4098, 4358, 4626
Octahedral numbers
Réf.
CO74. INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5900
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z)
__________
4
(z - 1)
1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, 2736,
3281, 3894, 4579, 5340, 6181, 7106, 8119, 9224, 10425, 11726, 13131,
14644, 16269, 18010, 19871, 21856
A.435
Points on surface of cuboctahedron (or icosahedron)
Réf.
RO69 109. MF73 46. CO74. INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5901
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 8 z + 1)
______________________
3
(1 - z)
1, 12, 42, 92, 162, 252, 362, 492, 642, 812, 1002, 1212, 1442, 1692, 1962,
2252, 2562, 2892, 3242, 3612, 4002, 4412, 4842, 5292, 5762, 6252, 6762,
7292, 7842, 8412, 9002, 9612, 10242, 10892
Centered icosahedral (or cuboctahedral) numbers
Réf.
INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5902
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 8 z + 1)
______________________
4
(z - 1)
1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869, 3871, 5083, 6525, 8217,
10179, 12431, 14993, 17885, 21127, 24739, 28741, 33153, 37995, 43287,
49049, 55301, 62063, 69355, 77197, 85609
A.436
Points on surface of dodecahedron
Réf.
INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5903
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 28 z + 1)
_______________________
3
(1 - z)
1, 32, 122, 272, 482, 752, 1082, 1472, 1922, 2432, 3002, 3632, 4322, 5072,
5882, 6752, 7682, 8672, 9722, 10832, 12002, 13232, 14522, 15872, 17282,
18752, 20282, 21872, 23522, 25232
Centered dodecahedral numbers
Réf.
INOC 24 4550 85.
H I S 2 A5904
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 28 z + 1)
_______________________
4
(z - 1)
1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569, 11571, 15203, 19525,
24597, 30479, 37231, 44913, 53585, 63307, 74139, 86141, 99373, 113895,
129767, 147049, 165801, 186083
A.437
Points on surface of truncated tetrahedron
Réf.
CO74. INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5905
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 12 z + 1)
_______________________
3
(1 - z)
1, 16, 58, 128, 226, 352, 506, 688, 898, 1136, 1402, 1696, 2018, 2368, 2746,
3152, 3586, 4048, 4538, 5056, 5602, 6176, 6778, 7408, 8066, 8752, 9466,
10208, 10978, 11776, 12602, 13456
Truncated tetrahedral numbers
Réf.
CO74. INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5906
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 12 z + 10 z
__________________
4
(z - 1)
1, 16, 68, 180, 375, 676, 1106, 1688, 2445, 3400, 4576, 5996, 7683, 9660,
11950, 14576, 17561, 20928, 24700, 28900, 33551, 38676, 44298, 50440,
57125, 64376, 72216, 80668, 89755
A.438
Truncated octahedral numbers
Réf.
CO74. INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5910
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 34 z + 55 z + 6 z
_________________________
4
(z - 1)
1, 38, 201, 586, 1289, 2406, 4033, 6266, 9201, 12934, 17561, 23178, 29881,
37766, 46929, 57466, 69473, 83046, 98281, 115274, 134121, 154918,
177761, 202746, 229969, 259526, 291513
Points on surface of truncated cube
Réf.
INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5911
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 44 z + 1)
_______________________
3
(1 - z)
1, 48, 186, 416, 738, 1152, 1658, 2256, 2946, 3728, 4602, 5568, 6626, 7776,
9018, 10352, 11778, 13296, 14906, 16608, 18402, 20288, 22266, 24336,
26498, 28752, 31098, 33536, 36066
A.439
Truncated cube numbers
Réf.
INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5912
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 52 z + 93 z + 8 z
_________________________
4
(z - 1)
1, 56, 311, 920, 2037, 3816, 6411, 9976, 14665, 20632, 28031, 37016, 47741,
60360, 75027, 91896, 111121, 132856, 157255, 184472, 214661, 247976,
284571, 324600, 368217, 415576, 466831
Points on surface of hexagonal prism
Réf.
INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5914
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 10 z + 1)
_______________________
3
(1 - z)
1, 14, 50, 110, 194, 302, 434, 590, 770, 974, 1202, 1454, 1730, 2030, 2354,
2702, 3074, 3470, 3890, 4334, 4802, 5294, 5810, 6350, 6914, 7502, 8114,
8750, 9410, 10094, 10802, 11534, 12290
A.440
Hexagonal prism numbers
Réf.
INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5915
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 10 z + 7 z
__________________
4
(z - 1)
1, 14, 57, 148, 305, 546, 889, 1352, 1953, 2710, 3641, 4764, 6097, 7658,
9465, 11536, 13889, 16542, 19513, 22820, 26481, 30514, 34937, 39768,
45025, 50726, 56889, 63532, 70673, 78330
Rhombic dodecahedral numbers
Réf.
AMM 82 819 75. INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5917
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 10 z + 1)
________________________
4
(z - 1)
1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439, 4641, 6095, 7825, 9855,
12209, 14911, 17985, 21455, 25345, 29679, 34481, 39775, 45585, 51935,
58849, 66351, 74465, 83215, 92625
A.441
Points on surface of square pyramid
Réf.
CO74. INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5918
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + z + 1)
____________________
3
(1 - z)
1, 5, 14, 29, 50, 77, 110, 149, 194, 245, 302, 365, 434, 509, 590, 677, 770,
869, 974, 1085, 1202, 1325, 1454, 1589, 1730, 1877, 2030, 2189, 2354, 2525,
2702, 2885, 3074, 3269, 3470, 3677
Points on surface of tricapped prism
Réf.
INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5919
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (z + 5 z + 1)
______________________
3
(1 - z)
1, 9, 30, 65, 114, 177, 254, 345, 450, 569, 702, 849, 1010, 1185, 1374, 1577,
1794, 2025, 2270, 2529, 2802, 3089, 3390, 3705, 4034, 4377, 4734, 5105,
5490, 5889, 6302, 6729, 7170, 7625
A.442
Tricapped prism numbers
Réf.
INOC 24 4552 85.
H I S 2 A5920
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 5 z + 3 z
_______________
4
(z - 1)
1, 9, 33, 82, 165, 291, 469, 708, 1017, 1405, 1881, 2454, 3133, 3927, 4845,
5896, 7089, 8433, 9937, 11610, 13461, 15499, 17733, 20172, 22825, 25701,
28809, 32158, 35757, 39615, 43741
From solution to a difference equation
Réf.
FQ 25 363 87.
H I S 2 A5921
Dérivée logarithmique
F.G. exponentielle
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(z + 1)
___________
2
z - z + 1
1, 3, 10, 48, 312, 2520, 24480, 277200, 3588480, 52254720
A.443
n-step mappings with 4 inputs
Réf.
PRV A32 2342 85.
H I S 2 A5945
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1
exponentielle
2 3
exp(z) (1 + 14 z + 31/2 z + 3 z )
1, 15, 60, 154, 315, 561, 910
Sum of cubes of Fibonacci numbers
Réf.
BR72 18.
H I S 2 A5968
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z - z
__________________________________
2 2
(z - 1) (1 - 4 z - z ) (z - z - 1)
1, 2, 10, 37, 162, 674, 2871, 12132, 51436, 217811, 922780, 3908764,
16558101, 70140734, 297121734, 1258626537, 5331629710, 22585142414,
95672204155, 405273951280
A.444
Sum of fourth powers of Fibonacci numbers
Réf.
BR72 19.
H I S 2 A5969
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z) (1 - 5 z + z )
_______________________________________
2 2 2
(z - 7 z + 1) (z + 3 z + 1) (z - 1)
1, 2, 18, 99, 724, 4820, 33381, 227862, 1564198, 10714823, 73457064,
503438760, 3450734281, 23651386922, 162109796922, 1111115037483,
7615701104764, 52198777931900
Sum of squares of Lucas numbers
Réf.
BR72 20.
H I S 2 A5970
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 7 z - 4 z
_____________________________
2
(1 - z) (1 + z) (1 - 3 z + z )
1, 10, 26, 75, 196, 520, 1361, 3570, 9346, 24475, 64076, 167760, 439201,
1149850, 3010346, 7881195, 20633236, 54018520, 141422321, 370248450,
969323026, 2537720635
A.445
Sum of cubes of Lucas numbers
Réf.
BR72 21.
H I S 2 A5971
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 24 z - 23 z - 8 z
__________________________________
2 2
(z - 1) (1 - 4 z - z ) (z - z - 1)
1, 28, 92, 435, 1766, 7598, 31987, 135810, 574786, 2435653, 10316252,
43702500, 185123261, 784200368, 3321916912, 14071880655,
59609419066, 252509590018, 1069647725567
Sum of fourth powers of Lucas numbers
Réf.
BR72 21.
H I S 2 A5972
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + 76 z - 164 z - 79 z + 16 z
_______________________________________
2 2 2
(z - 7 z + 1) (z + 3 z + 1) (z - 1)
1, 82, 338, 2739, 17380, 122356, 829637, 5709318, 39071494, 267958135,
1836197336, 12586569192, 86266785673, 591288786874, 4052734152890,
27777904133691
A.446
Longest walk on edges of n-cube
Réf.
clm.
H I S 2 A5985
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 2 z - 4 z + 4 z
_____________________________________
2
(1 - z) (1 + 2 z) (1 + z) (2 z - 1)
1, 4, 9, 32, 65, 192, 385, 1024, 2049, 5120, 10241, 24576, 49153, 114688,
229377, 524288, 1048577, 2359296, 4718593, 10485760, 20971521,
46137344, 92274689, 201326592
Column-strict plane partitions of n
Réf.
SAM 50 260 71.
H I S 2 A5986
Euler
H I S 1
Produit infini
c(n) = 2,2,3,3,4,4,5,5,...
1, 2, 5, 11, 23, 45, 87, 160, 290, 512, 889, 1514, 2547, 4218, 6909, 11184,
17926, 28449, 44772, 69862, 108205, 166371, 254107, 385617, 581729,
872535, 1301722, 1932006, 2853530
A.447
Symmetric plane partitions of n
Réf.
SAM 50 261 71.
H I S 2 A5987
Euler
H I S 1
Produit infini
* c(n) = 1 si n est impair et [n/4] si n est pair.
c(n) = 1,0,1,1,1,1,1,2,1,2,1,...*
1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 22, 29, 41, 53, 71, 93, 125, 160, 211, 270, 354,
450, 581, 735, 948, 1191, 1517, 1902, 2414, 3008, 3791, 4709, 5909, 7311,
9119, 11246, 13981, 17178, 21249
Paraffins
Réf.
BER 30 1919 1897.
H I S 2 A5993
Euler
H I S 1
Fraction rationnelle
4
1 - z
___________________
2 2 3
(1 - z) (1 - z )
1, 2, 6, 10, 19, 28, 44, 60, 85, 110
A.448
Paraffins
Réf.
BER 30 1919 1897.
H I S 2 A5994
Euler
H I S 1
Fraction rationnelle
4
1 - z
___________________
3 2 3
(1 - z) (1 - z )
1, 3, 9, 19, 38, 66, 110, 170, 255, 365
Paraffins
Réf.
BER 30 1919 1897.
H I S 2 A5995
Euler
H I S 1
Fraction rationnelle
4 6 8 18
(1 - z ) (1 - z )
_____________________________
3 2 6 6 8
(1 - z) (1 - z ) (1 - z )
1, 3, 12, 28, 66, 126, 236, 396, 651, 1001
A.449
Paraffins
Réf.
BER 30 1920 1897.
H I S 2 A5996
Euler
H I S 1
Fraction rationnelle
3
1 - z
___________________
3 2 2
(1 - z) (1 - z )
2, 6, 16, 30, 54, 84, 128, 180, 250, 330
Paraffins
Réf.
BER 30 1922 1897.
H I S 2 A6000
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 2 z
__________
4
(z - 1)
1, 4, 12, 28, 55, 96, 154, 232, 333
A.450
Paraffins
Réf.
BER 30 1922 1897.
H I S 2 A6001
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
1 + 2 z
__________
4
(z - 1)
1, 4, 10, 22, 43, 76, 124, 190, 277
Paraffins
Réf.
BER 30 1922 1897.
H I S 2 A6003
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
1 - z
_________
5
(1 - z)
1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260
A.451
Paraffins
Réf.
BER 30 1922 1897.
H I S 2 A6004
Euler
H I S 1
Fraction rationnelle
4 5 6
(1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
___________________________________
4 2 3 7
(1 - z) (1 - z ) (1 - z ) (1 - z )
1, 4, 11, 25, 49, 86, 139, 211
Paraffins
Réf.
BER 30 1923 1897.
H I S 2 A6007
Euler
H I S 1
Fraction rationnelle
4
1 - z
_________________
5 2
(1 - z) (1 - z )
1, 5, 16, 40, 85, 161, 280, 456
A.452
Paraffins
Réf.
BER 30 1923 1897. GA66 246.
H I S 2 A6008
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z (1 + z) (1 - z + z )
_______________________
5
(1 - z)
0, 1, 5, 15, 36, 75, 141, 245, 400, 621, 925, 1331, 1860, 2535, 3381, 4425,
5696, 7225, 9045, 11191, 13700, 16611, 19965, 23805, 28176, 33125, 38701,
44955, 51940, 59711, 68325
Paraffins
Réf.
BER 30 1923 1897.
H I S 2 A6011
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 + z
________
5
(1 - z)
3, 18, 60, 150, 315, 588, 1008, 1620
A.453
Réf.
GK90 86.
H I S 2 A6012
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 - 2 z
_______________
2
1 - 4 z + 2 z
1, 2, 6, 20, 68, 232, 792, 2704, 9232, 31520, 107616, 367424, 1254464,
4283008, 14623104, 49926400, 170459392, 581984768, 1987020288,
6784111616, 23162405888, 79081400320
Réf.
dek.
H I S 2 A6013
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
3F2([1, 4/3, 2/3], [2, 3/2], 27 z /4)
1, 2, 7, 30, 143, 728, 3876, 21318, 120175, 690690, 4032015, 23841480,
142498692, 859515920, 5225264024, 31983672534, 196947587823,
1219199353190, 7583142491925, 47365474641870
A.454
Réf.
rkg.
H I S 2 A6040
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
2
a(n) = (- n + 4 n - 4) a(n - 2)
2
+ (n - 2 n + 2) a(n - 1)
1, 2, 9, 82, 1313, 32826, 1181737, 57905114, 3705927297, 300180111058,
30018011105801, 3632179343801922, 523033825507476769,
88392716510763573962
Réf.
rkg.
H I S 2 A6041
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
2
(n - 1) a(n) = (n - 3 n + 3) n a(n - 1)
2
+ (- n + 4 n - 3) n a(n - 2)
0, 2, 9, 76, 1145, 27486, 962017, 46176824, 2909139921, 232731193690,
23040388175321, 2764846581038532, 395373061088510089,
66422674262869694966
A.455
A traffic light problem
Réf.
BIO 46 422 59.
H I S 2 A6043
Hypergéométrique
H I S 1
Fraction rationnelle
2
___________
3
(1 - 3 z)
2, 18, 108, 540, 2430
Square hex numbers
Réf.
GA88 19.
H I S 2 A6051
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 26 z + z
_______________________
2
(1 - z) (z - 194 z + 1)
1, 169, 32761, 6355441, 1232922769, 239180661721, 46399815451081,
9001325016847969, 1746210653453054881, 338755865444875798921,
65716891685652451935769
A.456
Triangular star numbers
Réf.
GA88 20.
H I S 2 A6060
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 58 z + z
________________________
2
(1 - z) (z - 194 z + 1)
1, 253, 49141, 9533161, 1849384153, 358770992581, 69599723176621,
13501987525271953, 2619315980179582321, 508133798167313698381,
98575337528478677903653
Square star numbers
Réf.
GA88 22.
H I S 2 A6061
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z + 22 z + 1
_______________________
2
(1 - z) (z - 98 z + 1)
1, 121, 11881, 1164241, 114083761, 11179044361, 1095432263641,
107341182792481, 10518340481399521, 1030690025994360601,
100997104206965939401
A.457
Star-hex numbers
Réf.
GA88 22. JRM 16 192 83.
H I S 2 A6062
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 + z)
______________________
2
(1 - z) (z - 34 z + 1)
1, 37, 1261, 42841, 1455337, 49438621, 1679457781, 57052125937,
1938092824081, 65838103892821, 2236557439531837
Maximal length rook tour on n X n board
Réf.
GA86 76.
H I S 2 A6071
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 5
1 + z + 4 z + 6 z - 5 z + z
________________________________
4
(1 + z) (z - 1)
1, 4, 14, 38, 76, 136, 218, 330, 472, 652, 870, 1134
A.458
Gaussian binomial coefficient [n,2] for q=2
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6095
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 4 z)
1, 7, 35, 155, 651, 2667, 10795, 43435, 174251, 698027, 2794155, 11180715,
44731051, 178940587, 715795115, 2863245995, 11453115051,
45812722347, 183251413675
Gaussian binomial coefficient [n,3] for q=2
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6096
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
____________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 4 z) (1 - 8 z)
1, 15, 155, 1395, 11811, 97155, 788035, 6347715, 50955971, 408345795,
3269560515, 26167664835, 209386049731, 1675267338435,
13402854502595, 107225699266755, 857817047249091
A.459
Gaussian binomial coefficient [n,4] for q=2
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6097
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_______________________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 4 z) (1 - 8 z) (1 - 16 z)
1, 31, 651, 11811, 200787, 3309747, 53743987, 866251507, 13910980083,
222984027123, 3571013994483, 57162391576563, 914807651274739,
14638597687734259
Gaussian binomial coefficient [n,2] for q=3
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6100
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________________________
(1 - z) (1 - 3 z) (1 - 9 z)
1, 13, 130, 1210, 11011, 99463, 896260, 8069620, 72636421, 653757313,
5883904390, 52955405230, 476599444231, 4289397389563,
38604583680520, 347441274648040, 3126971536402441
A.460
Gaussian binomial coefficient [n,3] for q=3
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6101
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_____________________________________
(1 - z) (1 - 3 z) (1 - 9 z) (1 - 27 z)
1, 40, 1210, 33880, 925771, 25095280, 678468820, 18326727760,
494894285941, 13362799477720, 360801469802830, 9741692640081640,
263026177881648511, 7101711092201899360
Gaussian binomial coefficient [n,4] for q=3
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6102
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
________________________________________________
(1 - z) (1 - 3 z) (1 - 9 z) (1 - 27 z) (1 - 81 z)
1, 121, 11011, 925771, 75913222, 6174066262, 500777836042,
40581331447162, 3287582741506063, 266307564861468823,
21571273555248777493, 1747282899667791058573
A.461
Gaussian binomial coefficient [n,2] for q=4
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6105
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
____________________________
(1 - z) (1 - 4 z) (1 - 16 z)
1, 21, 357, 5797, 93093, 1490853, 23859109, 381767589, 6108368805,
97734250405, 1563749404581, 25019996065701, 400319959420837,
6405119440211877, 102481911401303973
Gaussian binomial coefficient [n,3] for q=4
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6106
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
______________________________________
(1 - z) (1 - 4 z) (1 - 16 z) (1 - 64 z)
1, 85, 5797, 376805, 24208613, 1550842085, 99277752549, 6354157930725,
406672215935205, 26027119554103525, 1665737215212030181,
106607206793565997285
A.462
Gaussian binomial coefficient [n,5] for q=2
Réf.
GJ83 99. ARS A17 328 84.
H I S 2 A6110
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________________________________________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 4 z) (1 - 8 z) (1 - 16 z) ( 1 - 32 z)
1, 63, 2667, 97155, 3309747, 109221651, 3548836819, 114429029715,
3675639930963, 117843461817939, 3774561792168531,
120843139740969555, 3867895279362300499
Gaussian binomial coefficient [n,2] for q=5
Réf.
GJ83 99. ARS A17 329 84.
H I S 2 A6111
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
____________________________
(1 - z) (1 - 5 z) (1 - 25 z)
1, 31, 806, 20306, 508431, 12714681, 317886556, 7947261556,
198682027181, 4967053120931, 124176340230306, 3104408566792806,
77610214474995931, 1940255363400777181
A.463
Gaussian binomial coefficient [n,3] for q=5
Réf.
GJ83 99. ARS A17 329 84.
H I S 2 A6112
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_______________________________________
(1 - z) (1 - 5 z) (1 - 25 z) (1 - 125 z)
1, 156, 20306, 2558556, 320327931, 40053706056, 5007031143556,
625886840206056, 78236053707784181, 9779511680526143556,
1222439084242108174806
Réf.
FQ 15 24 77.
H I S 2 A6130
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_____________
2
1 - z - 3 z
1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316,
173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071,
59541067, 137109280, 315732481
A.464
Réf.
FQ 15 24 77.
H I S 2 A6131
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_____________
2
1 - z - 4 z
1, 1, 5, 9, 29, 65, 181, 441, 1165, 2929, 7589, 19305, 49661, 126881, 325525,
833049, 2135149, 5467345, 14007941, 35877321, 91909085, 235418369,
603054709, 1544728185
Réf.
FQ 11 52 73.
H I S 2 A6138
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 + z
_____________
2
1 - z - 3 z
1, 2, 5, 11, 26, 59, 137, 314, 725, 1667, 3842, 8843, 20369, 46898, 108005,
248699, 572714, 1318811, 3036953, 6993386, 16104245, 37084403,
85397138, 196650347, 452841761
A.465
Réf.
FQ 27 434 89.
H I S 2 A6139
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n - 1) a(n) = (4 n - 6) a(n - 1) + (4 n - 8) a(n - 2)
1
____________________
2 1/2
(1 - 4 z - 4 z )
1, 2, 8, 32, 136, 592, 2624, 11776, 53344, 243392, 1116928, 5149696,
23835904, 110690816, 515483648, 2406449152, 11258054144,
52767312896, 247736643584
Dyck paths
Réf.
SC83.
H I S 2 A6149
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
4F3 ([1, 1/2, 3/2, 5/2], [4, 5, 6], 64 z)
1, 1, 4, 30, 330, 4719, 81796, 1643356, 37119160, 922268360, 24801924512,
713055329720
A.466
Dyck paths
Réf.
SC83.
H I S 2 A6150
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
5F4 ([1, 1/2, 7/2, 5/2, 3/2],
[5, 6, 7, 8], 256 z)
1, 1, 5, 55, 1001, 26026, 884884, 37119160, 1844536720, 105408179176,
6774025632340
Dyck paths
Réf.
SC83.
H I S 2 A6151
Recoupements
Suite P-récurrente
H I S 1
6F5 ([1, 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2],
[6, 7, 8, 9, 10], 1024 z)
1, 1, 6, 91, 2548, 111384, 6852768, 553361016, 55804330152,
6774025632340
A.467
Expansion of z exp(z/(1-z))
Réf.
ARS 10 142 80.
H I S 2 A6152
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle
a(n) = (2 n - 2) a(n - 1) + (- n^2 + 5 n - 5) a(n - 2) + (- n^2 + 6 n - 8) a(n - 3)
2
z - z + 1
_______________________
2
exp(1/(1-z)) (z - 1)
1, 2, 9, 52, 365, 3006, 28357, 301064, 3549177, 45965530, 648352001,
9888877692, 162112109029, 2841669616982, 53025262866045,
1049180850990736, 21937381717388657
Réf.
RAIRO 12 58 78.
H I S 2 A6157
Dérivée logarithmique
f.g. exponentielle
H I S 1
Fraction rationnelle
1 + z
________
4
(1 - z)
1, 5, 28, 180, 1320, 10920, 100800, 1028160, 11491200, 139708800,
1836172800, 25945920000, 392302310400, 6320426112000,
108101081088000, 1956280854528000
A.468
From sum of 1/F(n)
Réf.
FQ 16 169 78.
H I S 2 A6172
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
F(n) : Nombres de Fibonacci
2 3 4
2 + 3 z - 19 z + 17 z - 4 z
___________________________________
2 2
(z - 1) (z - z - 1) (1 - 3 z + z )
2, 9, 10, 42, 79, 252, 582, 1645, 4106, 11070, 28459, 75348, 195898
∑ (k+1)! C(n-2,k)/2 , k=0...n-2
Réf.
DM 55 272 85.
H I S 2 A6183
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle
a(n) = (1 + n) a(n - 1) + (2 - n) a(n - 2)
2 exp(z)
_________
2
(1 - z)
2, 6, 22, 98, 522, 3262, 23486, 191802, 1753618, 17755382, 197282022,
2387112466, 31249472282, 440096734638, 6635304614542,
106638824162282, 1819969265702946
A.469
Réf.
FQ 15 292 77. ARS 6 168 78.
H I S 2 A6190
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
_____________
2
1 - 3 z - z
1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321,
5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, 2003229469,
6616217487, 21851881930
Partitions into pairs
Réf.
PLIS 23 65 78.
H I S 2 A6198
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle
Formule de B. Salvy
a(n) = (2 n - 2) a(n - 1) + (2 n - 4) a(n - 2) + a(n - 3)
1/2
2 - 2 z - (1 - 2 z)
__________________________________
3/2 1/2
(1 - 2 z) exp(1 - (1 - 2 z) )
1, 1, 6, 41, 365, 3984, 51499, 769159, 13031514, 246925295, 5173842311,
118776068256, 2964697094281, 79937923931761, 2315462770608870,
71705109685449689
A.470
Partitions into pairs
Réf.
PLIS 23 65 78.
H I S 2 A6199
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
a(n) = 2 n a(n - 1) + (2 n - 6)
a(n - 3) + a(n - 4) + (2 n - 3) a(n - 2)
1, 3, 21, 185, 2010, 25914, 386407, 6539679, 123823305, 2593076255,
59505341676, 1484818160748, 40025880386401, 1159156815431055,
35891098374564105
Partitions into pairs
Réf.
PLIS 23 65 78.
H I S 2 A6200
P-récurrences
Suite P-récurrrente
H I S 1
a(n) (n - 1) =
2
(2 + 6 n - 2 n ) a(n - 2)
2
+ (- 6 + 2 n + 2 n ) a(n - 1) - n a(n - 3)
1, 6, 55, 610, 7980, 120274, 2052309, 39110490, 823324755, 18974858540,
475182478056, 12848667150956, 373081590628565, 11578264139795430,
382452947343624515
A.471
From continued fraction for Zeta(3)
Réf.
LNM 751 68 79.
H I S 2 A6221
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z (1 + z) (5 z + 92 z + 5)
___________________________
4
(z - 1)
0, 5, 117, 535, 1463, 3105, 5665, 9347, 14355, 20893, 29165, 39375, 51727,
66425, 83673, 103675, 126635, 152757, 182245, 215303, 252135, 292945,
337937, 387315, 441283, 500045
Réf.
LNM 751 68 79.
H I S 2 A6222
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
3 + 16 z + 3 z
_________________
3
(1 - z)
3, 25, 69, 135, 223, 333, 465, 619, 795, 993, 1213, 1455, 1719, 2005, 2313,
2643, 2995, 3369, 3765, 4183, 4623, 5085, 5569, 6075, 6603, 7153, 7725,
8319, 8935, 9573, 10233, 10915
A.472
Binary trees of height n requiring 3 registers
Réf.
TCS 9 105 79.
H I S 2 A6223
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________________________________________________________
4 3 2 2
(2 z - 1) (2 z - 16 z + 20 z - 8 z + 1) (1 - 4 z + 2 z )
1, 14, 118, 780, 4466, 23276, 113620, 528840, 2375100, 10378056,
44381832, 186574864, 773564328, 3171317360, 12880883408,
51915526432, 207893871472, 827983736608
Réf.
AMM 28 114 21. JO61 150. jos.
H I S 2 A6228
équations différentielles Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle
a(n) = (n^2 - 6 n + 10) a(n - 2)
exp(arcsin(z))
1, 1, 1, 2, 5, 20, 85, 520, 3145, 26000, 204425, 2132000, 20646925,
260104000, 2993804125, 44217680000, 589779412625, 9993195680000,
151573309044625, 2898026747200000
A.473
Bitriangular permutations
Réf.
DMJ 13 267 46.
H I S 2 A6230
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
(1 + z) (1 + 6 z)
__________________________
(1 - z) (1 - 2 z) (1 - 3 z)
1, 13, 73, 301, 1081, 3613, 11593, 36301, 111961, 342013, 1038313,
3139501, 9467641, 28501213, 85700233, 257493901, 773268121,
2321377213, 6967277353, 20908123501
∑ n(n-1) ... (n-k+1)/k, k=2..n
Réf.
.rkg.
H I S 2 A6231
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle
Une solution de l'équation différentielle existe avec la fonction Ei(z), B. Salvy.
a(n) = (n + 3) a(n - 1)
+ (- 3 n - 1) a(n - 2)
+ (3 n - 3) a(n - 3)
+ (- n + 2) a(n - 4)
0, 1, 5, 20, 84, 409, 2365, 16064, 125664, 1112073, 10976173, 119481284,
1421542628, 18348340113, 255323504917, 3809950976992,
60683990530208, 1027542662934897
A.474
Réf.
JCT B24 208 78.
H I S 2 A6234
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 z - 1
___________
2
(1 - 3 z)
1, 4, 15, 54, 189, 648, 2187, 7290, 24057, 78732, 255879, 826686, 2657205,
8503056, 27103491, 86093442, 272629233, 860934420, 2711943423,
8523250758, 26732013741
Complexity of doubled cycle
Réf.
JCT B24 208 78.
H I S 2 A6235
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + 2 z - 10 z + 2 z + z
____________________________
2 2 2
(z - 1) (1 - 4 z + z )
1, 12, 75, 384, 1805, 8100, 35287, 150528, 632025, 2620860, 10759331,
43804800, 177105253, 711809364, 2846259375, 11330543616,
44929049777, 177540878700, 699402223099
A.475
Triangular hex numbers
Réf.
GA88 19. jos.
H I S 2 A6244
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 8 z + z
______________________
2
(1 - z) (z - 98 z + 1)
1, 91, 8911, 873181, 85562821, 8384283271, 821574197731,
80505887094361, 7888755361049641, 773017519495770451,
75747828155224454551, 7422514141692500775541
Stacking bricks
Réf.
GKP 360.
H I S 2 A6253
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1 - z
_____________________
2
(1 + z) (1 - 4 z + z )
1, 2, 9, 32, 121, 450, 1681, 6272, 23409, 87362, 326041, 1216800, 4541161,
16947842, 63250209, 236052992, 880961761, 3287794050, 12270214441,
45793063712, 170902040409
A.476
Réf.
MIS 4(3) 32 75.
H I S 2 A6261
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 2
(1 - z + z ) (1 - 3 z + 3 z )
_____________________________
6
(z - 1)
1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 120, 219, 382, 638, 1024, 1586, 2380, 3473, 4944, 6885,
9402, 12616, 16664, 21700, 27896, 35443, 44552, 55455, 68406, 83682,
101584, 122438, 146596, 174437
Rooted genus-2 maps with n edges
Réf.
WA71. JCT 13 215 72.
H I S 2 A6298
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
21 z (1 + z)
__________________
11/2
(1 - 4 z)
21, 483, 6468, 66066, 570570, 4390386, 31039008, 205633428, 1293938646,
7808250450, 45510945480
A.477
Royal paths in a lattice
Réf.
CRO 20 12 73.
H I S 2 A6318
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
n a(n) = (6 n - 9) a(n - 1) + (- n + 3) a(n - 2)
2 1/2
1/2 - 1/2 z - 1/2 (1 - 6 z + z )
1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, 41586, 206098, 1037718, 5293446,
27297738, 142078746, 745387038, 3937603038, 20927156706,
111818026018, 600318853926, 3236724317174
Royal paths in a lattice
Réf.
CRO 20 18 73.
H I S 2 A6319
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 1) a(n) = (n - 4) a(n - 3) + (7 n - 4) a(n - 1) + (- 7 n + 17) a(n - 2)
S(z) est son propre inverse fonctionnel
2 1/2 2
(1/2 - 1/2 z - 1/2 (1 - 6 z + z ) )
1, 4, 16, 68, 304, 1412, 6752, 33028, 164512, 831620, 4255728, 22004292,
114781008, 603308292, 3192216000, 16989553668, 90890869312,
488500827908, 2636405463248
A.478
Royal paths in a lattice
Réf.
CRO 20 18 73.
H I S 2 A6320
Inverse fonctionnel
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 2) a(n) = (9 n - 30) a(n - 3)
+ (- n + 5) a(n - 4) + (9 n + 3) a(n - 1)
+ (- 20 n + 30) a(n - 2)
2 1/2 3
(1/2 - 1/2 z - 1/2 (1 - 6 z + z ) )
1, 6, 30, 146, 714, 3534, 17718, 89898, 461010, 2386390, 12455118,
65478978, 346448538, 1843520670, 9859734630, 52974158938,
285791932578, 1547585781414, 8408765223294
Royal paths in a lattice
Réf.
CRO 20 18 73.
H I S 2 A6321
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
(n + 3) a(n) = n a(n - 5) + (36 n - 88) a(n - 3) + (- 11 n + 47) a(n - 4)
+ (11 n + 14) a(n - 1) + (- 36 n + 20) a(n - 2) - 6 a(n - 5)
2 1/2 4
(1/2 - 1/2 z - 1/2 (1 - 6 z + z ) )
1, 8, 48, 264, 1408, 7432, 39152, 206600, 1093760, 5813000, 31019568,
166188552, 893763840, 4823997960, 26124870640, 141926904328,
773293020928, 4224773978632
A.479
Total preorders
Réf.
MSH 53 20 76.
H I S 2 A6327
Approximants de Padé
Conjecture
H I S 1
Fraction rationnelle
2 + z
____________________
2
(1 - z) (1 - z - z )
2, 5, 10, 18, 31, 52, 86
From the enumeration of corners
Réf.
CRO 6 82 65.
H I S 2 A6331
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 (1 + z)
_________
4
(z - 1)
2, 10, 28, 60, 110, 182, 280, 408, 570, 770, 1012, 1300, 1638, 2030, 2480,
2992, 3570, 4218, 4940, 5740, 6622, 7590, 8648, 9800, 11050, 12402, 13860,
15428, 17110, 18910, 20832
A.480
From the enumeration of corners
Réf.
CRO 6 82 65.
H I S 2 A6332
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
2 (1 + z) (1 + 6 z + z )
________________________
7
(1 - z)
2, 28, 168, 660, 2002, 5096, 11424, 23256, 43890, 77924, 131560, 212940,
332514, 503440, 742016, 1068144, 1505826, 2083692, 2835560, 3801028,
5026098, 6563832, 8475040
From the enumeration of corners
Réf.
CRO 6 82 65.
H I S 2 A6333
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
5 4 3 2
z + 20 z + 75 z + 75 z + 20 z + 1
_____________________________________
10
(z - 1)
2, 60, 660, 4290, 20020, 74256, 232560, 639540, 1586310, 3617900,
7696260, 15438150, 29451240, 53796160, 94607040, 160908264,
265670730, 427156860, 670609940, 1030350090
A.481
From the enumeration of corners
Réf.
CRO 6 82 65.
H I S 2 A6334
hypergéométrique
H I S 1
Fraction rationnelle
7 6 5 4 3 2
( z + 4 2 z + 3 6 4 z + 1 0 0 1 z + 1 0 0 1 z + 3 6 4 z + 4 2 z + 1 ) z
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 3
( 1 - z )
2, 110, 2002, 20020, 136136, 705432, 2984520, 10786908, 34370050,
98768670, 260390130, 638110200, 1468635168, 3200871520, 6650874912,
13248113736, 25415833170
Réf.
CRO 6 99 65.
H I S 2 A6335
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique 3è degré
- (2 n - 1) n a(n) =
- 6 (3 n - 4) (3 n - 5) a(n - 1)
1, 2, 16, 192, 2816, 46592, 835584, 15876096, 315031552, 6466437120,
136383037440, 2941129850880, 64614360416256, 1442028424527872,
32619677465182208
A.482
Coloring a circuit with 4 colors
Réf.
TAMS 60 355 46. BE74.
H I S 2 A6342
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 z - 1
________________________
(z - 1) (1 - 3 z) (1 + z)
1, 1, 4, 10, 31, 91, 274, 820, 2461
Related to series-parallel networks
Réf.
AAP 4 127 72.
H I S 2 A6351
Inverse fonctionnel
H I S 1
exponentielle
f.g. exponentielle
S(z) est l'inverse fonctionnel de 2 ln(1 + z) - z
- 1 - 2 W(- 1/2 exp(- 1/2 + 1/2 z))
1, 2, 8, 52, 472, 5504, 78416, 1320064, 25637824, 564275648, 13879795712,
377332365568, 11234698041088, 363581406419456, 12707452084972544,
477027941930515456
A.483
Distributive lattices
Réf.
MSH 53 19 76. MSG 121 121 76.
H I S 2 A6356
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z - z - 1
__________________
3 2
z - z - 2 z + 1
1, 3, 6, 14, 31, 70, 157, 353, 793, 1782, 4004
Distributive lattices
Réf.
MSH 53 19 76. MSG 121 121 76.
H I S 2 A6357
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 - z + 2 z - z
______________________
3
(1 + z) (z - 3 z + 1)
1, 4, 10, 30, 85, 246, 707, 2037, 5864, 16886, 48620
A.484
Distributive lattices
Réf.
MSH 53 19 76. MSG 121 121 76.
H I S 2 A6358
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
(z - 1) (z - 3 z - 1)
_________________________________
2 3 4 5
1 - 3 z - 3 z + 4 z + z - z
1, 5, 15, 55, 190, 671, 2353, 8272, 29056, 102091, 358671
Réf.
UPNT E17. jhc.
H I S 2 A6368
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + 3 z + z + 3 z + z
____________________________
2 2 2
(1 + z ) (z - 1) (1 + z)
1, 3, 2, 6, 4, 9, 5, 12, 7, 15, 8, 18, 10, 21, 11, 24, 13, 27, 14, 30, 16, 33, 17, 36,
19, 39, 20, 42, 22, 45, 23, 48, 25, 51, 26, 54, 28, 57, 29, 60, 31, 63, 32, 66, 34,
69, 35, 72, 37, 75, 38, 78, 40
A.485
Réf.
UPNT E17. jhc.
H I S 2 A6369
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 2
(1 + z ) (z + 3 z + 1)
_________________________
2 2 2
(z - 1) (z + z + 1)
1, 3, 2, 5, 7, 4, 9, 11, 6, 13, 15, 8, 17, 19, 10, 21, 23, 12, 25, 27, 14, 29, 31, 16,
33, 35, 18, 37, 39, 20, 41, 43, 22, 45, 47, 24, 49, 51, 26, 53, 55, 28, 57, 59, 30,
61, 63, 32, 65, 67, 34, 69, 71
Image of n under the 3x+1 map
Réf.
UPNT 16.
H I S 2 A6370
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
4 + z + 2 z
___________________
2 2
(z - 1) (1 + z)
4, 1, 10, 2, 16, 3, 22, 4, 28, 5, 34, 6, 40, 7, 46, 8, 52, 9, 58, 10, 64, 11, 70, 12,
76, 13, 82, 14, 88, 15, 94, 16, 100, 17, 106, 18, 112, 19, 118, 20, 124, 21, 130,
22, 136, 23, 142, 24, 148, 25, 154
A.486
Rooted nonseparable maps on the torus
Réf.
JCT B18 241 75.
H I S 2 A6408
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z + 11 z + 4
______________
7
(z - 1)
4, 39, 190, 651, 1792, 4242, 8988, 17490, 31812
Non-separable planar tree-rooted maps
Réf.
JCT B18 243 75.
H I S 2 A6411
Dérivée logarithmique
H I S 1
Fraction rationnelle
2 z + 3
_________
6
(1 - z)
3, 20, 75, 210, 490, 1008, 1890, 3300, 5445, 8580, 13013
A.487
Non-separable toroidal tree-rooted maps
Réf.
JCT B18 243 75.
H I S 2 A6414
Dérivée logarithmique
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z + 3 z + 1
_____________
6
(z - 1)
1, 9, 40, 125, 315, 686, 1344, 2430, 4125, 6655, 10296
Rooted planar maps
Réf.
JCT B18 248 75.
H I S 2 A6416
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 4 z - 6 z + 2 z
______________________
4
(z - 1)
1, 8, 20, 38, 63, 96, 138, 190, 253, 328, 416, 518, 635
A.488
Rooted planar maps
Réf.
JCT B18 248 75.
H I S 2 A6417
Dérivée logarithmique
H I S 1
exponentielle
2 3 4 5 6
e x p ( z ) ( 3 6 0 + 6 8 4 0 z + 1 6 5 6 0 z + 8 1 0 0 z + 1 3 9 5 z + 9 3 z + 2 z )
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3 6 0
1, 20, 131, 469, 1262, 2862, 5780, 10725, 18647, 30784, 48713, 74405
Rooted planar maps
Réf.
JCT B18 249 75.
H I S 2 A6419
P-récurrences
Suite P-récurrente
H I S 1
(n + 2) a(n) =
(9 n + 10) a(n - 1)
- (24 n + 2) a(n - 2)
+ (16 n - 24) a(n - 3)
1, 7, 37, 176, 794, 3473, 14893, 63004, 263950, 1097790, 4540386,
18696432, 76717268
A.489
Tree-rooted planar maps
Réf.
JCT B18 256 75.
H I S 2 A6428
Approximants de Padé
H I S 1
exponentielle
2 3 4 5
exp(z) (3 + 33 z + 33 z + 10 z + 9/8 z + 1/24 z )
0, 3, 36, 135, 360, 798, 1568, 2826, 4770, 7645, 11748, 17433
Tree-rooted planar maps
Réf.
JCT B18 257 75.
H I S 2 A6431
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
2 3/2
6 z - 6 z + 1 - (1 - 4 z)
________________________________
3/2 2
- 2 (1 - 4 z) z
0, 2, 15, 84, 420, 1980, 9009, 40040, 175032, 755820, 3233230, 13728792,
57946200
A.490
√n divides n
Réf.
AMM 82 854 75. jos.
H I S 2 A6446
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + z + z - z
_______________________
2 2 3
(z + z + 1) (z - 1)
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 20, 24, 25, 30, 35, 36, 42, 48, 49, 56, 63, 64, 72,
80, 81, 90, 99, 100, 110, 120, 121, 132, 143, 144, 156, 168, 169, 182, 195,
196, 210, 224, 225, 240, 255, 256
Solution to a diophantine equation
Réf.
TR July 1973 p. 74. jos.
H I S 2 A6451
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
z (2 + 3 z - 2 z - z )
_____________________________________
2 2
(z - 1) (1 - 2 z - z ) (z - 2 z - 1)
0, 2, 5, 15, 32, 90, 189, 527, 1104, 3074, 6437, 17919, 37520, 104442,
218685, 608735, 1274592, 3547970, 7428869, 20679087, 43298624,
120526554, 252362877, 702480239
A.491
Solution to a diophantine equation
Réf.
TR July 1973 p. 74. jos.
H I S 2 A6452
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 - z) (z + 3 z + 1)
_____________________________
2 2
(1 - 2 z - z ) (z - 2 z - 1)
1, 2, 4, 11, 23, 64, 134, 373, 781, 2174, 4552, 12671, 26531, 73852, 154634,
430441, 901273, 2508794, 5253004, 14622323, 30616751, 85225144,
178447502, 496728541, 1040068261
Solution to a diophantine equation
Réf.
TR July 1973 p. 74. jos.
H I S 2 A6454
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z (1 + 4 z + z )
_______________________________________
2 2
3 (1 - z) (z - 6 z + 1) (1 + 6 z + z )
0, 3, 15, 120, 528, 4095, 17955, 139128, 609960, 4726275, 20720703,
160554240, 703893960, 5454117903, 23911673955, 185279454480,
812293020528, 6294047334435
A.492
Number of elements in Z[i] whose "smallest algorithm" is <= n
Réf.
JALG 19 290 71. hwl.
H I S 2 A6457
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3
1 + z + 2 z
______________________________
2 2
(2 z - 1) (1 - 2 z ) (1 - z)
1, 5, 17, 49, 125, 297, 669, 1457, 3093, 6457, 13309, 27201, 55237, 111689,
225101, 452689, 908885, 1822809, 3652701, 7315553, 14645349, 29311081,
58650733, 117342321, 234741877
Number of elements in Z[Ω] whose "smallest algorithm" is <= n
Réf.
JALG 19 290 71. hwl.
H I S 2 A6458
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 4 5
1 + 2 z + z + 2 z + 6 z
_________________________________________
3 2 2
(- 1 + 3 z) (2 z + 2 z - 1) (z - 1)
1, 7, 31, 115, 391, 1267, 3979, 12271, 37423, 113371, 342091, 1029799,
3095671, 9298147, 27914179, 83777503, 251394415, 754292827,
2263072411, 6789560412
A.493
Rooted planar maps
Réf.
JCT B18 249 75.
H I S 2 A6468
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3 2
z - 4 z + 2 z + 5
____________________
7
(z - 1)
5, 37, 150, 449, 1113, 2422, 4788, 8790, 15213, 25091, 39754, 60879
Rooted planar maps
Réf.
JCT B18 251 75.
H I S 2 A6469
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
3 z - 9 z - 10
_______________
7
(z - 1)
10, 79, 340, 1071, 2772, 6258, 12768, 24090, 42702, 71929
A.494
Rooted planar maps
Réf.
JCT B18 257 75.
H I S 2 A6471
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3 2
4 z + 35 z + 34 z + 5
________________________
10
(z - 1)
5, 84, 650, 3324, 13020, 42240, 118998, 300300, 693693, 1490060, 3011580
Réf.
JSCS 12 122 81.
H I S 2 A6472
hypergéométrique
f.g. exponentielle double
H I S 1
Fraction rationnelle
2 a(n) = (n - 1) n a(n - 1)
4
_________
2
(z - 2)
1, 1, 3, 18, 180, 2700, 56700, 1587600, 57153600, 2571912000,
141455160000, 9336040560000, 728211163680000, 66267215894880000,
6958057668962400000
A.495
Réf.
BIT 13 93 73.
H I S 2 A6478
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
______________________
2 2
(z - 1) (1 - z - z )
1, 3, 8, 18, 38, 76, 147, 277, 512, 932, 1676, 2984, 5269, 9239, 16104, 27926,
48210, 82900, 142055, 242665, 413376, 702408, 1190808, 2014608,
3401833, 5734251, 9650312
From variance of Fibonacci search
Réf.
BIT 13 93 73.
H I S 2 A6479
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
3 2
z (z + z + 1)
______________________
2 3
(1 - z) (1 - z - z )
0, 0, 0, 1, 5, 18, 52, 134, 318, 713, 1531, 3180, 6432, 12732, 24756, 47417,
89665, 167694, 310628, 570562, 1040226, 1883953, 3391799, 6073848,
10824096, 19204536, 33936456
A.496
Réf.
dsk.
H I S 2 A6483
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 6 z
________________________
2
(z - 1) (4 z + 2 z - 1)
1, 3, 5, 17, 49, 161, 513, 1665, 5377, 17409, 56321, 182273, 589825,
1908737, 6176769, 19988481, 64684033, 209321985, 677380097,
2192048129, 7093616641, 22955425793
Réf.
dsk.
H I S 2 A6484
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z + 5 z
_______________
5
(1 - z)
1, 3, 10, 30, 75, 161, 308, 540, 885, 1375, 2046, 2938, 4095, 5565, 7400,
9656, 12393, 15675, 19570, 24150, 29491, 35673, 42780, 50900, 60125,
70551, 82278, 95410, 110055, 126325
A.497
Generalized Lucas numbers
Réf.
FQ 15 252 77.
H I S 2 A6490
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - 2 z + 2 z
_________________
2 3
(1 - z - z )
1, 0, 3, 4, 10, 18, 35, 64, 117, 210, 374, 660, 1157, 2016, 3495, 6032, 10370,
17766, 30343, 51680, 87801, 148830, 251758, 425064, 716425, 1205568,
2025675, 3399004, 5696122
Generalized Lucas numbers
Réf.
FQ 15 252 77.
H I S 2 A6491
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
(1 - 2 z + 2 z ) (z - 1)
________________________
2 3
(1 - z - z )
1, 0, 4, 5, 15, 28, 60, 117, 230, 440, 834, 1560, 2891, 5310, 9680, 17527,
31545, 56468, 100590, 178395, 315106, 554530, 972564, 1700400, 2964325,
5153868, 8938300, 15465497
A.498
Generalized Lucas numbers
Réf.
FQ 15 252 77.
H I S 2 A6492
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 2
(1 - 2 z + 2 z ) (z - 1)
__________________________
2 4
(1 - z - z )
1, 0, 5, 6, 21, 40, 93, 190, 396, 796, 1586, 3108, 6025, 11552, 21947, 41346,
77311, 143580, 265013, 486398, 888122, 1613944, 2920100, 5261880,
9445905, 16897328, 30127665
Generalized Lucas numbers
Réf.
FQ 15 252 77.
H I S 2 A6493
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
(1 - 2 z + 2 z ) (z - 1)
__________________________
2 5
(1 - z - z )
1, 0, 6, 7, 28, 54, 135, 286, 627, 1313, 2730, 5565, 11212, 22304, 43911,
85614, 165490, 317373, 604296, 1143054, 2149074, 4017950, 7473180,
13832910, 25490115, 46774448
A.499
Réf.
FQ 15 292 77.
H I S 2 A6497
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 - 3 z
_____________
2
1 - 3 z - z
2, 3, 11, 36, 119, 393, 1298, 4287, 14159, 46764, 154451, 510117, 1684802,
5564523, 18378371, 60699636, 200477279, 662131473, 2186871698,
7222746567, 23855111399
Restricted combinations
Réf.
FQ 16 113 78.
H I S 2 A6498
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + z + 2 z + z
_____________________
2 2
(1 - z - z ) (1 + z )
1, 2, 4, 6, 9, 15, 25, 40, 64, 104, 169, 273, 441, 714, 1156, 1870, 3025, 4895,
7921, 12816, 20736, 33552, 54289, 87841, 142129, 229970, 372100, 602070,
974169, 1576239, 2550409
A.500
Restricted circular combinations
Réf.
FQ 16 115 78.
H I S 2 A6499
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
1 + 2 z + 6 z + 2 z
_______________________
2 2
(1 - z - z ) (1 + z )
1, 3, 9, 12, 16, 28, 49, 77, 121, 198, 324, 522, 841, 1363, 2209, 3572, 5776,
9348, 15129, 24477, 39601, 64078, 103684, 167762, 271441, 439203,
710649, 1149852, 1860496
Restricted combinations
Réf.
FQ 16 116 78.
H I S 2 A6500
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
7 6 5 4 3 2
z + 2 z + z - z - 3 z - z - z - 1
________________________________________
6 3 2
(z - z - 1) (1 - z - z )
1, 2, 4, 8, 12, 18, 27, 45, 75, 125, 200, 320, 512, 832, 1352, 2197, 3549, 5733,
9261, 14994, 24276, 39304, 63580, 102850, 166375, 269225, 435655,
704969, 1140624, 1845504, 2985984
A.501
Réf.
FQ 16 116 78.
H I S 2 A6501
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + z
________________________
2 2 4
(z + z + 1) (z - 1)
1, 2, 4, 8, 12, 18, 27, 36, 48, 64, 80, 100, 125, 150, 180, 216, 252, 294, 343,
392, 448, 512, 576, 648, 729, 810, 900, 1000, 1100, 1210, 1331, 1452, 1584,
1728, 1872, 2028, 2197, 2366
Réf.
FQ 14 43 76.
H I S 2 A6503
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 z - 3
_________
4
(1 - z)
3, 10, 22, 40, 65, 98, 140, 192, 255, 330, 418, 520, 637, 770, 920, 1088, 1275,
1482, 1710, 1960, 2233, 2530, 2852, 3200, 3575
A.502
Réf.
FQ 14 43 76.
H I S 2 A6504
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
5 - 5 z + z
______________
5
(1 - z)
5, 20, 51, 105, 190, 315, 490, 726, 1035, 1430, 1925, 2535, 3276, 4165, 5220,
6460, 7905, 9576, 11495, 13685, 16170, 18975, 22126, 25650, 29575
Réf.
FQ 14 69 76.
H I S 2 A6505
équations différentielles Formule de B. Salvy
H I S 1
exponentielle
2
exp(exp(z) - z - 1/2 z - 1)
1, 0, 0, 1, 1, 1, 11, 36, 92, 491, 2557, 11353, 60105, 362506, 2169246,
13580815, 91927435, 650078097, 4762023647, 36508923530,
292117087090, 2424048335917, 20847410586719
A.503
Réf.
HO73 113.
H I S 2 A6516
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
1
___________________
(1 - 2 z) (1 - 4 z)
1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, 523776, 2096128, 8386560,
33550336, 134209536, 536854528, 2147450880, 8589869056, 34359607296,
137438691328, 549755289600
Réf.
HO73 102.
H I S 2 A6522
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 - z + z
____________
5
(z - 1)
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246, 375, 550, 781, 1079, 1456, 1925, 2500, 3196,
4029, 5016, 6175, 7525, 9086, 10879, 12926, 15250, 17875, 20826, 24129,
27811, 31900, 36425, 41416
A.504
Réf.
GA66 246.
H I S 2 A6527
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z (1 + z )
___________
4
(z - 1)
0, 1, 4, 11, 24, 45, 76, 119, 176, 249, 340, 451, 584, 741, 924, 1135, 1376,
1649, 1956, 2299, 2680, 3101, 3564, 4071, 4624, 5225, 5876, 6579, 7336,
8149, 9020, 9951, 10944, 12001
Réf.
GA66 246.
H I S 2 A6528
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
z (1 + z + 4 z )
_________________
5
(1 - z)
0, 1, 6, 24, 70, 165, 336, 616, 1044, 1665, 2530, 3696, 5226, 7189, 9660,
12720, 16456, 20961, 26334, 32680, 40110, 48741, 58696, 70104, 83100,
97825, 114426, 133056, 153874
A.505
Cubes with sides of n colors
Réf.
GA66 246.
H I S 2 A6529
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3
z (1 + 5 z + 17 z + 77 z )
____________________________
5
(1 - z)
0, 1, 10, 57, 272, 885, 2226, 4725, 8912, 15417, 24970, 38401, 56640, 80717,
111762, 151005, 199776, 259505, 331722, 418057, 520240, 640101, 779570,
940677, 1125552, 1336425
C(n , 3) C(n - 1, 3) / 4
Réf.
H I S 2 A6542
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 3 z + z
______________
7
(1 - z)
1, 10, 50, 175, 490, 1176, 2520, 4950, 9075, 15730, 26026, 41405, 63700,
95200, 138720, 197676, 276165, 379050, 512050, 681835, 896126, 1163800,
1495000, 1901250, 2395575
A.506
n-coloring a cube
Réf.
C1 254.
H I S 2 A6550
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4 5
1 + 3 z + 8 z + 10 z + 14 z - 6 z
_______________________________________
7
(1 - z)
1, 10, 57, 234, 770, 2136, 5180, 11292, 22599, 42190, 74371, 124950,
201552, 313964, 474510, 698456, 1004445, 1414962, 1956829, 2661730,
3566766, 4715040, 6156272, 7947444
Icosahedral numbers
Réf.
H I S 2 A6564
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 8 z + 6 z
________________
4
(z - 1)
1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260, 3036, 3972, 5083, 6384,
7890, 9616, 11577, 13788, 16264, 19020, 22071, 25432, 29118, 33144,
37525, 42276, 47412, 52948, 58899
A.507
Colored hexagons
Réf.
H I S 2 A6565
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2 3 4
1 + 7 z + 53 z + 49 z + 10 z
__________________________________
7
(1 - z)
1, 14, 130, 700, 2635, 7826, 19684, 43800, 88725, 166870, 295526, 498004,
804895, 1255450, 1899080, 2796976, 4023849, 5669790, 7842250,
10668140, 14296051, 18898594
Dodecahedral numbers
Réf.
H I S 2 A6566
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
2
1 + 16 z + 10 z
__________________
4
(1 - z)
1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060, 5456, 7140, 9139, 11480,
14190, 17296, 20825, 24804, 29260, 34220, 39711, 45760, 52394, 59640,
67525, 76076, 85320, 95284
A.508
Réf.
mlb.
H I S 2 A6578
Approximants de Padé
H I S 1
Fraction rationnelle
a(n) = ∑ max(n,n-k), k=1...n-1
1 + 2 z
__________________
3
(1 + z) (1 - z)
1, 4, 8, 14, 21, 30, 40, 52, 65, 80, 96, 114, 133, 154, 176, 200, 225, 252, 280,
310, 341, 374, 408, 444, 481, 520, 560, 602, 645, 690, 736, 784, 833, 884,
936, 990, 1045, 1102, 1160
Generalized Fibonacci numbers
Réf.
LNM 622 186 77.
H I S 2 A6603
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
n a(n) = - n a(n - 5) + (7 n - 9) a(n - 1) + (- 8 n + 12) a(n - 2)
+ (6 n - 12) a(n - 3) + (5 n - 6) a(n - 4) + 3 a(n - 5)
2 2 1/2
1 - z - 2 z - (1 - 6 z + z )
1/2 _______________________________
2 3 4
2 z - z + z + z
1, 2, 7, 26, 107, 468, 2141, 10124, 49101, 242934, 1221427, 6222838,
32056215, 166690696, 873798681, 4612654808, 24499322137,
130830894666, 702037771647, 3783431872018
A.509
Generalized Fibonacci numbers
Réf.
LNM 622 186 77.
H I S 2 A6604
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
n a(n) = (- 1/2 n + 3/2) a(n - 5) + (7/2 n - 6) a(n - 4) + (13/2 n - 9) a(n - 1) +
(- 7/2 n + 15/2) a(n - 2) + (- 3 n + 3) a(n - 3)
2 2 1/2
1 + z - 2 z - (1 - 6 z + z )
1/2 _______________________________
2 3 4
2 z - z - z + z
1, 1, 4, 13, 53, 228, 1037, 4885, 23640, 116793, 586633, 2986616, 15377097,
79927913, 418852716, 2210503285, 11738292397, 62673984492,
336260313765
Modes of connections of 2n points
Réf.
LNM 686 326 78.
H I S 2 A6605
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
P-récurrence du 3è degré
S(z) satisfait à
2 4 2
1 - S(z) + S(z) z + S(z) z
________________________________
2
z
1, 1, 3, 11, 46, 207, 979, 4797, 24138, 123998, 647615, 3428493, 18356714,
99229015, 540807165, 2968468275, 16395456762, 91053897066,
508151297602, 2848290555562
A.510
From generalized Catalan numbers
Réf.
LNM 952 279 82.
H I S 2 A6629
LLL
La F.G. est algébrique du 3è degré et
H I S 1
algébrique
prend trop de place.
3F2([2, 5/3, 4/3],[3, 5/2],27 z/4)
1, 4, 18, 88, 455, 2448, 13566, 76912, 444015, 2601300, 15426840,
92431584, 558685348, 3402497504, 20858916870, 128618832864,
797168807855, 4963511449260, 31032552351570
From generalized Catalan numbers
Réf.
LNM 952 279 82.
H I S 2 A6630
Hypergéométrique
La F.G. est algébrique du 3è degré et
H I S 1
algébrique
prend trop de place.
3F2([2, 8/3, 7/3],[4, 7/2],27 z/4)
1, 6, 33, 182, 1020, 5814, 33649, 197340, 1170585, 7012200, 42364476,
257854776, 1579730984, 9734161206, 60290077905, 375138262520,
2343880406595, 14699630061270
A.511
From generalized Catalan numbers
Réf.
LNM 952 279 82.
H I S 2 A6631
LLL
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
La F.G. est algébrique du 3è degré et prend trop de place.
3F2([3, 8/3, 10/3],[5, 9/2],27 z/4)
1, 8, 52, 320, 1938, 11704, 70840, 430560, 2629575, 16138848, 99522896,
616480384, 3834669566, 23944995480, 150055305008, 943448717120,
5949850262895, 37628321318280
From generalized Catalan numbers
Réf.
LNM 952 280 82.
H I S 2 A6632
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
Inverse de A2293
1
________________________________________________________
1 + z 4F3 ([1, 7/4, 5/4, 3/2], [2, 5/3, 7/3],256 z/ 27)
1, 3, 15, 91, 612, 4389, 32890, 254475, 2017356, 16301164, 133767543,
1111731933, 9338434700, 79155435870, 676196049060, 5815796869995,
50318860986108
A.512
From generalized Catalan numbers
Réf.
LNM 952 280 82.
H I S 2 A6633
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
4F3 ([2, 9/4, 3/2, 7/4],
[3, 8/3, 7/3],256 z / 27)
1, 6, 39, 272, 1995, 15180, 118755, 949344, 7721604, 63698830, 531697881,
4482448656, 38111876530, 326439471960, 2814095259675,
24397023508416, 212579132600076
From generalized Catalan numbers
Réf.
LNM 952 280 82.
H I S 2 A6634
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
4F3 ([3, 9/4, 5/2, 11/4],
[4, 10/3, 11/3],256 z / 27)
1, 9, 72, 570, 4554, 36855, 302064, 2504304, 20974005, 177232627,
1509395976, 12943656180, 111676661460, 968786892675, 8445123522144,
73940567860896,
649942898236596
A.513
From generalized Catalan numbers
Réf.
LNM 952 280 82.
H I S 2 A6635
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
4F3 ([3, 7/2, 15/4, 13/4],
[5, 14/3, 13/3], 256 z / 27)
1, 12, 114, 1012, 8775, 75516, 649264, 5593068, 48336171, 419276660,
3650774820, 31907617560, 279871768995, 2463161027292,
21747225841440, 19257567355
1584
Closed meanders
Réf.
SFCA 292.
H I S 2 A6659
Hypergéométrique
Suite P-récurrente
H I S 1
algébrique
32
_______________________________
1/2 1/2 4
(1 - 4 z) (1 + (1 - 4 z) )
2, 12, 56, 240, 990, 4004
A.514
Planted binary phylogenetic trees with n labels
Réf.
LNM 884 196 81.
H I S 2 A6677
Inverse fonctionnel
erreurs dans la suite
H I S 1
exponentielle (algébrique)
1/2
1 - (3 - 2 exp(z))
1, 2, 7, 41, 346, 3797, 51157, 816356, 15050581, 34459425
Planted binary phylogenetic trees with n labels
Réf.
LNM 884 196 81.
H I S 2 A6678
Inverse fonctionnel
H I S 1
algébrique
2 1/2
1 - (1 - 2 z - 2 z )
___________________________
1 + z
1, 1, 6, 39, 390, 4815, 73080, 1304415, 26847450, 625528575
A.515
Planted binary phylogenetic trees with n labels
Réf.
LNM 884 196 81.
H I S 2 A6679
Inverse fonctionnel
H I S 1
exponentielle (algébrique)
2 1/2
1 (1 + 2 exp(z) - 2 exp(z) )
_______ + _______________________________
exp(z) exp(z)
1, 2, 10, 83, 946, 13772, 244315, 5113208, 123342166, 3369568817
Réf.
R1 38. sls.
H I S 2 A6790
Recoupements
H I S 1
exponentielle
exp(z)
___________
2 - exp(z)
1, 2, 6, 26, 150, 1082, 9366, 94586, 1091670, 14174522, 204495126,
3245265146, 56183135190, 1053716696762, 21282685940886,
460566381955706, 10631309363962710
A.516
Extreme points of set of n x n symmetric doubly-stochastic matrices
Réf.
JCT 8 422 70. EJC 1 180 80.
H I S 2 A6847
Dérivée logarithmique
Suite P-récurrente
H I S 1
exponentielle (algébrique)
a(n) = n^3 a(n - 1) + (4 n^3 - 4 n^2 + n) a(n - 2)+
(- 3 n^3 + 5/2 n^2 - 1/2 n) a(n - 3)
+ (24 n^3 - 26 n^2 + 9 n - 1) a(n - 4)
1/4
(z + 1) exp(1/2 z (z + 1))
______________________________
1/4
(z - 1)
1, 1, 2, 5, 14, 58, 238, 1516, 9020, 79892, 635984, 7127764, 70757968,
949723600, 11260506056, 175400319992, 2416123951952,
42776273847184, 671238787733920
Extreme points of set of n x n symmetric doubly-substochastic
Réf.
EJC 1 180 80.
matrices
H I S 2 A6848
Dérivée logarithmique
H I S 1
exponentielle (algébrique)
3 2
1/4 z (z - z + 2 z - 3)
(z + 1) exp(________________________ )
2 (z - 1) (z + 1)
____________________________________________
1/4
(z - 1)
1, 2, 5, 18, 75, 414, 2643, 20550, 180057, 1803330, 19925541, 242749602,
3218286195, 46082917278, 710817377715, 11689297807734,
205359276208113, 3812653265319810
